一般而言，数学给人的印象总是严密和可靠的。但早在2000多年前的古希腊，人们就发现了一些看起来好像正确，但却能导致与直觉和日常经验相矛盾的命题，这些自相矛盾的命题就被称为悖论或反论，即如果承认这个命题，就可推出它的否定，反之，如果承认这个命题的否定，又可推出这个命题。
约公元前5世纪的古希腊哲学家芝诺提出了4个著名的悖论。第一个悖论说运动不存在。理由是运动物体到达目的地之前必须先抵达小点。也就是说，一个物体从A到B，永远不能达到。因为要从A到B，必须先达到AB的中点C，为达到C必须先达到AB的中点D，等等。这就要求物体在有限时间内通过无限多个点，从而是不可能的。第二个悖论说希腊的神行太保阿希里永远赶不上在他前面的乌龟。因为追赶者首先必须到达被追者的起点，因而被追者永远在前面。第三个悖论说飞箭静止，因为在某一时间间隔，飞箭总是在某个空间间隔中确定的位置上，因而是静止的。第四个悖论是游行队伍悖论，内容与前者基本上是相似的。芝诺悖论在数学史上有着重要的地位，有人将它看成是第二次数学危机的开始。无理数的发现，被认为是第一次数学危机，并由此导致了实数理论、集合论的诞生。
英国著名哲学家、数学家、逻辑学家罗素（1872年～1970年）讲这样一个故事：有一个村庄的理发师立下了“只为所有不自己理发的人理发”的规矩。于是有人问他：“理发师先生，您的头由谁理呢？”这可难住了理发师。因为从逻辑上讲有两种可能性，自己给自己理或请别人给自己理。但若自己给自己理，那就违背了立下的规矩；如果请别人给自己理，那他自己就成了“不自己理发的人”，按照规矩，他应该给自己理发。无论怎样都和自己的规矩相冲突。看来这位理发师真是遇到难题了。这就是罗素于20世纪初提出的著名的理发师悖论，或称罗素悖论。罗素悖论标志着第三次数学危机的开始，由此导致了对数学基础的广泛讨论。实际上，与罗素悖论本质上完全一样的说谎者悖论早在公元前4世纪就由古希腊数学家欧几里得提出，即“我正在说的这句话是谎话”。这句话到底是真话还是谎话呢？这也是一个无法自圆其说的论题。
对于数学悖论的研究，推动了数学的发展，同时也使人们认识到尽管数学是很严密的，但它的真理性却也是相对的。只有不断去探索、去研究，才能更好的发现真理、掌握真理，真正理解世界的涵义。
