读作：A包含于B或B包含A
若任意x∈Ax∈B，则AB
当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作：AB或BA。
性质：①AA（任何一个集合是它本身的子集）
②A（空集是任何集合的子集）
置疑：能否把子集说成是由原来集合中的部分元素组成的集合？
解疑：不能把A是B的子集解释成A是由B中部分元素所组成的集合。
因为B的子集也包括它本身，而这个子集是由B的全体元素组成的。空集也是B的子集，而这个集合中并不含有B中的元素。由此也可看到，把A是B的子集解释成A是由B的部分元素组成的集合是不确切的。
（2）集合相等：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B。
例：｛-1，1｝=｛1，-1｝，可见，集合A=B，是指A、B的所有元素完全相同。
（3）真子集：对于两个集合A与B，如果AB，并且A≠B，我们就说集合A是集合B的真子集，记作：AB（或BA），读作A真包含于B或B真包含A。
思考：能否这样定义真子集：“如果A是B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集。”
集合B同它的真子集A之间的关系，可用文氏图表示，其中两个圆的内部分别表示集合A，B。
提问：
（1）写出数集N，Z，Q，R的包含关系，并用文氏图表示。
（2）判断下列写法是否正确
①A②A③AA④AA性质：
（1）空集是任何非空集合的真子集。若A，且A≠，则A；（2）如果AB，BC，则AC。
例1写出集合｛a，b｝的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集。
解答：
集合｛a，b｝的所有的子集是，｛a｝，｛b｝，｛a，b｝，其中，｛a｝，｛b｝是｛a，b｝的真子集。
注意：（1）子集与真子集符号的方向。
如AB与BA同义；AB与AB不同（2）易混符号
①“∈”与“”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系。如1∈N，-1N，NR，R，｛1｝｛1，2，3｝②｛0｝与：｛0｝是含有一个元素0的集合，是不含任何元素的集合。
如：｛0｝，不能写成=｛0｝，∈｛0｝例2见教材P8（解略）
例3判断下列说法是否正确，如果不正确，请加以改正。
（1）｛｝表示空集；
（2）空集是任何集合的真子集；
（3）｛1，2，3｝不是｛3，2，1｝；（4）｛0，1｝的所有子集是｛0｝，｛1｝，｛0，1｝；（5）如果AB且A≠B，那么B必是A的真子集；（6）AB与BA不能同时成立。
解：（1）｛｝不表示空集，它表示以空集为元素的集合，所以（1）不正确；（2）不正确。空集是任何非空集合的真子集；（3）不正确。｛1，2，3｝与｛3，2，1｝表示同一集合；（4）不正确。｛0，1｝的所有子集是｛0｝，｛1｝，｛0，1｝，；（5）正确。
（6）不正确。当A=B时，AB与BA能同时成立。
例4用适当的符号（∈，，=，，）填空：（1）0｛0｝；0；｛0｝；
（2）｛x|x2＋1=0，x∈R｝；｛0｝｛x|x2＋1=0，x∈R｝；（3）2-3｛ab＋b2|a，b∈Q｝；（4）设A=｛x|x=2n-1，n∈Z｝，B=｛x|x=2m＋1，m∈Z｝，C=｛x|x=4k＋1，k∈Z｝，则ABC。
解：（1）0∈｛0｝0｛0｝；
（2）＝｛x|x2＋1=0，x∈R｝，｛0｝｛x|x2＋1=0，x∈R｝；（3）2-3=126-122，12，12∈Q。 ∴2-3∈｛a6＋b2|a，b∈Q｝ ；（4）A，B，C均表示所有奇数组成的集合，∴A＝B＝C。
练习：教材P9
用适当的符号（∈，，=，，）填空：（1）a｛a｝；（5）｛a，b｝｛b，a｝；（2）a｛a，b，c｝；（6）｛3，5｝｛1，3，5，7｝；（3）d｛a，b，c｝；（7）｛2，4，6，8｝｛2，8｝；（4）｛a｝｛a，b，c｝；（8）｛1，2，3｝。
解：（1）∈；（2）∈；（3）；（4）；（5）＝；（6）；（7）；（8） 。
提问：见教材P9例子
（二） 全集与补集
1.补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集（即AS），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集），记作CSA，即CSA=｛x|x∈S且xA｝。
A在S中的补集CSA可用上图中阴影部分表示。
性质： CS（CSA）=A
如：（1）若S=｛1，2，3，4，5，6｝，A=｛1，3，5｝，则CSA=｛2，4，6｝；（2）若A=｛0｝，则CNA=N*；
（3）CRQ是无理数集。
2.全集：
如果集合S中含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U表示。
注：Cu是对于给定的全集U而言的，当全集不同时，补集也会不同。
