从（4）题开始，学生的答案会有不同，可以让学生先讨论，教师再做评述。即第（4）题中表面成立的f（x）=f（-x）不能经受任意性的考验，当x=2时，由于2[-3，1］，故f（2）不存在，更谈不上与f（-2）相等了，由于任意性被破坏，所以它不能是奇偶性。
教师由此引导学生，通过刚才这个题目，你发现在判断中需要注意些什么？（若学生发现不了定义域的特征，教师可再从定义启发，在定义域中有1，就必有-1，有-2，就必有2，有3，就必有-3，有a就必有-a，从而发现定义域应关于原点对称，再提出定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的什么条件？）
可以用（6）辅助说明充分性不成立，用（5）说明必要性成立，得出结论。
（板书）（3） 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件。
由学生小结判断奇偶性的步骤之后，教师再提出新的问题：在刚才的几个函数中有的是奇函数不是偶函数，有的是偶函数不是奇函数，也有既不是奇函数也不是偶函数的，那么有没有这样的函数，它既是奇函数也是偶函数呢？若有，举例说明。
经学生思考，可找到函数f（x）=0。然后继续提问：是不是具备这样性质的函数的解析式都只能写成这样呢？能证明吗？
例2已知函数f（x）既是奇函数也是偶函数，求证：f（x）=0。（板书） （试由学生来完成）
证明：
∵f（x）既是奇函数也是偶函数，
∴f（-x）=f（x），且f（-x）=-f（x），∴f（x）=-f（x） 。
∴2f（x）=0，即f（x）=0 。
证后，教师请学生记住结论的同时，追问这样的函数应有多少个呢？学生开始可能认为只有一个，经教师提示可发现，f（x）=0只是解析式的特征，若改变函数的定义域，如 f（x）=0，x∈[-1，1］ ，f（x）=0 ，x∈[-2，-1，0，1，2］ ，它们显然是不同的函数，但它们都是既是奇函数也是偶函数。由上可知函数按其是否具有奇偶性可分为四类。
（4） 函数按其是否具有奇偶性可分为四类： （板书）
例3 判断下列函数的奇偶性（板书）
（1）f（x）=kx＋b（k≠0） ；
（2） f（x）=a（a∈R；
（3） f（x）=12x2＋1x＞0
-12x2-1x＜0。
由学生回答，不完整之处教师补充。
解： （1）当b=0时，f（x）为奇函数，当b≠0时，f（x） 既不是奇函数也不是偶函数。
（2）当a=0时，f（x） 既是奇函数也是偶函数，当a≠0时，f（x） 是偶函数。
（3） 当x＞0时，-x＜0 于是f（-x）=-12（-x）2-1=-12x2-1=-f（x），当x＜0时，-x＞0 ，于是f（-x）=12（-x）2＋1=12x2＋1=-f（x）。
综上f（x）是奇函数。
教师小结 （1）（2）注意分类讨论的使用，（3）是分段函数，当x＞0检验f（-x）=-f（x），并不能说明f（x）具备奇偶性，因为奇偶性是对函数整个定义域内性质的刻画，因此必须x＞0，x＜0均有f（-x）=-f（x）成立，二者缺一不可。
三、 小结
1. 奇偶性的概念。
2. 判断中注意的问题。
四、 作业
略
五、 板书设计
2.函数的奇偶性
例1.
例3.
（1） 偶函数定义
（2） 奇函数定义
（3） 定义域关于原点对称是函数具备奇偶性的必要条件例2.小结（4）函数按奇偶性可分四类
【习题精选】
一、选择题
（1）下列说法正确的是。
（A）奇函数的图像一定过原点
（B）偶函数的图像一定与y轴相交
（C）y=-2x在其定义域内是增函数
（D）f（x）是奇函数的充要条件是它的图像关于原点对称（2）下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是。
（A）y=-3x＋2
（B）y=3x
（C）y=x2-4x＋5
（D）y=3x2＋8x-10。
（3）函数f（x）=x|x＋px|（p为常数），则
（A）对任何常数p，f（x）是既不是奇函数也不是偶函数（B）对任何常数p，f（x）是奇函数
（C）对任何常数p，f（x）是偶函数
（D）只有当p=0时，f（x）是奇函数
参考答案
（1）D （2）D （3）B
二、填空题
（1） f（x）=ax，g（x）=-bx在（-∞，0）都是减函数，则h（x）=ax2＋bx在（0，＋∞）上是函数（填增或减）。
（2）函数f（x）=2x2-mx＋3，当x∈[-2，＋∞）时，是增函数，当（-∞，-2］时是减函数，则f（1） 。
（3）已知f（x）=ax5＋bx3＋cx＋5（a，b，c是常数），且f（5）=9，则f（-5）的值为。
（4）若函数f（x）=x2-2（a-1）x＋2在（-∞，4］上是减函数，则a的取值范围是。
参考答案
（1）减 （2）13（3）1 （4）a≥5
三、解答题
（1）断下列函数的奇偶性：
①f（x）=1-x2＋x2-1；
② f（x）=（x-1）x＋1x-1；
③f（x）=|x＋1|-|x-1| ；
④ f（x）=0，x∈[-6，-2］∪ [2，6］；⑤f（x）=9-x2|x|。
