朱世杰字汉卿，号松庭，是元代数学家、教育家，毕生从事数学教育，有“中世纪世界最伟大的数学家”之誉。宋元时期，中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有“秦（九韶）、李（冶）、杨（辉）、朱（世杰）四大家”，朱世杰就是其中之一。他平生勤力研习《九章算术》，旁通其他各种算法。
13世纪末，历经战乱的宋朝被元王朝所统一，遭到破坏的经济和文化又很快繁荣起来。元朝统治者为了兴邦安国，便尊重知识，选拔人才。有一天，风景秀丽的扬州瘦西湖畔，来了一位教书先生，在寓所门前挂起一块招牌，上面用大字写着：“燕山朱松庭先生，专门教授四元术。”不几天，朱世杰门前门庭若市，求知者络绎不绝，就在朱世杰在接待学生报名之时，突然一声声叫骂声引起他的注意。
只见一穿绸戴银的半老徐娘，追着一年轻的姑娘，边打边骂：“你这贱女人，大把的银子你不抓，难道想做大家闺秀，只怕你投错了胎，下辈子也别想了。”那姑娘被打得皮开肉绽，连内身衣服都被撕坏了。姑娘蜷成一团，任凭她打，也不跟她回去。朱世杰路见不平，便上前询问，那半老徐娘见冒出一个爱管闲事之人，就嘲笑道：“你难道想抱打不平，你送上50两银子，这姑娘就归你了！”朱世杰见此情景，大怒道：“难道我掏不出50两银子。光天化日之下，竟胡作非为，难道没有王法不成？”那半老徐娘讽刺道：“你这穷鬼，还谈什么王法，银子就是王法，你若能掏出50两银子，我便不打了。”朱世杰愤怒已极，从口袋里抓出50两银子，摔在半老徐娘面前，拉起姑娘就回到自己的教书之地。原来，那半老徐娘是妓女院的鸨母，而这姑娘的父亲因借鸨母的10两银子，由于天灾，还不起银子，只好卖女儿抵债。今天碰巧遇上朱世杰，才把姑娘救出苦海。后来，在朱世杰的精心教导下，这姑娘也颇懂些数学知识，成了朱世杰的得力助手，不几年，两人便结成夫妻。所以，扬州民间至今还流传着这样一句话：“元朝朱汉卿，教书又育人；救人出苦海，婚姻大事成。”
在元灭南宋以前，南北之间的交往，特别是学术上的交往几乎是断绝的。南方的数学家对北方的天元术毫无所知，而北方的数学家也很少受到南方的影响。元统一中国后，朱世杰曾以数学家的身份周游各地20余年，向他求学的人很多，他到广陵（今扬州）时“踵门而学者云集”。他全面继承了前人数学成果，既吸收了北方的天元术，又吸收了南方的正负开方术、各种日用算法及通俗歌诀，在此基础上进行了创造性的研究，写成以总结和普及当时各种数学知识为宗旨的《算学启蒙》，又写成四元术的代表作——《四元玉鉴》，把我国古代数学推向更高的境界，形成宋元时期中国数学的最高峰。《算学启蒙》全书共三卷，20门，总计259个问题和相应的解答。这部书从乘除运算起，一直讲到当时数学发展的最高成就“天元术”，全面介绍了当时数学所包含的各方面内容。书中明确提出正负数乘法法则，给出倒数的概念和基本性质，概括出若干新的乘法公式和根式运算法则，总结了若干乘除口诀，并把设辅助未知数的方法用于解线性方程组。《四元玉鉴》的主要内容是四元术，即多元高次方程组的建立和求解方法。秦九韶的高次方程数值解法和李冶的天元术都被包含在内。
