在《原理》一书中，数学也占有重要的地位。牛顿详细阐述了极限的意义，阐明了导数和微商的含义，创立了微积分学。可以说，《原理》一书的中心内容是论述了牛顿在数学上的伟大创造即微积分学，并且用这个创造去解决天体运动以及其他相关的物理问题。对此，爱因斯坦说：“只有微分定律的形式才能完全满足近代物理学家对因果性的要求。微分定律的明晰概念是牛顿最伟大的理智成就之一。”
《原理》一书出版之后，得到了科学界的广泛赞誉。例如，法国著名天文学家和天体力学家拉普拉斯（1749—1827）评价说：“这些发现的重要性和普遍性，以及大量创造性和深邃的观点，已经成为本世纪哲学家们极其辉煌的理论根据，并且全是以优雅的文字表述的，确保了《自然哲学的数学原理》这部著作成为超出人类智慧的一切产品的杰作。《原理》将成为一座永垂不朽的深邃智慧的纪念碑，它向我们揭示了最伟大的宇宙定律。这部著作是高于人类一切其他思想产物之上的杰作，这个简单而普遍的定律的发现，因为它囊括对象之巨大和多样性，给以人类智慧以光。”
1927年，在纪念牛顿逝世200周年之际，爱因斯坦写文章说：“我觉得有必要在这样的时刻来纪念这位杰出的天才，在他以前和以后，都还没有人能像他那样地决定着西方的思想、研究和实践的方向。他不仅作为某些关键性方法的发明者来说是杰出的，而且他在善于运用他那时的经验材料上也是独特的，同时还对千数学和物理学的详细证明方法有惊人的创造才能。由于这些理由，他应当受到我们最深挚的尊敬。”
而英国著名古典主义诗人蒲柏（1688—1744）的两句赞美诗成为广为流传的名言：“自然和自然规律隐匿在黑暗之中，上帝说，让牛顿去吧，一切就有了光明。”
牛顿集16，17世纪科学先驱们的成果之大成，再加上自己的发现，建立了一个完整的力学体系，以牛顿名字命名的运动定律成为经典力学的基石。在谈到自己所取得的成就时，牛顿本人却说：“如果我比别人看得远些，那是因为我站在了巨人的肩上。”从牛顿的话中，我们可以领悟到，即使是伟人．也是在继承前八成果的基础上加以提高和创新之后再达到一个更高的水平。首先是继承，然后才谈得上发展和创新。对于当代的莘莘学子来说，肩负着使中华民族昂首屹立于世界民族之林的重任。越是志存高远，越是要脚踏实地，刻苦学习，努力掌握已有的科学文化知识。在此基础上再加以发展，才能有所成就，才能对祖国对人民做出较大的贡献。
（四）牛顿经典力学的危机
1687年，牛顿出版了《自然哲学的数学原理》一书，标志着经典力学理论框架的形成。后来又经过发展和完善，形成了完整的经典力学理论。由于经典力学理论在诸如海王星的发现这样的重大事件中所起的重要作用，使人们有理由相信，大到天体的运动，小到原子的运动等自然现象都可以由经典力学理论获得完美的解释。就是说，在宇宙中发生的一切自然现象都可以用经典力学规律来描述，这就是人们常说的机械决定论。
1814年，法国著名天体力学家拉普拉斯在他的《论概率的哲学》一书中明确地表明了这一观点：“我们必须把目前的宇宙状态看作是它以前状态的结果以及以后发展的原因。如果有一位智者能了解在某一瞬问支配着自然界的所有的力，了解组成自然界的所有存在状况，以及具有解析这些所给条件的巨大能力的话，那么他就能用数学公式概括出宇宙万物的运动，从最大的天体到最小的原子，都毫无例外，而且对于未来就像对于过去那样，都能一目了然。”
机械决定论有其积极性的一面。由于机械决定论，物理学从神学中彻底地摆脱了出来，认为宇宙中的一切事物均由经典力学规律所确定，而不是由神灵主宰。当拉普拉斯把他的巨著《天体力学》呈献给法国皇帝拿破仑（1769—1821）时，拿破仑跟他说：“拉普拉斯先生，听说你在书中并没有提到造物主（神）的力量。”拉普拉斯挺胸回答：“陛下，我不需要那样的假设。”这件事充分显示了当时物理学家的自信程度。
但是，经典力学理论也有其局限性。经典力学理论在一些领域中遭遇到了挑战，甚至出现了严重的危机。
在牛顿看来，宇宙中应存在一个绝对静止的参考系，因而也就存在绝对空间和时间。相对于绝对时空中的运动是绝对运动。按牛顿自己的话说，就是：“绝对的空间，按其性质来说永远是均匀的和不动的，与任何外界情况无关。”“绝对的、真的及数学的时间，按其自身并按其本质来说，在均匀地流逝着，与外界仟何对象没有关系。”当然也存在数目众多的相对参考系以及相对空间和时间，在相对时空中的物体的运动称为相对运动。这称为牛顿的绝对时空观。
