【教学目标】
一、掌握对数函数的概念、图像和性质，且在掌握性质的基础上能进行初步的应用。
（1） 能在指数函数及反函数的概念的基础上理解对数函数的定义，了解对底数的要求及对定义域的要求，能利用互为反函数的两个函数图像间的关系正确描绘对数函数的图像。
（2） 能把握指数函数与对数函数的实质去研究认识对数函数的性质，初步学会用对数函数的性质解决简单的问题。
二、通过对数函数概念的学习，树立相互联系相互转化的观点，通过对数函数图像和性质的学习，渗透数形结合、分类讨论等思想，注重培养学生的观察、分析、归纳等逻辑思维能力。
三、通过指数函数与对数函数在图像与性质上的对比，对学生进行对称美、简洁美等审美教育，调动学生学习数学的积极性。
【教学建议】
一、教材分析
（1） 对数函数又是函数中一类重要的基本初等函数，它是在学生已经学过对数与常用对数、反函数以及指数函数的基础上引入的。故是对上述知识的应用，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识与理解。对数函数的概念、图像与性质的学习使学生的知识体系更加完整、系统，同时又是对数和函数知识的拓展与延伸。它是解决有关自然科学领域中实际问题的重要工具，是学生今后学习对数方程、对数不等式的基础。
（2） 本节的教学重点是理解对数函数的定义，掌握对数函数的图像性质。难点是利用指数函数的图像和性质得到对数函数的图像和性质。由于对数函数的概念是一个抽象的形式，学生不易理解，而且又是建立在指数与对数关系和反函数概念的基础上，故应成为教学的重点。
（3） 本节课的主线是对数函数是指数函数的反函数，所有的问题都应围绕着这条主线展开。而通过互为反函数的两个函数的关系由已知函数研究未知函数的性质，这种方法是第一次使用，学生不适应，把握不住关键，所以应是本节课的难点。
二、教法建议
（1） 对数函数在引入时，就应从学生熟悉的指数问题出发，通过对指数函数的认识逐步转化为对对数函数的认识，而且画对数函数图像时，既要考虑到对底数的分类讨论而且对每一类问题也可以多选几个不同的底，画在同一个坐标系内，便于观察图像的特征，找出共性，归纳性质。
（2） 在本节课中结合对数函数教学的特点，一定要让学生动手做，动脑想，大胆猜，要以学生的研究为主，教师只是不断地反函数这条主线引导学生思考的方向。这样既增强了学生的参与意识又教给他们思考问题的方法，获取知识的途径，使学生学有所思，思有所得，练有所获，从而提高学习兴趣。
【教学设计示例】
（第八节）对数函数
教学目标：
1. 在指数函数及反函数概念的基础上，使学生掌握对数函数的概念，能正确描绘对数函数的图像，掌握对数函数的性质，并初步应用性质解决简单问题。
2. 通过对数函数的学习，树立相互联系，相互转化的观点，渗透数形结合，分类讨论的思想。
3. 通过对数函数有关性质的研究，培养学生观察、分析、归纳的思维能力，调动学生学习的积极性。
教学重点、难点：
重点是理解对数函数的定义，掌握图像和性质。
难点是由对数函数与指数函数互为反函数的关系，利用指数函数图像和性质得到对数函数的图像和性质。
教学方法：
启发研讨式
教学用具：
投影仪
教学过程：
一、引入新课
今天我们一起再来研究一种常见函数。前面的几种函数都是以形式定义的方式给出的，今天我们将从反函数的角度介绍新的函数。
反函数的实质是研究两个函数的关系，所以自然我们应从大家熟悉的函数出发，再研究其反函数。这个熟悉的函数就是指数函数。
提问：什么是指数函数？指数函数存在反函数吗？
由学生说出y=ax（a≥0，a≠1）是指数函数，它是存在反函数的。并由一个学生口答求反函数的过程：由y=ax得ax=y，∴x=logay。又y=ax的值域为（0，＋∞），∴ 所求反函数为y=logax，x∈（0，＋∞）。
那么我们今天就是研究指数函数的反函数——对数函数。
