求完后教师请同学们作评价，学生之间可以讨论，充分暴露表述中的问题，让学生自行发现、自行解决。最后找代表发表意见，指出例2中问题，结果应为f-1（x）=x-1，（x≥2）。
教师可先明知故问f-1（x）=x-1，与f-1（x）=x-1，（x≥2） 有什么不同？让学生明确指出两个函数定义域分别是x≥1和x≥2，所以它们是不同的函数。再追问x≥2从何而来呢？让学生能从“三定”和“三反”中找出理由，是从原来函数的值域而来。
在此基础上，教师最后明确要求，由于反函数的定义域必是原来函数的值域，而不是从自身解析式出发寻求满足的条件，所以求反函数，就必须先求出原来函数的值域。之后由学生调整刚才的求解过程。
解： 由y=x2＋1得x2=y-1，又x≥1得x=y-1，又y=x2＋1，x≥1的值域是y≥2，
故所求反函数为f-1（x）=x-1，（x≥2） 。
（可能有的学生会提出例1中为什么不求原来函数的值域的问题，此时不妨让学生去具体算一算，会发现原来函数的值域求出的函数解析式中所求定义域是一致的，所以使得最后结果没有出错。但教师必须指出结论的一致性只是偶然，而不是必然，因此为规范求解过程要求大家一定先求原来函数的值域，并且在最后所求结果上注明反函数的定义域，同时让学生调整例1的表述，将过程补充完整。）
最后让学生一起概括求反函数的步骤。
（板书）3.求反函数的步骤
（1） 反解
（2） 互换
（3） 改写
对以上环节教师可稍作解释，然后提出再通过下面的练习来检验是否真正理解了。
三、巩固练习
练习：求下列函数的反函数。
（1）f（x）=23x＋2，x∈（-∞，3）
（2） y=x2-x＋1，x≥12。（由两名学生上黑板写）
解答过程略。
教师可针对学生解答中出现的问题，进行讲评。（如正负的选取，值域的计算，符号的使用）
四、小结
1.对反函数概念的认识。
2.求反函数的基本步骤。
五、作业
课本第68页习题2。4第1题中4，6，8，第2题。
六、板书设计
2.4反函数
例1.
练习。
一、反函数的概念
（1）
（2）
1. 定义
2. 对概念的理解例2.
（1） 三定（2）三反
3. 求反函数的步骤
（1）反解（2）互换（3）改写
【习题精选】
一、选择题
（1）在同一坐标系中，图像表示同一曲线的是。
（A）y=f（x）与y=f-1（x）
（B）x=f（y）与x=f-1（y）
（C）y=f（x）与x=f-1（y）
（D）y=f（x）与x=f（y）
（2）若函数存在反函数，则x的方程f（x）=m（m为常数）。
（A）至少有一实根
（B）有且仅有一实根
（C）至多有一实根
（D）没有实根
（3）点（a，b）在函数y=f（x）的图像上，则下列各点中必在其反函数图像上的是 。
（A）（a，f-1（a））
（B）（f-1（a），a）
（C）（f-1（b），b）
（D）（b，f-1（b））
参考答案
（1）C（2）C （3）D
二、填空题
（1）求下列函数的反函数：
① y=1-x2x＋1（x≠-12）；② y=25-（x＋2）2（-2≤x≤3）；③ f（x）=x2-2x＋2（x≤1）；④ y=xx ≥0
-x-1x＜4。
（2）函数f（x）=x|x|的反函数是。
（3） f（x）=11-x2（x＜-1），则f-1（-13的值为。
（4）要使函数f（x）=x2-2ax在[1，2］上存在反函数，则a的取值范围是。
（5）若函数f（x）=3x＋2x＋a有反函数，则实数a的取值范围是。
参考答案
（1）①y=1-x2x＋1，（x≠-12）
②y=25-x2-2，x∈[0，5］
③y=1-x-1x∈[1，＋∞）
④y=xx≥0
-1-xx＞-5
（2）y=xx≥0
--xx＜0
（3）-73
（4） a≤0或a≥2
（5）a ∈R且a≠-23
三、解答题
（1）已知函数f（x）=x-52x＋m的图像关于直线y=x对称，求m的值。
（2）函数f（x）=ax-2与g（x）=3x-b的图像关于直线y=x对称，求常数a，b的值。
参考答案
（1）-1（2）13，-6
【典型例题】
例1给出下列函数：
（1）y=x2-1（x＜-12 ；
（2） y=1x＋1；
（3）y=x（2-x）（x≥12） ；
（4）y=2xx＞1 ；
4x=1；
（5） y=x|x|-x-1。
其中不存在反函数的是。
分析：判断一个函数是否有反函数，从概念上讲即看对函数值域内任意一个y，依照这函数的对应法则，自变量x总有唯一确定的值与之对应，由于这种判断难度较大，故通常对给出的函数的图像进行观察，断定是否具有反函数。
解： （1） ，（2）都没有问题，对于（3）当y=34时，x=12 和x=32，且12，32∈12，＋∞。
对于（4）y=4时，x=2和x=1.对于（5）当y=-1时， 和x=0。
故（3），（4），（5）均不存在反函数。
说明：从图像上观察，只要看在相应的区间内是否单调即可。