例如：若A=｛正方形｝，当U=｛菱形｝时，CuA=｛一个内角不等于90°的菱形｝；当U=｛矩形｝时，则CuA=｛邻边不相等的矩形｝。
例5设全集U=R，A=｛x|x＜-1，或x＞1｝，B=｛x|x-2≥0｝，判断CuA与CuB之间的关系。
解：∵A=｛x|x＜-1，或x＞1｝
∴CuA=｛x|-1≤x≤1｝
∵B=｛x|x-2≥0｝
∴CuB=｛x|x＜2｝
∴CuACuB
练习：见教材P10练习
1.填空：
S=｛x|x是小于9的正整数｝，A=｛1，2，3｝，B=｛3，4，5，6｝，那么CsA=，CsB= 。
解：CsA=｛4，5，6，7，8｝，CsB=｛1，2，7，8｝2.填空：
（1）如果全集U=Z，那么N的补集CuN=；（2）如果全集，U=R，那么CUQ的补集Cu（CuQ）=。
解：（1）｛x∈Z|x＜0｝；（2）Q
三、小结
本节课学习了以下内容：
1.五个概念（子集、集合相等、真子集、补集、全集，其中子集、补集为重点）
2.五条性质
（1）空集是任何集合的子集。A
（2）空集是任何非空集合的真子集。A（A≠Φ）
（3）任何一个集合是它本身的子集。AA（4）如果AB，BC，则AC。
（5）CS（CSA）=A
3.两组易混符号：（1）“∈”与“”：（2）｛0｝与（四）课后作业：见教材P10习题1.2
（五）板书设计：
课题
一、知识点
（一）（二）例题：
【习题精选】
一、填空题
1.已知三个元素的集合A=｛a，ab，a-b｝，B=｛0，|a|，b｝，如果A=B，那么a＋b的值为。
2. 已知A=｛x|x＜-1或x＞5｝，B=｛x|a≤x＜a＋4｝。若AB，则实数a的取值范围是。
3.设全集为Z，A=｛x∈Z|x＜8｝，B=｛x∈Z|x≤3｝，则CZA与CZB的关系是。
4.若AB，AC，B=｛0，1，23｝，C=｛0，2，4，8｝，则满足上述条件的集合A为。
二、解答题
1.已知集合M=｛a，a＋d，a＋2d｝，P=｛a，aq，aq2｝，其中a≠0，a，d，q∈R，且M=P。求q的值。
2.设全集S=｛x∈R|x2-8x＋15=0｝，CSA=｛x∈R|ax-1=0｝，求由实数a组成的集合。
3.已知A=｛0，1｝，B=｛x|xA｝，C=｛x|x∈A，x∈N*｝，试确定A，B，C之间的关系。
参考答案
一、填空题
1.－2. 2.a≤-5，或a＞53.CzACzB 4.，｛0｝，｛2｝，｛0，2｝ 。
二、解答题
1.q=-12。注意a≠0，q≠1，d≠0。
2.0，13，15
3.A∈B，C∈B，CA。
【典型例题】
例1判断下列说法是否正确，如果不正确，请加以改正。
（1）｛｝表示空集；
（2）空集是任何集合的真子集；
（3）｛1，2，3｝不是｛3，2，1｝；（4）｛0，1｝的所有子集是｛0｝，｛1｝，｛0，1｝；（5）如果AB且A≠B ，那么B必是A的真子集；（6）AB与BA不能同时成立。
解：（1） ｛｝不表示空集，它表示以空集为元素的集合，所以（1）不正确；（2）不正确。空集是任何非空集合的真子集；（3）不正确。｛1，2，3｝与｛3，2，1｝表示同一集合；（4）不正确。｛0，1｝ 的所有子集是｛0｝，｛1｝，｛0，1｝，；（5）正确。
（6）不正确。A=B 时，AB与BA能同时成立。
说明：本题中某些似是而非的问题是学生学习中常常出现的问题，教学中应及时收集学生作业中的类似问题，让学生判断，以加深学生对子集和真子集，包含和相等的理解。
例2用适当的符号（∈，，=，，）填空：（1）0｛0｝；0 ；｛0｝
（2）｛x|x2＋1=0，x∈R｝；；（3）2-3｛ab＋b2|a，b∈Q｝；（4）设 A=｛x|x=2n-1，n∈Z｝，B=｛x|x=2m＋1，m∈Z｝，则ABC。
解：（1）0∈0｛0｝
（2）＝｛x|x2＋1=0，x∈R｝，｛0｝｛x|x2＋1=0，x∈R｝ ；（3）∵2-3=126-122∴2-3∈｛a6＋b2|a，b∈Q｝；（4）∵A，B，C均表示奇数集，∴A＝B＝C。
说明：本题主要是训练学生正确运用集合的符号，这类题的解法应使学生熟练掌握，为此教师还可以选编一些习题供学生练习。
例3设A=｛a，b｝，且B=｛x|xA｝则
A.A∈ BB.AB C.A BD.AB解： 由B的表示可知，x代表A的子集，B=｛，｛a｝，｛b｝，｛a，b｝｝，所以 A∈B。
例4若集合：
M=｛x|x=m=16，m∈Z｝，N=｛x|x=n2-13，n∈Z｝，P=x|x=p2＋16，p∈Z ，则M，N，P的关系是
A.M=NPB.MN=P
C.MNPD.ZPM
解：对集合M，x=16
对集合N，x=3p＋16，p ∈Z
对于集合P， x=3P＋16，P ∈Z
∴MN=P，故选B。
例5设全集U=R，A=｛x|x＜-1，或x＞1｝，B=｛x|x-2≥0｝，判断Cu与CuB之间的关系。
解：∵A=｛x|x＜-1，或x＞1｝
∴CuA=｛x|-1≤x≤1｝
∵B=｛x|x-2≥0｝
∴CuB=｛x|x＜2｝
∴CuCuB