牛顿的绝对时空观，即使在牛顿时代，也遭到一部分科学家的质疑，并没有被科学界普遍接受。首先，牛顿的这种绝对空间、绝对时间的概念，是与伽利略的相对性原理相抵触的。按照伽利略相对性原理，所有惯性系都是等价的，不存在绝对静止的参考系，也就不存在绝对的空间和时间。其次，如果真的存在这种相对于绝对时空的绝对运动，那么，这种绝对运动如何被感知呢？对于第一个问题，牛顿引入相对空间和相对时间来加以解释。牛顿认为，我们所见到的物体的运动都是在相对时空中来量度的，它们在绝对时空背景上运行，彼此间符合伽利略相对性原理。对于第二个问题，牛顿设计了著名的“水桶实验”。在牛顿看来，尽管我们探知到的物体的速度和位置是相对的，它们只具有相对的意义，但力和加速度则是绝对的。利用“水桶实验”，可以探知物体是否存在绝对运动。设有一桶水，使它绕桶的轴线做旋转运动。开始时，桶壁旋转而水不动，水与桶壁之间虽然有相对运动，但水面却和静止时相同，是一个平面。以后，桶中的水逐渐被桶壁带动并和桶壁一起旋转。此时，虽然水与桶壁之间没有相对运动，但水面呈凹形。因此，即使在水与桶壁之间不存在相对运动的情况下，我们也能判断出水桶以及桶中的水究竟有没有相对于绝对空间的运动（转动）。就牛顿的水桶实验来说，若水面是平坦的，则无绝对运动；若水面是下凹的，则有绝对运动。
牛顿的“水桶实验”也招致了一些科学家的反对。其中，奥地利物理学家马赫（1838—1916）对牛顿的绝对时空观给予了尖锐的批判。1883年，马赫出版了《力学及其发展的批判历史概论》一书。马赫在书中指出，如果我们说物体K只能由于另一物体K‘的作用而改变它的速度，那么，当我们用以判断物体K的运动的其他物体A，B，C…都不存在的时候，我们就根本得不到这样的认识。在分析牛顿的水桶实验时，马赫认为，水桶中水面的形状，并不反映水桶是否具有相对于绝对空间的转动，而是反映水桶相对于地球和其他天体是否有转动。水面变凹，并不是由于绝对转动引起的，而是由于宇宙中的各种物质对相对于它们转动的水桶作用的结果。无论是水桶相对于宇宙物质进行转动，或者是宇宙中其他物质相对于水桶在转动，二者结果是一样的，因为水面都会同样的蛮凹。因此，水面变凹仅仅能证明水桶与宇宙中其他物质之间有相对转动，而不能证明绝对空间的存在，也不能证明是否存在绝对运动。马赫下结论说，引入脱离于物质和物体运动之外的绝对空间纯粹是“毫无用处的形而上学概念”，“如果我们立足于事实的基础，我们就会发现自己只知道相对空间的相对运动”。
在经典力学理论中，机械波（如水波、声波等）的传播需要介质。机械波的传播速度（相速度）由介质的弹性性质和媒质的惯性性质所决定。
19世纪中叶，光的波动说占据了统治地位（牛顿本人是光的微粒说的倡导者），并且由光的偏振现象已表明光波是横波。传播光波的媒质称为“以太”。由于光既可以穿过透明物质，又可以在真空中传播。所以以太应无处不在，充满整个宇宙空间。
根据经典力学理论，在无限大固体中所传播的横波波速υ等于u=Gρ其中，G为固体的切变模量；ρ为固体的密度。既然以太并不妨碍各种物质的运动，并且光速又具有非常大的数值，所以以太的密度ρ必定是非常非常之小的，而其切变模量G又必定是非常非常之大的。以太的这种性质颇为令人费解。为了解释光在各种不同介质中的不同传播速度，必须认为以太的特性在各种不同的物质中是不同的；在各向异性物质中还需要有更复杂的假设。以太所具有的这些奇异的特征令人难以想像。再有，既然宇宙空间到处都充满以太，那么，以太是静止的，还是在运动呢？以赫兹（1857—1894）为代表的物理学家认为，当物体运动时，以太会完全被物体所拖动而跟随物体一起运动，这时，以太与运动物体之间无相对运动；以洛伦兹（1853—1928）为代表的物理学家则认为，以太在宇宙中静止不动，不参与物体的运动。
1851年，法国物理学家斐索（1819—1896）做了光在运动物质（透明液体，例如水）中传播的实验。实验的出发点是，认为以太完全被运动物质所拖动。实验装置如下图所示。
斐索实验简图
