第一课时
【教学目标】
理解互斥事件的概念，掌握互斥事件中有一个发生的概率的计算公式。
【教具准备】：投影胶片。
【教学过程】
一、设置情境
1个盒内放有10个大小相同的小球，其中有7个红球，2个绿球，3个黄球，从中任取一个球。
求：（1）得到红球的概率；（2）得到绿球的概率；（3）得到红球或者绿球的概率。
师问：“得到红球”和“得到绿球”这两个事件之间有什么关系，可以同时发生吗？问题（3）中的事件“得到红球或者绿球”与问题（1）（2）中的事件有何联系，它们的概率间的关系如何？
二、探索研究
1．互斥事件的定义
我们把“从中摸出1个球，得到红球”叫做事件A，“从中摸出1个球，得到绿球”叫做事件B，“从中摸出1个球，得到黄球”叫做事件C。
如果从盒中摸出1个球是红球，即事件A发生，那么事件B就不发生；如果从盒中摸出1个球是绿球，即事件B发生，那么事件A就不发生。就是说，事件A与B不可能同时发生。这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。
一般地，如果事件A1，A2，…，An中的任何两个都是互斥的，那么就说A1，A2，…，An彼此互斥。
从集合的角度看，n个事件彼此互斥，是指各个事件所含的结果组成的集合彼此不相交。
2．互斥事件有一个发生的概率
设A、B是两个互斥事件，那么A＋B表示这样一个事件：在同一试验中，A与B中有一个发生就表示它发生。那么事件A＋B的概率是多少？
在上面的问题中“从盒中摸出1个球，得到红球或绿球”就表示事件A＋B。
由于从盘中摸出1个球有10种可能的方法，而得到红球或绿球的方法有7＋2种，所以得到红球或绿球的概率P（A＋B）=7＋210
另一方面
P（A）=710，P（B）=210
由7＋210=710＋210，我们看到
P（A＋B）=P（A）＋P（B）
这就是说，如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生（即A，B中有一个发生）的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和。
一般地，如果事件A1，A2，…，An，彼此互斥，那么事件A1＋A2＋…＋An发生（即A1，A2，…，An中有一个发生）的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P=（A1，A2，…，An）=P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An）
3．例题分析
例1一个射手进行一次射击，记“命中的环数大于8”为事件A，“命中的环数大于5”为事件B，“命中的环数小于4”为事件C，“命中的环数小于6”为事件D。那么A、B、C、D中有多少对互斥事件？
（学生思考后再提问。答案：有四对，即A与C，A与D，B与C，B与D）
例2某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示：年降水量（单位：mm）[100，150）[150，200）[200，250）[250，300）
概率0.120.250.160.14
（1）求年降水量在[100，200）（mm）范围内的概率；（2）求年降水量在[150，300）（mm）范围内的概率；解：记这个地区的年降水量在[100，150）、[150，200）、[200，250）、[250，300）（mm）范围内分别为事件A、B、C、D。这四个事件是彼此互斥的，根据互斥事件的概率加法公式，有（1）年降水量在[100，200）（mm）范围内的概率是P（A＋B）=P（A）＋P（B）=0.12＋0.25=0.37
（2）年降水量在[150，300）（mm）范围内的概率是P（B＋C＋D）=P（B）＋P（C）＋P（D）
=0.25＋0.16＋0.14=0.55
例3一个计算机学习小组有男同学6名，女同学4名。从中任意选出4人组成代表队参加比赛，求代表队里男同学不超过2人的概率。
解：代表队里男同学不超过2人，即男同学可以有2人、1人、或没有。记代表队里有2名男同学为事件A，有1名男同学为事件B，没有男同学为事件C，则A、B、C彼此互斥。所以代表队里男同学不超过2人的概率P（A＋B＋C）=P（A）＋P（B）＋P（C）