（板书）2.8对数函数
二、讲授新课
（板书）（一） 对数函数的概念。
1. 定义：函数f（x）=ax（a＞0，a≠1）的反函数f-1（x）=logax（a＞0，a≠1）叫做对数函数。
由于定义就是从反函数角度给出的，所以下面我们的研究就从这个角度出发。如从定义中你能了解对数函数的什么性质吗？最初步的认识是什么？
教师可提示学生从反函数的三定与三反去认识，从而找出对数函数的定义域为（0，＋∞），对数函数的值域为R，且底数a就是指数函数中的a，故有着相同的限制条件a＞0，a≠1。
在此基础上，我们将一起来研究对数函数的图像与性质。
（二）对数函数的图像与性质。（板书）
1. 作图方法。
提问：学生打算用什么方法来画函数图像？学生应能想到利用互为反函数的两个函数图像之间的关系，利用图像变换法画图。同时教师也应指出用列表描点法也是可以的，让学生从中选出一种，最终确定用图像变换法画图。
由于指数函数的图像按a＞1和0＜a＜1分成两种不同的类型，故对数函数的图像也应以1为分界线分成两种情况a＞1和0＜a＜1，并分别以y=log2x和y=log12x为例画图。
具体操作时，要求学生做到：
（1） 指数函数y=2x和y=（12）x的图像要尽量准确（关键点的位置，图像的变化趋势等）。
（2） 画出直线y=x。
（3）y=2x 的图像在翻折时先将特殊点（0，1）对称点（1，0）找到，变化趋势由靠近x轴对称为逐渐靠近y轴，而y=（12）x的图像在翻折时可提示学生分两段翻折，在y=x左侧的先翻，然后再翻在y=x右侧的部分。
学生在笔记本完成具体操作，教师在学生完成后将关键步骤在黑板上演示一遍，画出y=log2x和y=log12x的图像。（此时同底的指数函数和对数函数画在同一坐标系内）如图：2. 草图。
教师画完图后再利用投影仪将y=log2x和y=log12x的图像画在同一坐标系内，如图：然后提出让学生根据图像说出对数函数的性质（要求从几何与代数两个角度说明）。
3. 性质。
（1） 定义域：（0，＋∞）
（2） 值域：R
由以上两条可说明图像位于y轴的右侧。
（3） 截距：令y=0得x=1，即在x轴上的截距为1，与y轴无交点即以y轴为渐近线。
（4） 奇偶性：既不是奇函数也不是偶函数，即它不关于原点对称，也不关于y轴对称。
（5） 单调性：与a有关。当a＞1时，在（0，＋∞）上是增函数。即图像是上升的；当0＜a＜1 时，在（0，＋∞）上是减函数，即图像是下降的。之后可以追问学生有没有最大值和最小值，当得到否定答案时，可以再问能否看待何时函数值为正？学生看着图可以答出应有两种情况：当a＞1，x＞1时，有y＞0；当0＜a＜1，0＜x＜1时，有y＞0。
学生回答后教师可指导学生巧记这个结论的方法：当底数与真数在1的同侧时函数值为正，当底数与真数在1的两侧时，函数值为负，并把它当作第（6）条性质板书记下来。
最后教师在总结时，强调记住性质的关键在于要脑中有图，且应将其性质与指数函数的性质对比记忆。（特别强调它们单调性的一致性）
对图像和性质有了一定的了解后，一起来看看它们的应用。
（三）简单应用。 （板书）
1. 研究相关函数的性质。
例1求下列函数的定义域：
（1）y=log（5-1）（2x-3） （2）y=logax2
（3）y=lg（4-x）
先由学生依次列出相应的不等式，其中特别要注意对数中真数和底数的条件限制。
2. 利用单调性比较大小。（板书）
例2 比较下列各组数的大小
（1）log365与log376 ；
（2）log1π0.98 与log1π1.01 ；（3）lga 与lg2a ；
（4） loga-12931与 loga-12932 。
让学生先说出各组数的特征即它们的底数相同，故可以构造对数函数利用单调性来比大小。最后让学生以其中一组为例写出详细的比较过程。
三、巩固练习
