费马声称他已证明：
x4＋y4＝z4（1）
没有正整数解。但他没有写出证明过程，人们无法知道他采取什么具体方法。然而，我们可从那本《算术》书上另一处旁注的内容，应用一种微妙的技巧，轻而易举地证明（1）没有正整数解。
事实上，假设（1）有正整数解x，y，z。令a＝y4，b＝2x2z2，c＝z4＋x4，u＝y2xz，则a2＋b2＝y8＋b2＝（z4-x4）2＋4x4z4＝（z4＋x4）2＝c2
又12ab=y4x2z2=（y2xz）2=u2
因此，当a2＋b2=c2时，12ab=u2有正整数解。但费马已经证明无解。所以假设不成立，即（1）无正整数解。
费马讨论了勾股数组问题。他认为构成勾股数组的直角三角形的面积不可能是完全平方数，即如果a2＋b2=c2，a，b，c是正整数，则12ab不可能是完全平方数（或者说，12ab=u2没有正整数）。
费马在论证这个命题时，使用了他自已创造的无穷递降法。证明的过程大致是这样的：如果正整数a，b，c，u满足a2＋b2=c2，12ab=u2，则能够找出另一组正整数a1，b1，c1，u1，使得a12＋b12=c12，12a1b1=u21，且c＞c1.这样过程可能无阴地重复下去，得到一个严格无穷递降的正整数列c＞c1＞c2＞…＞cn＞…＞0，而c是一个确定的正整数，这是不可能的。因此，假设不成立，从而证明命题是真的。
以上的证明也是不容易的。因此，后来的数学家便直接运用无穷递降法去证明（1）无正整数解。其证明思路如下：假设（x0，y0，z0）是（1）的一个正整数解，那么存在同样性质的另一个解（x1，y1，z1），其中z0＞z1。因为这种过程可以无限的重复，所以得到严格无穷递减数列z0＞z1＞z2＞…＞0，这是不合理的。因此，（1）没有正整数解。
实际上，人们证明了比n＝4情形FLT还强的定理。
【定理1】方程
x4＋y4＝z2（2）
没有正整数解。
证明令（x，y，z）是（2）的一个正整数解。不失一般，我们可以假设（x，y，z）＝1，2｜y。这样一来，（x2，y2，z）是一组基本勾股数。根据“勾股方程”一节的定理1，存在整数a，b，a＞b＞0，（a，b）＝1，a、b奇偶性相反，且x2=a2-b2y2=2abz=a2＋b2（3）
容易看出，b必为偶数。若b为奇数，则a为偶数，因而4n＋1＝x2＝a2-b2＝4m-1，矛盾。
因为x2＋b2＝a2和（x，b，a）＝1，则由“勾股方程”一节的定理1，存在整数c、d，c＞d＞0，（c，d）＝1，c、d奇偶性相反，且x2=c2-d2b2=2cba=c2＋d2（4）
因而
y2＝2ab＝4cd（c2＋d2）（5）
因为c，d，c2＋d2是两两互素的，根据素因数分解的唯一性，从（5）可知c，d，c2＋d2都是正整数的平方：c=d2d2=d2c2＋d2=g2（6）
于是
e4＋f4＝g2（7）
即数组（e，f，g）是（2）的解。
但是，z＝a2＋b2＝（c2＋d2）2＋4c2d2＞g4＞g＞0。
根据无穷递降法原理，导致矛盾。定理得证。
推论方程
x4＋y4＝z4（1）
没有正整数解。
证明如果（1）有正整数解x，y，z，那么方程x4＋y4=（±z2）2
也有正整数解。根据定理1，这是不可能的，故（1）没有正整数解。
一些四次的方程，类似于方程（2）用无穷递降法可以处理。我们引用下面定理：【定理2】下列方程没有正整数解：x4-y4＝±z2（8）
x4＋4y4＝z2（欧拉）（9）
x4-4y4＝±z2（10）
勒让德证明：
定理3设x，y，z是非零的整数：
如果x4＋y4＝2z2，那么x2＝y2，且z2＝x4。
如果2x4＋2y4＝z2，那么x2＝y2，且z2＝4x4。
