《九章算术注》中有几百个公式和解题方法，刘徽对每个算法的正确性均作了考察，并对各种算法的内在联系及应用进行了论述。“率”是这些工作中使用最普遍的工具，刘徽极大地发展了“率”的思想，从而将《九章算术》的算法提高到系统理论的高度。
“率”本是规格、标准之意。刘徽将率定义为“凡数相与者谓之率”，即相关的一组量称为率，用以讨论若干量之间的相关性，即相对的数量关系。这一概念要比我们现在常用的比率概念宽广得多。为了求出各物的率，要有一个公度作为标准，这个公度就是单位度量，亦即一，刘徽将它称为“数之母”。如五单位米可以化为一，则米率即为5，三单位粟可以化为一，则粟率即为3，米、粟的相与率为米5、粟3。由此可见率表示某物的度量与另一物的度量的相对关系，相当于现在密度、速度等意义。我们容易知道，分数的分子和分母也可以看成一种率关系。
刘徽还给出了率的一些重要性质，如：“一组成率的数，在投入运算时，其中一个缩小或扩大某倍数，则其余的数必须同时缩小或扩大同一倍数”。由此出发，刘徽给出了三种重要的等量交换：“约以聚之，乘以散之，齐同以通之”。“约以聚之”就是说，分子、分母同时缩小同一倍数，称作约分，此时分数单位变大；“乘以散之”即分子、分母同时扩大相同的倍数，分数单位就会变小。同时，刘徽还指出经过这样两种运算之后，虽然分数单位发生了变化，表现的形式不同，但分数值不变，明确阐述了分数的基本性质。
在运算时，几个分数只有化成同一分数单位才能进行加减，从而刘徽提出“齐同术”即“齐同以通之”，也就是我们现在所说的通分。刘徽指出应先使诸分数的分母同一，而后使每个分数的分数值保持不变。
刘徽将《九章算术》中的许多算术问题解法进行了归纳总结，形成了一些系统的方法。如他高度评价了今有术，将《九章算术》中的许多术文归结为今有术，把其中包含的原理（若A∶B＝a∶b，则B＝Ab／a）称为“都术”即普遍方法，这一方法传到印度和西方后被称为三率法。
率在代数中的应用主要表现在方程术中，刘徽在方程的定义、方程直除法、互乘相消法消元中的齐同原理及方程新术等方面做了创造性的工作。另外，刘徽还把率应用于圆周率、面积、体积、勾股容方、容圆等许多几何问题的解法中。
《九章算术》粟米、衰分、均输三章都是关于比例和比例分配的问题，内容交错。刘徽用率将这三章的方法统一了起来，不仅把比例、比例分配归结为今有术，而且将分数、追及、利息等一般算术问题都化为今有问题，并将率应用于方程、面积、体积等问题，使得率成为计算问题的灵魂。
总之，刘徽的《九章算术注》不仅有概念、命题，而且还有联系这些命题的逻辑推理，它标志着我国古代数学已经形成了自己独具特色的理论体系。
另外，刘徽熟练地运用直角三角形的性质，推广了我国古代的“重差术”，写成了《海岛算经》一书，从书中所解决的问题可以看出刘徽已经掌握了相当复杂的测量和计算方法。
刘徽注《九章算术》，充分体现了他作为一个数学家应有的科学态度。他实事求是，不仅继承了《九章算术》所开创的数学联系实际的传统，更重要的是他没有盲目崇拜古人取得的成就。他在全面论证《九章算术》的公式、解法的同时，指出了其中的许多错误和不精确之处，并给以纠正或提出改善建议，他对许多问题的补充解法，大大丰富了《九章算术》的内容。但用对《九章算术》作注的形式展现自己的数学思想，在一定形式上也限制了刘徽的数学创造的展开及其数学思想对后世的影响，或许这该是最让人引以为憾的事情了。
数学泰斗祖冲之
祖冲之（429～500）是我国南北朝时代的一位杰出的科学家。祖冲之卓越的数学成就，在世界数学史上闪耀着光芒，他是代表中国古代数学高度发展水平的杰出人物。
从东晋到南北朝这一段时期内，由于经济文化生活的迅速发展，推动了科学的前进。这一时期出现了许多杰出的科学家，祖冲之是其中最杰出的人物之一。
祖冲之字文远，祖籍范遒县（今河北涞水县）他生活在南朝宋、齐之间。当过南徐州从事史公府参军等职，祖冲之的故乡范阳，在西晋末年的战乱中遇到破坏，他全家随北方居民，一起迁居到江南。据《隋书》记载，他的祖先有几代人研究历法，祖父祖昌当过刘宋王朝的大匠卿，是管理土木建筑工程的官，也懂一些科学技术。祖冲之生长在科技世家，从小受到良好的家庭教育，对自然科学，文学和哲学都有浓厚的兴趣。他尤其酷爱数学、天文学、机械制造。青年时代的祖冲之一面苦心钻研、继续家学，一面学习古人的科学成就。他饱览群书，兼学百家，为后来的科研工作奠定了深厚的基础。祖冲之一生虽然也担任一些官职，但他更热爱科学，几十年孜孜不倦地从事科学研究，他重视实践，批判地接受前人的科学遗产。经过他勤勉工作，对前人的研究仔细推敲，驳正错误，推导出许多极有价值的科学成果。