图中L为光源，E是观察者，P1，P2为两个分光镜，能将入射光的一半反射，另一半透射，M1，M2为两个反射镜，T1，T2是两个长度相等的管，管中有水流动，T1管中的水流方向与光传播方向相反，而T2管中的水流方向则与光传播方向相同。由图可见，在观察者处会合的两束光所需时间不相等，于是产生干涉条纹。根据实验，斐索得到的结论为u=cn±（1-1n2）υ式中，c为光在运动液体中的速度；n为液体的折射率；cn为静止液体中的光速；υ为液体的流动速度；±号分别表示光的传播方向与液体的运动方向相同或相反。斐索换用几种不同的液体做实验，所得的结果均与上式相同。而按照以太完全被运动物质所拖动的观点，表达式应为u=cn±υ，很显然，此结论与斐索的实验结果并不一致。如果引入拖动系数α，当液体以速度υ相对于测量仪器运动时，以太相对于测量仪器的速度不是υ，而是αυ，即是说，运动物质只是部分地拖动以太，并不是完全地拖动以太。则当拖动系数α=1-1n2时，与斐索实验相吻合。由此看来，以太完全被运动物质所拖动的观点是不能成立的，而只能是部分地被拖动。
由式α=1-1n2可以看出，拖动系数α与物质的折射率n有关。折射率为1的物质应不拖动以太。大气的折射率近似为1，所以大气不能或者只能极微弱地拖动以太。这样，对于地球上的观察者来说，将有“以太风”存在。可是，这—结论又与迈克耳孙一莫雷的实验结果相矛盾。看来，“以太”学说遇到了麻烦。
在经典力学理论看来，物体的质量是物体惯性的量度。质量是一个不变的量，与物体的运动状态无关，是一个具有绝对意义的物理量。不论是静止时，还是在运动时，不论是低速运动时，还是以很大的速度高速运动时，物体的质量均不变。但从19世纪末开始做出的一些实验表明，物体的质量不是一个恒定不变的量，而是与物体的运动状态密切相关。例如，1901年，考夫曼由β射线（快速运动的电子束）在磁场中的偏转测得，电子的质量随其运动速度的增加而增加。
E面的几个事例都表明，经典力学理论确实遇到了难以克服的困难，产生了深刻的危机。
1905年，年轻的物理学家爱因斯坦创立了狭义相对论。在狭义相对论看来，宇宙间根本不存在“以太”，引入“以太”完全是自找麻烦。狭义相对论告诉我们，空间和时间是互相联系的，并且与物体的运动状态密切相关。没有脱离物质运动的空间和时间。这样，牛顿的绝对时空观就被彻底抛弃了。狭义相对论还得出了很多重要的结论。例如，物体的质量（即物体的惯性）也与物体的运动状态有关，并不是一成不变的量；物体的质量和它所具有的能量之间具有不可分割的密切联系。所有这些结论都与实验结果相吻合。狭义相对论在人类认识史上引起了一次革命。
（五）光学上的巨大贡献
1667年初，在英国各地流行的鼠疫已经基本稳定，剑桥大学也复课，牛顿便又回到了三一学院。不久，他得到了选修课研究员的职务。他探索问题的天才头脑，已经在沃尔斯索普的18个月里磨练得更加敏锐。正是这一年半的时间，他为自己以后的毕生工作打下了基础，他未来的成就只是在这基础上修建起的伟大而辉煌的殿宇。
从这时开始，牛顿为他的主要科学研究课题——光学、万有引力、流数术，各花费了大约10年功夫。从他回到剑桥到1678年期间，他主要从事光学研究；从1678年到1688年，他致力于万有引力理论的钻研；从1688年到1700年，他进一步发展了自己在天文学方面的研究，并完善了他的数学发明——特别是在微积分学方面。
牛顿回到剑桥之后，如他一贯所为，没有向任何人提起他在家中的发明与发现。他渴望的是更多的工作、更多的研究和实验。在这期间，牛顿表现出他具有的对科学极为认真负责的治学态度和探索精神。他认为，把自己还没有把握的东西公布出来，是不符合科学精神的。
然而，这位青年的才能已经受到了三一学院领导者的赏识。在获得选修课研究员资格后不久，他又被提升为主修课研究员。这样，他就在学院有了自己的一所房子可以专心研究问题；他的薪水也够他的日常生活费用，这样他也不必为经济困难担心了。于是，牛顿开始向更深的科学殿堂前进。
他忙着购置了罗盘、磁铁、棱镜、玻璃以及琢磨玻璃和切割金属的一切工具。不久，他又到伦敦采购了许多必需的设备，尤其是做光学实验的器材。他准备落实自己在家时所考虑的计划，制造一具实用的反射望远镜。
当时的折射望远镜的基本原理是这样的：物体所折射的光线经过透镜（物镜）成像，这个像被第二个小透镜（目镜）放大，人们的眼睛便在目镜后面观测。如果望远镜确实非常完善，那么物镜一定能聚集从被观察物体发出来的光线而使之聚焦，形成清晰的物像。但由于折射望远镜的入射线与镜轴间的角度过大，所以会使成像模糊不清，造成了“球面像差”。这使得早期的折射望远镜上的物镜成像后，被观测物周围就会出现有颜色的花纹，使得观测者感到吃力，严重地影响了观测效果。
