第一课时
【教学目标】
掌握二项式定理有其推导方法以及二项展开式的有关特征，并能用它们计算和论证一些简单问题。
【教学过程】
一、设置情境
问题某人投资10万元，有两种获利的可能供选择。一种是年利率11％，按单利计算，10年后收回本金和利息。另一种年利率9％，按每年复利一次计算，10年后收回本金和利息。
试问，哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年后可多得利息多少元？
分析：本金10万元，年利率11％，按单利计算，10年后的本利和是10×（1＋11％×10）＝21（万元）
本金10万元，年利率9％，按每年复利一次计算，10年后的本利和是10×（1＋9%）10
那么如何计算（1＋9%）10的值呢？能否在不借助计算器的情况下，快速、准确地求出其近似值呢？这就得研究形如（a＋b）n的展开式。
二、探索研究
由（a＋b）2=a2＋2ab＋b2=C02a2＋C12ab＋C22b2
（a＋b）3=a3＋3a3b＋3ab2＋b3
=C03a3＋C13a2b＋C23ab2＋C33b3
那么（a＋b）4=（a＋b）（a＋b）（a＋b）（a＋b）
展开后，它的各项是什么呢？
容易看到，等号右边的积的展开式的每一项，是从每个括号里任取一个字母的乘积，因而各项都是4次式，即展开式应有下面形式的各项：a4，a3b，a2b2，ab3，b4
现在来看上面各项在展开式中出现的次数，也就是看展开式中各项的系数是什么？
在上面4个括号中：
每个都不取b的情况有1种，即C04种，所以a4的系数是C04；恰有1个取b的情况下有C14种，所以a3b的系数是C14；恰有2个取b的情况下有C24种，所以a2b2的系数是C24；恰有3个取b的情况下有C34种，所以ab3的系数是C34；4个都取b的情况下有C44种，所以b4的系数是C44；因此：
（a＋b）4=C04a4＋C14a3b＋C24a2b2＋C34ab3＋C44b4.
请同学们归纳、猜想（a＋b）n=？
一般地，对于任意正整数n，上面的关系式也成立，即有：（a＋b）n=C0nan＋C1nan-1b＋C2nan-2b2＋…＋Crnan-rbr＋…＋cnnbn（n∈N）
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a＋b）n的二项展开式。
在这里，教师应当指出，上面的定理严格来说是必须证明的，由于知识的局限，以后再证明。
二项展开式有以下特征：
（1）共有n＋1项。
（2）各项里a的指数从n起依次减小1，直到0为止；b的指数从0起依次增加1，直到n为止。每一项里a、b的指数和均为n。
利用二项式定理可以求二项展开式。
例1展开（1＋1x）4.
解：（1＋1x）4=1＋C14·（1x）＋C24（1x）2＋C34（1x）3＋C44（1x）4=1＋4x＋6x2＋4x3＋1x4.
例2展开（2x-1x）6.
解：先将原式化简，再展开
（2x-1x）6=（2x-1x）6=1x3（2x-1）6
=1x3[（2x）6＋C16（2x）5＋C26（2x）4-C36（2x）3＋C46（2x）2-C56（2x）＋C66］=1x3（64x6＋192x5＋240x4-160x3＋60x2-12x＋1）
=64x3-192x2＋240x-160＋60x-12x2＋1x3.
例3用二项式定理证明：
（1）1110-1能被100整除；
（2）nn-1-1能被（n-1）2整除。（n≥3，n∈N＋）
证明：（1）∵1110-1=（10＋1）10-1
=（1010＋C110·109＋C210·108＋…＋C910·10＋1）-1
=1010＋C110＋C110·106＋C210·108＋…＋102
=100（108＋C110·107＋C210·106＋…＋1）
∴1110-1能被100整除。
（2）可先让学生仿照（1）证明，教师再讲解。
∵nn-1=[（n-1）＋1］n-1-1
=[（n-1）n-1＋C1n-1（n-1）n-2＋C2n-1（n-1）n-3＋…＋cn-2n-1（n-1）＋1］-1
=（n-1）n-1＋C1n-1＋C1n-1（n-1）n-2＋C2n-1（n-1）n-3＋…＋C1n-1（n-1）
=（n-1）2[（n-1）n-3＋C1n-1（n-1）n-4＋…＋1］而n≥3，n∈N＋∴（n-1）n-3＋C1n-1（n-1）n-4＋…＋1是正整数。
故nn-1-1能被（n-1）2整除。
三、演练反馈
1．计算：（a＋1）5-（a-1）5.
