北宋著名的文学家苏轼，不仅诗词写得精彩，而且还是绘画的高手。有一次，他画了一幅《百鸟归巢图》，广东一位名叫伦文叙的状元，在他的画上题了一首诗：归来一只又一只，三四五六七八只，凤凰何少鸟何多，啄尽人间千石食。
画题既名“百鸟”，而题画诗中却不见“百”字的踪影。诗人开始好像只是在漫不经心地数数：一只、又一只，三、四、五、六、七、八只，数到第八只，诗人再也不耐烦了，突然感慨横生，笔锋一转，大发了一通议论。
诗人借题发挥，辛辣地讽刺了官场之中廉洁奉公、洁身自好的“凤凰”太少，而贪污腐化的“害鸟”则太多，他们巧取豪夺，把老百姓赖以活命的千石、万石粮食侵吞殆尽，使得民不聊生。
究竟苏轼的画中确有100只鸟，还是只有8只鸟呢？请你动动脑筋，先把题画诗中出现的数字，按次序写成一行：1，1，3，4，5，6，7，8。然后再在数与数之间加上适当的运算符号，便得到一个算式：1＋1＋3×4＋5×6＋7×8，运算的结果恰好等于100。
原来诗人是把100巧妙地分成了两个1，三个4，五个6和七个8之和，含而不露地落实了“百鸟图”中的“百”字，可谓匠心独运。
歌剧《刘三姐》中有一段精彩的情节，描写刘三姐与三位秀才对歌。双方用唱山歌的方式互相问难。三位秀才自恃有“学问”，在对歌中给刘三姐出了一道难道：罗秀才：小小麻雀莫逞能，三百条狗四下分。
一少三多要单数，看你怎样分得清。
刘三姐：九十九条打猎去，九十九条看羊来。
九十九条守门口，还剩三条狗奴才。
刘三姐毫不费力地把300分成了4个奇数之和：300=99＋99＋99＋3“三条狗奴才”暗指陶、李、罗三位助纣为虐的秀才。对歌中显出了刘三姐的机智与幽默，唱出了她对秀才们的鄙视和嘲弄。
在伦文叙的题画诗和刘三姐的歌词中，都把一个正整数分成了若干个正整数之和。像这样把一个正整数分成若干个正整数之和的方法，在数论中称为整数的分拆。整数分拆是一个非常活跃的数学分支，它涉及很多艰深的数学理论。
即以把300分成4个奇数之和为例，刘三姐只给出了一种答案（300=99＋99＋99＋3），现在要问：把300分成4个奇数之和，有多少种不同的方式？
在回答这个问题之前，先要作一些必要的说明。当4个加数完全相同而仅仅次序不同时，例如：300=99＋99＋99＋3与300=99＋99＋3＋99。
是算两种分拆方式，还是只算一种分拆方式。如果算两种，称为“计及次序的分拆”；如果只算一种，则称为“不计次序的分拆”。
按照刘三姐歌词中的唱法，300=99＋99＋99＋3与300=99＋99＋3＋99应该是有区别的。前者是有“3条狗奴才”，后者则应该是有“99条狗奴才”。所以，这是一个计及次序的分拆。
现在，我们把它抽象为一个数学问题：
把300分成有次序的4个奇数之和，有多少种不同的方式？
下面我们介绍这个问题的两种解法。
首先，我们可以这样来考虑：把300个小圆圈排成一行，并且两个两个连成一个环，共得150个环：在环与环之间的任一个空隙处画一条分界线，就把300分成了两个偶数之和。如图所示，分界线画在第4环与第5环的空隙处，就把300分成了8与292之和：现在再把分界线两边的环各切开一个，如图所示：这样就把300分成了4个有次序的奇数之和：300=3＋5＋285＋7。
当分界线画在第4个空隙的时候，左边有4节环，可以有4种不同方式切开其中的一个环；分界线的右边有150-4=146个环，有146种不同方式切开其中的某一环。因此，根据乘法原理，共有4×146种不同的方式把300分成4个奇数之和。
可画分界线的空隙共有149个，同理可知：分界线画在第1个空隙时，有1×149种方式把300分成4个奇数之和；分界线画在第2个空隙时，有2×148种方式把300分成4个奇数之和；……
分界线画在第149个空隙时，有149×1种方式把300分成4个奇数之和。
所以，把300分成4个有次序的奇数之和的方式总数有：1×149＋2×148＋3×147＋…＋148×2＋149×1
=（150-1）×1＋（150-2）×2＋（150-3）×3＋…＋（150-149）×149
=（150×1-12）＋（150×2-22）＋（150×3-32）＋…＋（150×149-1492
=150（1＋2＋…＋149）-（12＋22＋…＋1492）
=150×149×1502-149×150×2996
=1676250-1113775
=562475。
这个问题也可以这样来计算：
在两条短线之间画151个小圆圈，按次序排成一线：｜○○○…○○○｜（共151个圆圈）
在这151个小圆圈中任意选3个，把它们变成3条短线，就把剩下的148个小圆圈分成了4部分，分别夹在两条短线之间（有的两条短线之间可能没有小圆圈），例如，若取第一、第四和第八个小圆圈变成短直线，就得到：‖○○｜○○○｜○○…○｜在这个图中，第一部分有0个圈，第二部分有2个圈，第三部分有3个圈，第四部分有143个圈。把每一个圈都当作2，就得到了把148×2=296分成了4个有次序的非负的偶数之和。例如上图所对应的分拆是296=0＋4＋6＋286（1）
将上式右边的每一项都加上1，左边加上4，便得到一种把300分成4个有次序的奇数之和的方式：300=1＋5＋7＋287（2）
显然，分拆（2）与分拆（1）是一一对应的，要计数分拆（2）的个数，只要计数分拆（1）的个数就可以了。
因为每一种分拆（1）都由开始所选的那3个变成了短线的圆圈的位置所决定，所以，把300分成4个有次序的奇数之和的方式数，就相当于在151个圆圈中选取3个的方法数，即从151个元素中取3个的组合数，共有C3151种。
C3151=151×150×1493×2×1=562475。
与第一种方法得到的结果一致。
这是计及次序的分拆，如果不计次序，把300分成4个奇数之和的方式数有24875种，种数虽然少一些，但计算却复杂得多。此外，如果取消4个奇数的限制，把300分成若干个正整数之和的方式数，计算就更复杂了。
总之，整数的分拆是一个非常复杂的问题。如果当年与刘三姐对歌的秀才们，有人擅长数学的话，他们只要把自己歌词的最后一句改为：“多少分法请说清。”刘三姐即使非常聪明，一时之间，恐怕也是难于应对的吧！