在宋元时期的数学群英中，朱世杰的工作具有特殊重要的意义。如果把诸多数学家比作群山，则朱世杰是最高大、最雄伟的山峰。站在朱世杰数学思想的高度俯瞰传统数学，会有“一览众山小”之感。朱世杰工作的意义就在于总结了宋元数学，使之在理论上达到新的高度。这主要表现在以下三个领域。首先是方程理论。在列方程方面，蒋周的演段法为天元术作了准备工作，他已具有寻找等值多项式的思想，洞渊与信道是天元术的先驱，但他们推导方程仍受几何思维的束缚，李冶基本上摆脱了这种束缚，总结出一套固定的天元术程序，使天元术进入成熟阶段。在解方程方面，贾宪给出增乘开方法，刘益则用正负开方术求出四次方程正根，秦九韶在此基础上解决了高次方程的数值解法问题。至此，一元高次方程的建立和求解都已实现。而线性方程组古已有之，所以具备了多元高次方程组产生的条件。李德载的二元术和刘大鉴的三元术相继出现，朱世杰的四元术正是对二元术、三元术的总结与提高。由于四元已把常数项的上下左右占满，方程理论发展到这里，显然就告一段落了。从方程种类看，天元术产生之前的方程都是整式方程。
从洞渊到李冶，分式方程逐渐得到发展。而朱世杰则突破了有理式的限制，开始处理无理方程。其次是高阶等差级数的研究。沈括的隙积术开研究高阶等差级数之先河，杨辉给出包括隙积术在内的一系列二阶等差级数求和公式。朱世杰则在此基础上依次研究了二阶、三阶、四阶乃至五阶等差级数的求和问题，从而发现其规律，掌握了三角垛统一公式。他还发现了垛积术与内插法的内在联系，利用垛积公式给出规范的四次内插公式。
还有关于几何学的研究。宋代以前，几何研究离不开勾股和面积、体积。蒋周的《益古集》也是以面积问题为研究对象的。李冶开始注意到圆城因式中各元素的关系，得到一些定理，但未能推广到更一般的情形。朱世杰不仅总结了前人的勾股及求积理论，而且在李冶思想的基础上更进一步，深入研究了勾股形内及圆内各几何元素的数量关系，发现了两个重要定理——射影定理和弦幂定理。他在立体几何中也开始注意到图形内各元素的关系。朱世杰的工作，使得几何研究的对象由图形整体深入到图形内部，体现了数学思想的进步。
《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作。现代数学史研究者对《四元玉鉴》给予了高度评价。著名科学史专家乔治·萨顿说：“《四元玉鉴》是中国数学著作中最重要的一部，同时也是中世纪最杰出的数学著作之一。”编著《中国科学技术史》的李约瑟这样评价朱世杰和《四元玉鉴》：“他以前的数学家都未能达到这部精深的著作中所包含的奥妙的道理。”
遗憾的是，朱世杰之后，元代再无高深的数学著作出现，汉唐宋元的数学著作很少有新的刻本，很多甚至失传了。乾隆三十七年（公元1772年）开《四库全书》馆时，挖掘了不少古代数学典籍，朱世杰的著作却未被发现，因此，起初没有编入；公元1799年阮元、李锐等人编纂数学家传记《畴人传》时，也未介绍《四元玉鉴》。之后不久，阮元在浙江访得此书，旋即将其编入《四库全书》，并把抄本交给李锐校算（未校完），后由何元锡按此抄本刻印，这是《四元玉鉴》公元1303年初版以来的第一个重刻本。公元1839年扬州学者罗士琳经多年研究之后，出版了他所编著的《四元玉鉴细草》，罗氏对《四元玉鉴》书中每一问题都作了细草。就在罗士琳翻刻《四元玉鉴》时，《算学启蒙》也还无着落。后来罗士琳“闻朝鲜以是书为算科取士”，于是请人在北京找到了顺治十七年（公元1660年）朝鲜全州府尹金始振所刻的翻刻本，这样，《算学启蒙》又在扬州重新刊印出版，这就是该书现存各种版本的母本。
元代朱世杰这两部杰出的数学著作都是在扬州完成、刻印的，失传了几百年后，它们又被扬州学者发现、校算、注释，并在扬州重新刻印出版，仅此可见，扬州在我国数学发展史上有着十分重要的地位。