C26C24C410＋C16C34C410＋C44C410=2342
三、演练反馈
1．把一枚硬币连续抛掷5次，求正面出现3次以上的概率。
（由一名学生板演后，教师讲解）
2．从0，1，2，3这四个数中任取3个进行排列组成无重复数字的三位数，求排成的三位数是偶数的概率。
3．若A、B为互斥事件，P（A）=0.4，P（A＋B）=0.7，则P（B）=。
参考答案
1．解：连续抛掷5次的结果数为25，出现4次正面的结果数为C45，出现5次正面的结果数为C55，所以出现正面3次以上的概率为P=P1＋P2=C4525＋C5525=316
2．解：记“排成的三位数的个位数字是0”为事件A，“排成的三位数的个位数字是2”为事件B，且A与B互斥，则“排成的三位数是偶数”为A＋B，于是P（A＋B）=P（A）＋P（B）=A23A13A23＋A12A22A13A23=59
教师点评：从0，1，2，3这四个数中任取3个进行排列的结果数是A13A23。
四、总结提炼
不可能同时发生的两个事件称为互斥事件。运用互斥事件的概率加法公式时，首先要判断它们是否互斥，再由随机事件的概率公式分别求得它们的概率，然后计算。
五、布置作业
A、B、C、D、E五人分4本不同的书，每人至多分1本。求：A不要甲书，B不要乙书的概率？
六、参考答案
1320
板书设计
互斥事件有一个发生的概率（一）
（一）设置情境问题
（二）互斥事件
（三）互斥事件有一个发生的概率
（四）例题分析
例1
例2
例3
练习
（五）小结
第二课时
【教学目标】
理解对立事件的概念，理解对立事件的概率关系公式P（A）＋P（A）=1，会利用对立事件的概率间关系把一个复杂事件的概率计算转化成求其对立事件的概率。
【教具准备】投影胶片。
【教学过程】
一、设置情境
问题1什么叫做互斥事件？
问题2怎样计算互斥事件中有一个发生的概率？
看下面的问题：
在一个盒内放有10个大小相同的小球，其中有6个红球，4个白球。记“从盒中摸出1个球，得到红球”为事件A；“从盒中摸出1个球，得到白球”为事件B。
（1）事件A与B互斥吗？
（2）事件A与B不可同时发生，那么它们可同时不发生吗？
（3）这样的事件A与B的概率关系如何呢？
二、探索研究
1．对立事件的概念
对于上述问题中的事件A与B，由于它们不可能同时发生，所以它们是互斥事件；又由于摸出的1个球要么是红球，要么是白球，所以事件A与B必有一个发生。这种其中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件。事件A的对立事件通常记作A。
在一次试验中，两个互斥的事件有可能都不发生，只有两个互斥事件在一次试验中必有一个发生时，这样的两个互斥事件才叫做对立事件。也就是说，两个互斥事件不一定是对立事件，而两个对立事件必是互斥事件，即两个事件对立是这两个事件互斥的充分不必要条件。
从集合的角度看，由事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集。
2．对立事件的概率间关系
根据对立事件的意义A＋A，是一个必然事件，它的概率等于1。又由于A与A互斥，于是P（A）＋P（A）=P（A＋A）=1
这就是说，对立事件的概率和等于1。
由上面的公式还可以得到
P（A）=1-P（A）
这个公式很有用，当直接求某一事件的概率较为复杂时，可先转而求其对立事件的概率，使概率的计算得到简化。
3．例题分析
例1从1，2，3，4，…，9这九个数中任取两个数，分别有下列两个事件：（1）恰有一个是奇数和恰有一个是偶数；
（2）至少有一个是奇数和两个都是奇数；
（3）至少有一个是奇数和两个都是偶数；
（4）至少有一个是奇数和至少有一个是偶数。
其中哪一组的两个事件是对立事件？
答案：③
教师应说明判断方法；判断两个事件是否为对立事件，应先判断是否为互斥事件，即是否同时发生；再判断是否必有一个发生。
例2在50件产品中，有35件一级品，15件二级品。从中任取5件，设“取得的产品都是一级品”为事件A，试问：A表示什么事件？
答：事件A表示“取得的产品不都是一级品”或“取得的产品中至少有1件不是一级品”。首先，“取得的产品都是一级品”发生了，“取得的产品不都是一级品”这个事件就不发生，它们是互斥的；其次，“取得的产品都是一级品”和“取得的产品不都是一级品”必然有一个发生。所以“取得的产品不都是一级品”这一事件表示A.