例2求下列函数的反函数：
（1） f（x）=2x-1 ；
（2）f（x）=x2-3x，x＜1；
（3）f（x）=x＋1-1 ≤x＜0；
-x0≤x≤1。
分析：求反函数时，通常先由给定的解析式y=f（x）中解出 x=f-1（y），再求出原来的函数的值域，再把x与y互换。
解： （1）由y=2x-1得2x-1=y2∴x=y2＋12，又y=2x-1得值域是[0，＋∞）。
∴f-1（x）=x2＋12，x≥0。
（2）由y=x2-3x变形得x2-3x-y=0，∵x＜1∴x=3-9＋4y2。
又y=x2-3x，x＜1得值域是 y＞-2，∴f-1（x）=3-9＋4x2（x＞-2）
（3）由y=x＋1得x＋1=y2 ；∴x=y2-1 由y=-x得x=y2 。
又 y=x＋1（-1≤x＜0） 的值域是0≤y＜1 ，而y=-x（0≤x≤1）的值域是-1≤y≤0 ，∴f-1（x）=x2-10≤x＜1
x2-1≤x≤0
说明：在求解方程时，一定要注意题目中对x的限制条件的使用，分段函数存在反函数时，也应分段求解它的反函数，一般情况下，它的反函数仍然是个分段函数。
例3已知函数f（x）=x2-1（x≤-2），求f-1（4）的值。
分析： 符号f-1（4）的意义即反函数f-1（x）在x=4时的值，故可先求f-1（x），再求f-1（4）的值，但如果真正搞清了反函数与原来函数的关系，就会知道它的另一层含义即当原来函数的函数值为4时相应的自变量的取值。
解： 令x2-1=4，解此方程得x=±5，再考虑到x≤-2，故x=-5。
说明：此题意在要求学生不仅能在定义中理解互为反函数的两个函数之间的关系，还能从符号角度认识它们之间的关系，也正是基于这种理解才找到了更为简捷的方法。（此法对于求反函数比较复杂的题目尤为适用）
例4已知函数f（x）与其反函数f-1（x）是同一个一次函数f（x）=ax＋b，试指出a，b的所有取值可能。
分析：此题可以有两种求解思路：一是求解f（x）的反函数的解析式，与f（x）=ax＋b比较，让对应系数相等，列出关于a，b的方程，二是利用两个函数图像的对称性，找对称点，利用点的坐标满足解析式来列方程。
解：由f（x）=ax＋b知点（0，b）在图像上，则点（b，0）定在f-1的图像上，于是ab＋b=0 （1）又f（x）=ax＋b过点（1，a＋b），则点（a＋b，1）也在f-1的图像上，于是a（a＋b）＋b=1 （2）
由（1）得b=0或a=-1，当a=-1时，代入（2），此时（2）恒成立即 b∈R；当b=0代入（2）解得a=±1。
综上，a，b 的所有取值可能有a=1
b=0或a=-1
b∈R 。
说明：此题是反函数概念与方程思想的综合。在这个题目中特殊点的选取一般是考虑计算简单方便，而且这种取特殊点列方程的方法在其他地方也有应用，故对此种方法要引起重视。另外此题在最后作答时，要求写出a，b的所有取值可能即要把a的取值与b的取值搭配在一起，所以解方程组时要特别小心这一点。
例5已知函数f（x＋1）=x2＋2x-1，x∈[1，2］ ，求f（x-1）的反函数。
分析： 由于已知是f（x＋1），所求是f（x-1）的反函数，因此应首先由f（x＋1）找到f（x），再由f（x）求出f（x-1）的表达式，再求反函数。
解：令x＋1=u，则x=u-1，∴f（u）=（u-1）2＋2（u-1）-1=u2-2，u∈[2，3］ ， f（x）=x2-2，，x∈[2，3］。于是有f（x-1）=（x-1）2-2=x2-2x-1，x∈[3，4］ 。
由y=x2-2x-1得x2-2x-1-y=0，由于 x∈[3，4］，∴x=2＋8＋4y2=1＋2＋y。
又y=x2-2x-1，x∈[3，4］ 的值域是[2，7］ ，∴f（x-1）的反函数是y=1＋2＋x，x∈[2，7］。
说明：此题涉及对抽象函数符号的认识与理解，特别是在换元过程中，相应变量的取值范围也要随之发生改变，这一点是学生经常忽略的问题。
例6设定义域和值域都是R的函数f（x）的反函数为f-1（x），且对于任意a，b∈R都有f（a＋b）=f（a）·f（b），求证：f-1（mn）=f-1（m）＋f-1（n）对任意m，n∈R也成立。
分析：由函数f（x）的性质推证其反函数的性质，应首先要把f-1（x）的问题转化成f（x）的问题，转化的依据是对互为反函数的两个函数关系的理解。
证明：令f-1（m）=p，f-1（n）=q，其中m，n∈R，那么p，q ∈R。
则有f（p）=m，f（q）=n （1）
由于f（a＋b）=f（a）·f（b）对任意a，b∈R成立，∴f（p＋q）=f（p）·f（q）=m·n 。
由于m，n∈R ，则m·n ∈R。
故有f-1（mn）=p＋q，即f-1（mn）=f-1（m）＋f-1（n） 。
说明：使用抽象函数符号进行简单的证明，是提高研究函数性质理论层次的一种要求，对于较好的学生应适当做一些这样的题目。