（由一名学生板演后，教师讲解）
2．求证：32n＋C1n·32n-2＋C2n·32n-4＋…＋cn-1n·32＋1=10n.
（由一名学生板演后，教师讲解）
3．求（x2＋3x＋2）5展开式中含x项的系数。
（学生练习后，教师分析讲解）
4．解决本节课开始提出的问题。
参考答案
1．解：（a＋1）5-（a-1）5
=[（a）5＋C15（a）4＋C25（a）2＋C35a＋1］-[（a5）-C15（a）4＋C25（a）3-C35（a）2＋C45a-1］=2[C15（a）4＋C35（a）2＋2］=10a2＋20a＋4.
2．证明：右边=10n=（9＋1）n=（32＋1）n=32n＋C1n·32（n-1）＋C2n·32（n-2）＋…＋cn-1n·32＋1
=32n＋C1n·32n-2＋C2n·32n-4＋…＋cn-1n·32＋1=左边故原式得证。
3．解法1：（x2＋3x＋2）5=[x2＋（3x＋2）］5
=x10＋C15·x8（3x＋2）＋…＋C45·x2（3x＋2）4＋C55（3x＋2）5.
显然只有（3x＋2）5中含有x项，其系数为C55·C45·3·24=240.
解法2：由于（x2＋3x＋2）5=（x＋1）5（x＋2）5
=（x5＋C15x4＋…＋C45x＋1）（x5＋C15·x4·2＋…＋C45x24＋25）
∴展开式中含x项的系数是
32C45＋16C45=240.
4．解：10（1＋9%）10=10（1＋0.09）10
=10（1＋C110×0.09＋C210×0.092＋…）
=22.645
由此可见，按年利率9％每年复利一次计算的要比年利率11％单利计算更有利，10年后多得利息1.645万元。
四、总结提炼
1．二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式——二项式的乘方的展开式，要理解和掌握展开式的规律。利用它就可以对二项式展开，进行计算或证明。
2．对课本第105页这样一段话“容易看到，等号右边的积的展开式的每一项，是从每个括号里任取一个字母的乘积”，要能透彻理解，在解题中适时应用会显得很方便。
五、板书设计
二项式定理（一）
（一）设置情境
问题
（二）二项式定理及
其结构特征
（三）例题与练习
例1
例2
例3
练习
（四）小结
第二课时
【教学目标】
会用二项式的通项公式求展开式中的指定项或指定项系数。
【教学过程】
一、设置情境
问题试判断（3x2＋1x）10的展开式中有无常数项？如果有，求出该常数项；如果没有，说明理由。
分析：这个问题仅凭观察、想象，无法判断；但展开又嫌太烦且无必要，那么有无良法呢？
二、探索研究
1．二项展开式的通项公式
二项展开式中的Crnan-rbr叫做二项展开式的通项，用Tr＋1来表示。即通项为展开式的第r＋1项。
Tr＋1=Crnan-rbr.其中Crn（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数。
对于（a-b）n的展开式，其通项公式为
Tr＋1=（-1）rCrnaa-rbr.
由于其通项一般记为Tr＋1，所以r不是项数，r＋1才是项数；反过来，当已知项数时，将它减去1，才得到r.
