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第11章 诗情与算趣

“轻轻的,我走了,正如我轻轻的来…”

这是我国现代著名诗人徐志摩《再别康桥》中的诗句。徐志摩的诗清新隽永,独具风格,特别是这首《再别康桥》更是脍炙人口。

1996年4月9日,《文汇报》集中刊发了我国数学科普作家谈祥柏教授的一组文章,其中《诗数之谜》一文中提到了这两句诗,他写道:有一位数学工作者将数趣“渗”入了诗的领域,把这两句诗组成了算术等式:轻轻的=我+走了正-如÷我=轻轻的÷来其中每一个汉字代表一个数字,不同的汉字代表不同的数字。这组等式有唯一的解,其推理过程并不复杂,简释如下:“轻轻的”是可以开平方的三位数,且百位数字与十位数字相同,这样的数只有两个:225=152,441=212,它们的平方根都是奇数。“我”与“来”是可以作除数且可以开平方的一位数,只能是1,4,9。

若“来”为1,则“轻轻的”只能为225,这时第二个等式的右边为15,左边为一个一位数,这是不可能的,所以“来”不等于1。又因“来”应为奇数,故必“来”等于9。同理,若“我”代表1,则第一个等式成为225=1+14,这时“我”与“走”都175代表1,与条件矛盾。所以,“我”只能代表4,从而,“轻轻的”只能为225,于是得出答案:225=4+137-8÷4=225÷9

此类问题,算术与诗句同出,推理共抒情一体,倒也别有一番风趣。

像这种用诗句来编写算式的数学游戏,大家都可以练习。不过,所用的“原材料”中要求不同的汉字不能多于10个,且要求有较多的字重复出现才行。例如:一寸光阴一寸金,寸金难买寸光阴就可以编成如下的算式:3一寸光阴+3一寸金=寸金+难×4买寸光÷阴解答这个算式,首先要抓住其中几个被开方数,它们有好几个字重复,易于确定。

平方数有:16,25,36,49,64,81

立方数有:125,216,343,512,729

由于“一寸金”和“买寸光”都是立方数,且十位数字相同,只能是125与729或216与512。但216与512中数字2同时将代表两个不同的汉字,与条件矛盾。所以,只能是125和729。又因为只有25才是平方数,故知“一寸金”只能为125,从而“买寸光”为729,进一步确定4次方数“一寸光阴”为1296。最后,剩下的一个“难”只能为尚未使用的数字4。所以,所求的等式为:41296+3125=254×3729÷6

我们还可以从不同的角度来使诗词与数字联姻,编成一些有趣的等式。

有一副对联,是歌颂三国中蜀汉的著名人物诸葛亮和赵云的,对联写道:取二川,排八阵,六出七擒,五丈原前,点四十九盏明灯,一心只为酬三顾;抱孤子,出重围,匹马单枪,长坂桥边,战数百千员上将,独我犹能保两全。

上联写诸葛亮为感刘备“三顾草庐”之恩,为蜀汉的事业,鞠躬尽瘁,取两川,排八阵,七擒孟获,六出祈山,九伐中原,最后积劳成疾,病倒五丈原前,壮志未酬,只好“点四十九盏明灯”,向老天爷借寿,但没有成功。真正做到了“鞠躬尽力,死而后已”。

在这副对联的上联里,数字1,2,3,4,5,6,7,8,9全用上了,按它们出场的先后顺序排列成一行是286754913

在其中加上适当的数学符号,就可以组成算术等式,例如(2×8×6+7-5)÷49+1=3

北宋的苏轼和秦观都是名噪一时的大诗人,他俩既是朋友,又是亲戚。有一次,秦观外出,苏轼问其去向,秦观便写了如上图的一首回文诗作答。这是一首由14个字构成的顺读回文七言绝句:赏花归去马如飞,去马如飞酒力微。 酒力微醒时已暮,醒时已暮赏花归。

这首诗共有14个字,除了用10个字可代表10个数字外,还剩4个字可用来代表四则运算符号。现在,我们将它来编成一道算题:将这首诗中的汉字换成数字或+、-、×、÷四种运算符号,不同的汉字要换成不同的数字或符号,且不改变排列的次序,使177每一行代表一个四则算式,并且运算的结果都为一素数。