练习：若loga23＜1，求a的取值范围。
板书设计
2.8对数函数
一、概念
1. 定义2.认识
二、图像与性质
1.作图方法
2.草图
图1图2
3.性质
（1）定义域 （2）值域 （3）截距 （4）奇偶性 （5）单调性三、应用
1.相关函数的研究
例1例2
练习
【习题精选】
（1） 如图，曲线是对数函数y=logax的图像，已知a的取值3，43，35，110，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的a值依次为．（A）3，43，35，110（B）3，43，110，35
（C）43，3，35，110（D）43，3，110，35
（2）若|loga14|=loga14，且|logba|=-logba，则a，b满足的关系式是
（A）1〈a，1〈b（B）1〈a且0〈b〈1
（C） 1〈b且0〈a〈1（D）0〈a〈1且0〈b〈1
（3）函数y=logax在区间[2，π］上的最大值比最小值大2，则实数a=。
（4）已知奇函数f（x）满足f（x＋2）=f（x），当x∈（0，1）时，函数f（x）=2x，则f（log1223）=。
（5）已知函数f（x）=log12（x2＋2x＋4），则f（-1996）与f（-1995）的大小关系是。
（6）函数y=log05（4x-x2）的值域为。
（7）若a＞0，a≠1，F（x）是偶函数，则G（x）=F（x）·loga（x＋x2＋1）的图像是。
（A）关于x轴对称（B）关于y轴对称
（C）关于原点对称（D）关于直线y=x对称（8）已知函数f（x）=（log14x）2-log14x＋5.
① 判断函数的单调区间及在每一个单调区间内的单调性；② 当x∈[2，4］时，求f（x）的最大值，最小值及相应的x值。
（9）方程35x＋log3x=3实数解所在的区间是 。
（A）（3，4） （B）（4，5）
（C）（5，6）（D）（6，7）
（10）设函数y=f（x）且lg（lgy）=lg3x＋lg（3-x）。
① 求f（x）的解析式，定义域；
② 讨论f（x）的单调性，并求f（x）的值域。
参考答案
（1）A；（2）C ；（3）π 2或2π ；（4） -2316；（5） f（-1996）＜f（-1995）（6） [-2，＋∞］；（7）C；（8）①在[0，12］上单调递减，在[12，＋∞］上单调递增。
②当x=2时，f（x）min=234，当x=4时，f（x）max=7.
（9）A；（10） ①f（x）=103x（3-x） ；x∈（0，3） ②在（0，32）上单调递增，在（32，3）上单调递减，y∈（1，10274）
【典型例题】
例1 求下列函数的定义域
（1）y=log（5x-1）（7x-2） （2）y=log0.5（3x-1）
（3）y=loga（ax-1）（a＞0，a≠1）
解：（1）由5x-1＞0
5x-1≠1
7x-2＞0得x＞27且x≠25 。所求定义域为（27，25）∪（25，＋∞）。
（2）由log0.5（3x-2）≥0得0＜3x-2≤1，解得23＜x≤1，所求定义域为（23，1）。
（3）由ax-1＞0得ax＞1，当a＞1时，x＞0，当0＜a＜1时，x＜0。
所求定义域为当a＞1时，x∈（0，＋∞）；当0＜a＜1时，x∈（＋∞，0）。
说明：注意对数函数的单调性也是与底数a相关，但还必须同时注意保证真数有意义。
例2 求函数y=log2（x2-2x＋3），x∈（-∞，1）的反函数。
分析：应首先按照求反函数的步骤去操作，求值域时应注意按复合函数求值域去操作。
解： 由y=log2（x2-2x＋3），得x2-2x＋3-2y=0。
∴x=2±21-（3-2y）2=1±2y-2，又x≤1
于是有x=1-2y-2 。又y=log2（x2-2x＋3），x∈（-∞，1）的值域为（1，＋∞），∴ 所求反函数为y=1-2x-2（x≥1）。