例3在20件产品中，有15件一级品，5件二级品。从中任取3件，其中至少有1件为二级品的概率是多少？
解法1：记从20件产品中任取5件，其中恰有“1件二级品”为事件A1，恰有“2件二级品”为事件A2，“3件全是二级品”为事件A3，这样有P（A1）=C15C215C320=105228
P（A2）=C25C115C320=30228
P（A3）=C35C320=2228
由于A1，A2，A3彼此互斥，所以3件产品中至少有1件是二级品的概率是P（A1＋A2＋A3）=P（A1）＋P（A2）＋P（A3）
105228＋30228＋2228=137228
解法2：记从20件产品中任取3件，“3件全是一级品”为事件A，则P（A）=C315C320=91228
由于“任取3件，至少有1件为二级品”是事件A的对立事件A。根据对立事件的概率加法公式，得到P（A）=1-P（A）=1-91228=137228
教师点评：利用对立事件的概率和公式可简化概率的计算。
三、演练反馈
1．若P（A＋B）=1，则事件A与B的关系是
A．A、B是互斥事件B．A、B是对立事件C．A、B不是互斥事件D．以上都不对2．如图10－12，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35、0.30、0.25，求不命中靶的概率为。
3．学校文艺队每个成员，唱歌、跳舞至少会一门。已知会唱歌的有5人，会跳舞的有7人现从中选3人，至少要有一人既会唱歌又会跳舞的概率是1621，求该队的人数。
（由一名学生板演后，教师讲评）
参考答案
1．D；2．0.01
3．解：设该队既会唱歌又会跳舞的有x人，从而只会唱歌或只会跳舞的只有（12-2x）人。记“至少有一人既会唱歌又会跳舞”为事件A，则事件Z为“只会唱歌或只会跳舞”，由于P（A）=C212-2x C312-x
∴P（A）=1-C312-2xC312-x=1621
整理得（12-2x）（11-2x）（12-x）（11-x）=521
∴x=3
从而12-x=9即该队只有9人。
教师点评：解题过程中出现了三次方程。由于X为正整数，可用试根的方法求出方程的根。
四、总结提炼
两个互斥事件在一次试验中必有一个发生时，这样的两个互斥事件叫做对立事件。所以对立事件是互斥事件中的一种情况，即两个事件互斥，它们不一定对立；而两个事件对立，它们一定互斥。在直接计算某一事件的概率较复杂时，可转而先求其对立事件的概率，利用对立事件的概率可使概率的计算得到简化。
五、布置作业
1．课本P128习题10．65，6．
2．一个袋内装有3个红球和n个白球，从中任取3个。已知取出3个球中至少有三个白球的概率是3435，求n的值。
参考答案
1．略。2．n=4
六、板书设计
互斥事件有一个发生的概率（二）
（一）设置情境问题
（二）互斥事件
P（A）＋P（A）=1
（三）互斥事件有一个发生的概率
（四）例题分析
例1
例2
例3
练习
（五）小结
【习题精选】
一、选择题
1．两个事件对立是这两个事件互斥的。
A．充分但不是必要条件B．必要但不是充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件2．今有光盘驱动器50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为。
A．C35C350B．C15＋C25＋C35C350
C．1-C345C350D．C15C245＋C25C145C350
3．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射一个目标，则他们都中靶的概率是
A．1415B．1225C．34D．35
4．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为
A．0.99B．0.98C．0.97D．0.96
二、填空题
5．乘客在某电车站等待26路或16路电车，该站停靠16，22，26，31四路电车假定各路电车停靠的频率一样，则乘客期待电车首先停靠的概率等于。
6．今有一批球票，按票价分类如下：10元票5张，20元票3张，50元票2张，从这10张票中随机抽出3张，票价和为70元的概率是。
7．某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛甲乙两队夺取冠军的概率分别是37和14。则该市足球队夺得全省冠军的概率是。
三、解答题
8．在放有5个红球、4个黑球、3个白球的袋中，任意取出3个球，分别求出3个全是同色球的概率及全是异色球的概率。
9．在房间里有4个人。问至少有两个人的生日是同一个月的概率是多少？
10．从1，2，3，…，100这100个数中，随机取出两个数，求其积是3的倍数的概率。
参考答案
1．A；2．C；3．A；4．D；5．512；6．16；7．1928；8．解：以12个球中任取3个，共有C312种不同的取法，故全是同色球的概率为P1=C35C312＋C34C312＋C33C312=344，全是异色球的概率为P2=C15·C14·C13C312=311
9．解：由于事件A“至少有两个人的生日是同一个月”的对立事件A是“任何两个人的生日都不同月”。
因而至少有两人的生日是同一个月的概率为：P（A）=1-P（A）=1-A412124=1-5596=4196
10．解：基本事件数有C2100种。在由1到100这100个自然数中。3的倍数的数组成的集合M中有33个元素，不是3的倍数组成的集合N中有67个元素，事件A为任取两整数相乘为3的倍数，分二类：1°取M中2个元素相乘有C233种；2°从集合M，N中各取1个元素相乘有C133C167种。因为第二类互斥，所以P（A）=C133C167C2100=83150