这道题与前面几道题又略有区别,因为运算的结果没有固定的要求,给设计算式提供了方便;但另一方面,由于不能加括号和调换次序,且要求结果是素数,又增加了问题的难度。问题的答案之一是:赏花归去马如飞0+136÷8=17

去马如飞酒力微

36÷84×7=3

酒力微醒时已暮

4×792-5=3163

醒时已暮赏花归

92-50+1=43

其中的17,3,3163,43均为素数。

为了求得答案,可以这样来思考:由于14个汉字重叠为28个,每个字都恰好出现两次,所以每个运算符号都出现两次,每个算式中恰有两个运算符号。运算符号不能摆在每行的开头和结尾,因此,只有6个字能代表运算符号,它们是“花”、“马”、“如”、“力”、“时”和“已”。并且其中的“马”与“如”,“时”与“已”因为联在一起,不能都是运算符号,所以,“花”与“力”必须代表运算符号,而“马”与“如”,“时”与“已”两组中分别有一个代表运算符号。

在实际编造算式时,可先确定哪四个字代表运算符号,然后再确定它们所代表的具体运算符号。例如,若取“花”、“如”、“力”、“已”分别代表+、÷、×、-,则可得一初步框架:○+○○○÷○=

○○÷○○×○=

○×○○○-○=

○○-○○+○=

再把10个数字适当分配到各个小圆圈中去试算,不合要求时再逐步调整各个数字(甚至符号)的位置,直至得出满意的答案为止。

国外颇为流行一种字母算式游戏。用若干单词组成一道算式,单词中每一个字母代表一个数字,不同的字母代表不同的数字,在算式成立的前提下要求确定每一个字母代表的数字。例如下面三道算式就是典型的例子:(1)FIVETWO+ONEEIGHT(2)SEVENTHREE+TWOTWELRE(3)ONZE+NEUFVINGT在算式(1)中,FIVE,TWO,ONE,EIGHT在英文中的意义分别为5,2,1和8,而5+2+1确等于8;在算式(2)中,英文SEVEN,THREE,TWO,TWELVE的意义分别是7,3,2和12,而7+3+2恰好等于12;在算式(3)中,ONZE,NEUF,VINGT分别是法文的11,9和20,恰好有11+9=20。

在这些“算式”中,文字与数字之间,都适合自然的法则,相映成趣。而且要解出这类算式,还需要较强的推理能力,既能培养青少年的逻辑分析能力,又能引起学习兴趣,所以能在国外广为流传,长盛不衰。

现在,我们来解出第(2)题,以见这类算式解法的一斑。

万位上S与T相加后进位为T,可知T=1。

千位上E与H相加后个位数为E,可知百位上相加后一定有进位。百位上是3个数相加,进位只能为2或1.若进位为2,则H=8,S=9。万位上成为9+1+1=11,W=1,但已有T=1,矛盾。故百位上的进位必为1。从而千位上为E+H+1=10+E,知H=9。

这时万位上成为S+1+1=10+W。因已有H=9,故必S=8,W=0。

由个位上的数看出N+O+E=10+E,故知N+O=10.因9、8都已出现,N,O不能再为8或9,所以N+O=3+7或4+6。

若N+O=3+7,剩下未用的数字还有2,4,5,6.若4与6同在百位上,则和中的百位上应为V、R、I中的一个而不能为L,这个矛盾证明了N+O≠3+7,只有N+O=4+6.这时剩下的数字还有7,5,3,2。

百位上V+R+T=V+R+1不可能等于17,15或12,只能是13,所以L=3,V和R为5与7或7与5,剩下的E必为2,由十位上E+E+W+1=2+2+0+1=5=V,知V=5,R=7。

由于N、O可以互换,所以本题有两解.它们是:8 2 5 2 41 9 7 2 2+)1 0 6 1 0 2 3 5 28 2 5 2 61 9 7 2 2+)1 0 4 1 0 2 3 5 2

类似地可推出问题(1)有6解,和是10538;问题(3)有一解,和是13805。

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