祖冲之对中国科学事业的最大贡献，是对圆周率值的计算精确到了小数点后的第六位。对于现代人圆周率的计算已经不是数学上的大问题了。但是在15世纪以前，许多国家的数学家都曾寻找更加精确的圆周率，因此圆周率的精确程度可以作为衡量一个国家数学发展水平的标志。在圆周率的近似计算方面，古希腊数学家曾算得圆周率为3．1416时，我国还停留在“古率”为3上，一直沿用到汉代时，圆周率的计算才为较多数学家所注意。刘歆算得圆周率为3．1547或3．166，有效数字仅为3．1。后来东汉张衡又用10和92〖〗29作为圆周率，蔡邕、王蕃等也由于天文研究的需要计算了圆周率，但有效数字仍只有二位。刘徽从圆内接正六边形出发，依次将边数加倍，至192边形，求得圆周率为15750（相当于3．14）。刘徽的计算在中国数学史上给圆周率的计算打下了坚实的基础，而在这个基础上建造大厦的巨匠是祖冲之。祖冲之利用刘徽的方法，对圆周率进行了更加细密深入的计算。他通过计算内接正1536边形的面积，算出圆周率为3．1416，用分数表示为39271250，这在当时已经是够精确的了。但祖冲之并不满足于此，进一步提出了3．1415926＜π＜3．1415927。祖冲之一下子把圆周率的精确度提高了一万倍。而且他用不足和过剩近似值表示无理数值的变化范围是十分了不起的，这正是现代关于无理数表示的一个基本方法。由于中国古代存在着运用分数的习惯，祖冲之还用二个分数227（约率）和355113（密率）的值表示圆周率。密率355113近似于3．1415929（已精确到7位有效数字），这是最佳渐近分数，欧洲一直到1573年才得到这一数值，比祖冲之要晚一千多年。
在讲到祖冲之在数学方面的成就时，我们还应该提到他的数学专著——《缀术》。这本书出自祖冲之这样杰出的数学家之手，其内容博大精深，相当精彩。在他死后，他的儿子又把自己的研究成果添加进去，续写了《缀术》。可惜这部很有价值的科学著作在北宋中期就失传了，我们现在只能从历代有关文献和评论中找到一些线索。在唐朝《缀术》曾被国立学校列为必读的教材，要学习四年，是学习期限最长的算书，由此可见《缀术》一书内容之深奥。中世纪的朝鲜和日本的学校中，《缀术》也都被列为必读的书籍。
祖冲之还创造了“开差幂”、“开差立”等的算法。“开差幂”是已知长方形的面积及长宽之差求其长及宽。“开差立”是已知长方体的体积及最短棱与其他两棱之差求其长、宽、高。这分别相当于解二次方程x（x＋a）＝A和三次方程x（x＋a）（x＋b）＝V。他还和儿子祖日恒一道，在世界上最早发现了“等积原理”。
祖冲之在天文历法方面也有很多创造性的贡献，他发现当时通行的《元嘉历》有三大错误，于是他上书宋孝武帝，建议采纳他编制的《大明历》，这部《大明历》是他经过长年观测天象和认真分析研究，精密而科学的推算出来的，它开辟了历法史的新纪元。遗憾的是这套先进的历法遭到保守权臣的百般诋毁和阻挠。祖冲之不畏强权，据理辩争，写出了著名的《驳议》。这篇理直气壮的论文，将保守派的谬论驳得体无完肤，反映了祖冲之不畏权势敢于坚持真理的高贵品质；也显示了他横生洋溢的才华。宋朝统治者始终未能采用《大明历》，直到祖冲之死后10年，在他儿子祖日恒的再三推荐之下，梁武帝才批准施行，一直沿用了80年。
除了在数学和天文学方面的成就，祖冲之在机械方面还有许多贡献。他曾经发明了指南车，这辆车无论怎样行走转动，车上铜人的手总是指向南方。他还发明过水礁（磨），千里船等，祖冲之对古代的经典著作还多有涉猎，他曾论述或注释过《易经》、《老子》、《庄子》、《论语》等。他甚至还写过小说，并且精通音乐。祖冲之确实可称得上是一位博学多才的科学家。
祖冲之的科学成就在我国科学技术发展史上永放光芒。他的卓越贡献也载入了世界科学史册，60年代初，人类第一次发现的月球背面的一个环形山谷，就是以“祖冲之”来命名的。祖冲之为中华民族赢得了光荣，世界人民也永远缅怀这位科学巨人。