例3 比较下列各组数的大小：
（1）ln0.99与ln0.9 （2） p=0.95.1，m=5.10.9，n=log0.95.1
（3）若1＜x＜d，a=log2dx，b=logdx2，c=logd（logdx）。
分析：比较两个对数形的数若同底可利用对数函数的单调性，若不同底可以借助常数为媒介搭桥比较，也可以借助对数函数图像来确定对数值的取值范围进行比较。
解：（1）由y=lnx在（0，＋∞）上单调递增，且0＜0.99＜0.9· ，故ln0.99＜0.9·。
（2）log0.95.1＜logo.91=0 ，而0.95.1＜0.90= 1，5.10.9＞5.10=1 ，∴p＜m＜n。
（3）令logdx=u，由1＜x＜d可知0＜logdx＜1 即u∈（0，1） 。
则a=u2，b=2u，c=logdu，u ∈（0，1） ，在同一坐标系下画出这三个函数的图像， 如图示：可知b最大，c最小，即c＜a＜b。
例4 已知函数f（x）=loga|x|，（a＞0，a≠1）且f（x2＋4x＋8）＞f（-π）。试写出函数的单调区间。
分析：欲求出函数的单调区间，必须由条件先确定底数a的情况，再结合函数是偶函数求出单调区间。
解：由|x|＞0得f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，＋∞），且f（-x）=loga|-x|=loga|x|=f（x），故f（x）为偶函数。f（-π）=f（π）。又x2＋4x＋8=（x＋2）2＋4＞π＞0
由f（x2＋4x＋8）＞f（-π）可知a＞1 。
f（x）=loga|x|=logaxx＞0
-logaxx＜0，在（0，＋∞）上是增函数，在（-∞，0）上是减函数。
说明：此题对底数范围的确定是函数单调性的反用，而且在自变量的比较时，应让它们处在函数的同一单调区间内。
例5 已知f（x）=2＋log3x，x∈[1，9］，求F（x）=[f（x）］2＋f（x2）的最大值和相应的x值。
分析：求F（x）的最大值需先解决两个问题，一是找出其表达式，二是求出它的定义域。
解：f（x）=2＋log3x，
∴F（x） = （2＋log3x）2＋2＋log3x2。
∵f（x）的定义域为[1，9］
∴1≤x2≤9解得1≤x≤3，0≤log3x≤1 。
故y=（log3x＋3）2-3 ，当log3x=1时，F（x）max=13此时x=3。
说明：此题求解的关键是F（x）的定义域的确定，它应使F（x）=[f（x）］2＋f（x2）中的f（x）2和[f（x）］2都有意义，所以应有x2∈[1，9］和x∈[1，9］同时成立。
例6 设函数f（x）=lg（ax2＋2x＋1） ，若f（x）的值域为R，求实数a的取值范围。
分析：由值域为R和对数函数的单调性可将问题转化为u=ax2＋2x＋1能取遍所有正实数的问题。
解：令u=ax2＋2x＋1，依题意u=ax2＋2x＋1应取遍一切正实数即函数值域是正实数集的子集。则有a=0或a＞0
Δ=4-4a≥0，解得0≤a≤ 1。
说明：将非常规问题通过等价变换转化为常规问题是处理陌生问题的重要手段。
例7 设函数f（x）=loga（1＋x）在（1，＋∞）上函数值恒有|f（x）|＞2，求实数a的取值范围。
分析：此题中|f（x）|＞2对x∈（1，＋∞） 恒成立的问题，是无数多个不等式的成立问题应借助函数思想，利用函数的最值，将其转化为有限个不等式的求解问题。
解：问题等价于对任意x∈（1，＋∞）loga（1＋x）＞2或loga（1＋x）＜-2。
loga（1＋x）（x≥1）的最小值＞2或loga（1＋x）（x≥1）的最大值＜-2。
a＞1
loga2＞2 或 0＜a＜1
loga2＜-2
1＜a＜2或22＜a＜1。
∴所求a的取值范围是（1，2）∪（22，1）。