2．二项展开式的通项公式的作用
二项展开式的通项公式，反映出展开式在指数、项数、系数等方面的内在联系，因此能运用二项展开式的通项公式求特定项、特定项系数、常数项、有理项及系数最大、绝对值最大的项。
3．例题分析
例1求（x＋a）12的展开式中的倒数第4项。
T10=C912·x12-9a9
=C312x3a9
220x3a9
例2（1）求（1＋2x）7的展开式中的第4项的系数；（2）求（x＋1x）9的展开式中x3的系数。
解：（1）展开式的第4项为
T4=C37（2x）3
=280x3
∴第4项的系数是280.
（2）设展开式的第r＋1项为含x3的项，则Tr＋1=Cr9x9-r（-1x）r
=（-1）rCr9x9-2r
∴9-2r=3r=3
即展开式中的第4项含x3，其系数为
（-1）3C39=-84.
三、演练反馈
1．求（3ab＋b3a）21的展开式中a、b的指数相等的项。
（由一名学生板演后，老师指出“某一项”与“某一项系数”的区别）
2．解决设置情境中的问题。
（由一名学生板演后，教师讲评）
3．求（x＋3y）100的展开式里有多少个有理项？
（学生练习后，教师讲解）
4．求（2x2＋1x）9的展开式中第3项的二项式系数及第4项的系数。
参考答案
1．解：设展开式中的第r＋1项a、b的指数相等，则Tr＋1=Cr21（3ab）21-r（b3a）r=Cr21a21-r3-r6br2-21-r6
依题意得：
21-r3-r6=r2-21-r6
解得r=9
所以a、b指数相等的项是第10项，即：
T10=C921A52b52=293930a52b52.
2．解：假设展开式的第r＋1项为常数项，则Tr＋1=Cr10（3x2）10-r（1xr）
=310-rCr21x20-52r
依题意：
20-5 2r=0∴r=8
故在（3x2＋1x）10的展开式中有常数项，它是第9项，即T9=C810·32=405.
3．解：设展开式的第r＋1项为有理项，则：Tr＋1=Cr100（x）100-r·（3y）r=Cr100x50-r2yr3
对于一切有理项，r2、r3必为整数，则r必是6的倍数。
又0≤r≤100，
∴r=0，6，12，…
96=0＋6（n-1）解得n=17.
故（x＋3y）100展开式中的有理项有17个。
思考：在本题中若问无理项有多少个，如何解决呢？
4．解：通项公式为Tr＋1=Cr9（2x2）9-rCr9x18-3r故第3项的二项式系数为C29=36
第4项的系数为26C39=5376.
注意：二项展开式的二项式系数与该项的（字母）系数是两个不同的概念，前者是指Crn，而后者是指除字母外的部分。
四、总结提炼
二项展开式的通项公式反映了展开式的一般项，利用它可以求展开式中的任意指定项（如中间项、常数项、整数项、有理项等等）或指定项的系数。
五、板书设计
二项式定理（二）
（一）设置情境
问题
（二）探索研究二项展开式的通项公式
（三）例题分析
例1
例2
练习
（四）总结提炼
第三课时
【教学目标】
掌握二项展开式中的二项式系数的三条性质及有关推导方法，并能简单应用。
【教学过程】
一、设置情境
在杨辉的《详解九章算术》中载有一个“开方作法本源”图。如图所示，就是“杨辉三角”。那么这个图是如何得来的？它表达的是什么？这节课我们就来共同探讨这个问题！
二、探索研究
上节课我们已经知道
在二项式定理（a＋b）n=C0nan＋C1nan-1b＋…＋Crnan-rbr＋…＋cnnbn中，Crn（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数。
它们是一组仅与二项式的次数n有关的n＋1个组合数，而与a、b无关，值得注意的是它们与展开式中的“系数”是有区别的。
1．“杨辉三角”的来历及规律
（a＋b）n展开式中的二项式系数，当n=1，2，3，…时，如下表所示：（a＋b）111
（a＋b）2121
（a＋b）31331
（a＋b）414641
（a＋b）515101051
（a＋b）61615201561
这个表叫做二项式系数表，也称“杨辉三角”。
由学生观察这个表的规律，表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。当n不大时，可以根据这个表来求二项式系数。
（a＋b）n展开式的二项式系数依次是