（2）设f（x）在R上是奇函数，当x＞0时，f（x）=x（1-x） ，试问当x＜0时，f（x） 的表达式是什么？
（3）已知函数y=1-x2|x＋2|-2，试判断函数的奇偶性，并加以证明。
（4）设函数f（x）与g（x） 的定义域是x∈R且x ≠± 1，f（x） 是偶函数， g（x）是奇函数，且f（x）＋g（x）=1x-1，求f（x）和g（x）的解析式。
（5）若f（x）=（m＋1）x2＋2mx＋3m＋3m2＋2 （m为常数）是奇函数，求m的值。
（6）若f（x）是偶函数，定义域为（-∞，＋∞），且在[0，＋∞）上是减函数，试比较f（-34与f（a2-a＋1）的大小。
参考答案
（1）①偶函数 ②既不是奇函数也不是偶函数 ③奇函数 ④既是奇函数也是偶函数 ⑤偶函数（2）f（x）=x（1＋x）
（3） 奇函数
（4）f（x）=1x2-1，g（x）=xx2-1
（5） -1
（6）当a=12时，f（-34=f（a2-a＋1），当a≠12时，f（-34＞f（a2-a＋1）。
【典型例题】
例1给出下列函数的图像，指出函数的单调区间，并指明其单调性。
分析：通过图像直观观察其升降来判断其增减性，但必须注意区间端点的取舍要合理。
解：图（1）中f（x）的单调区间有（-3，］，（-1，0） ，[0，1） ，[1，3） 。其中在（-3，1］和[0，1）上是减函数，在（-1，0）和[1，3）上是增函数。
图（2）中g（x）的单调区间有-π2，π2和π2，3π2，其中在-π2，π2和π2，3π2上都是减函数。
说明：图（1）中x=-3和x=3不在定义域内，因此写单调区间时在这两个点上必须写成“开”而其余端点写成“开”或“闭”均可。图（2）中虽在两个区间上均为减区间，但不能把两个区间并起来。
例2用函数单调性定义证明：
（1） 在f（x）=-2x2＋3x＋c（c为常数）在-∞，34上是增函数。
（2） 在f（x）=x＋ax＋b（a＞b＞0）在（-b，＋∞）上是减函数。
分析：虽然两个函数均为含有字母系数的函数，但字母对于函数的单调性并没有影响，故无须讨论。
证明： （1）设x1，x2是-∞，34上的任意两个实数，且x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=（2x21＋3x1＋c）-（2x22＋3x2＋c）
=2x22-x21＋3x1-3x2
=2（x2＋x1）（x2-x1）-3（x2-x1）
=[2（x2＋x1）-3］（x2-x1）
由x1＜x2得x2-x1＞0，由x1，x2∈-∞，34得x1＜34，x2＜34 。
2x2＜32，2x2＜32，∴2（x2＋x1）＜3 ， 即2（x2＋x1）-3＜0 。
于是f（x1）-f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）。
∴f（x）在-∞，34上是增函数。
（2） 设x1，x2是（-b，＋∞）上的任意两个实数，且 x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=x1＋ax1＋b-x2＋ax2＋b=（x1-x2）（b-a）（x1＋b）（x2＋b）
由x1＜x2得x1-x2＜0，由x1，x2∈（-b，＋∞）得x1＞-b，x2＞-b 。
∴x1＋b＞0，x2＋b＞0。又a＞b＞0，∴b-a＜0 。
于是f（x1）-f（x2）＞0即f（x1）＞f（x2）。
∴f（x）=x＋ax＋b（a＞b＞0）在（-b，＋∞）上是减函数。
说明：由（1）中所得结论可知二次函数的单调区间只与对称轴的位置和开口方向有关，与常数c无关。若函数解析式是分式，通常变形时需要通分，将分子，分母都化成乘积的形式便于判断符号。
例3函数f（x）=（k2-3k＋2）x＋b在R上是减函数，求k的取值集合。
分析：首先需要对x前面的系数进行分类讨论，确定函数的类型，再做进一步研究。
解：当k2＋3k＋2=0时，函数此时为f（x）=b，是常数函数，在R上不具备增减性。
当k2-3k＋2≠0时， f（x）为一次函数，若在R上是减函数，则有k2-3k＋2＜0，解得1＜k＜2。故所求k的取值集合为（1，2）。
说明：此题虽比较简单，但渗透了对分类讨论的认识与使用。
例4下列函数是否具有奇偶性。
（1）f（x）=3x3＋5x5 ；
（2） f（x）=3x2-|x|＋1；
（3） f（x）=-x2＋2，x∈（-2，2］；（4） f（x）=x-xx2-1。
分析：根据定义，检验f（-x）与f（x）的关系，同时注意定义域。
解： （1）f（-x）=-3x3-5x5=-f（x）。∴f（x） 是奇函数。
（2） f（-x）=3（-x）2-|-x|＋1=3x2-|x|＋1=f（x）。∴f（x） 是偶函数。
（3）由于定义域（-2，2］不关于原点对称，故f（x）既不是奇函数也不是偶函数。
（1）f（x） 的定义域为x∈R且x ≠±1，是关于原点对称的，且有f（-x）=f（x）和f（-x）=-f（x）同时成立， 故f（x）既是奇函数又是偶函数。
