观察直线变化，倾斜角变化，直线方程中x系数变化的关系
(1)直线变化→α变化→y=kx中的x系数k变化（同时注意tgα的变化）。
(2)y=kx中的x系数k变化→直线变化→α变化（同时注意tgα的变化）。
教师引导学生观察，归纳，猜想出倾斜角与x的系数的关系：倾斜角不同，方程中x的系数不同，而且这个系数正是倾斜角的正切！
板书
定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。记作k，即k=tga。
这样我们定义了一个从“形”的方面刻画直线相对于x轴（正方向）倾斜程度的量——倾斜角，现在我们又定义一个从“数”的方面刻画直线相对于x轴（正方向）倾斜程度的量——斜率。
指出下列直线的倾斜角和斜率：
(1)y＝-3x(2)y＝xtg60°(3)y＝xtg(-30°)
学生思考后回答，师生一起订正：（1）120°；（2）60°；(3)150°(为什么不是-30°呢？)
画图，指出倾斜角和斜率。
结合图3（也可以演示动画），观察倾斜角变化时，斜率的变化情况。
图3
注意：当倾斜角为90°时，斜率不存在。
α＝0°k＝0
0°＜α＜90°k＞0
α＝90°k不存在
90°＜α＜180°k＜0
（四）直线过两点斜率公式的推导
问题4
如果给定直线的倾斜角，我们当然可以根据斜率的定义k＝tgα求出直线的斜率；
如果给定直线上两点坐标，直线是确定的，倾斜角也是确定的，斜率就是确定的，那么又怎么求出直线的斜率呢？
即已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)（其中x1≠x2），求直线P1P2的斜率。
思路分析：
首先由学生提出思路，教师启发、引导：
运用正切定义，解决问题。
(1)正切函数定义是什么？（终边上任一点的纵坐标比横坐标。）
(2)角α是“标准位置”吗？（不是。）
(3)如何把角α放在“标准位置”？（平移向量p1p2，使P1与原点重合，得到新向量OP。）
(4)P的坐标是多少？（x2-x1，y2-y1）
(5)直线的斜率是多少？k＝tgα=y2-y1x2-x1（x1≠x2）
(6)如果P1和P2的顺序不同，结果还一样吗？（一样）。
图5
评价：注意公式中x1≠x2，即直线P1 P2不垂直x轴。因此当直线P1P2不垂直x轴时，由已知直线上任意两点的坐标可以求得斜率，而不需要求出倾斜角。
练习
(1)直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tgα？
(2)任意直线有倾斜角，则任意直线都有斜率？
(3)直线y=xtg(-330°)的倾斜角和斜率分别是多少？
(4)求经过两点C(0，0)、D(-1，3)直线的倾斜角和斜率。
(5)课本第37页练习第2、4题。
教师巡视，观察学生情况，个别辅导，订正答案（答案略）。
总结
教师引导：首先回顾前边提出的问题是否都已解决。再看下边的问题：
(1)直线倾斜角的概念要注意什么？
(2)直线的倾斜角与斜率是一一对应吗？
(3)已知两点坐标，如何求直线的斜率？斜率公式中脚标1和2有顺序吗？
学生边讨论边总结：
(1)向上的方向，正方向，最小，正角。(2)不是，当α=90°时，tgα不存在。
(3)k＝y2-y1x2-x1（x1≠x2），没有。
作业
1．课本第37页习题7．1第3、4、5题。
2．思考题
（1）方程x2+y2=1是单位圆的方程吗？
（2）你能说出过原点，倾斜角是45°的直线方程吗？
（3）你能说出过原点，斜率是2的直线方程吗？
（4）你能说出过（1，1）点，斜率是2的直线方程吗？
板书设计
7．1直线的倾斜角和斜率三、直线的斜率练习
一、直线方程四、斜率公式小结
二、直线的倾斜角作业
【习题精选】
1．(选择题)如图，若图中直线l1、l2、l3的倾斜角分别是k1、k2、k3，则（）
(A)k1＜k2＜k3(B)k2＜k1＜k3
(C)k3＜k2＜k1(D)k1＜k3＜k2
2．（选择题）直线l沿y轴正方向平移m个单位(m＞0，m≠1)，再沿x轴负方向平移m－1个单位得直线lˊ，若l与lˊ重合，则直线l的斜率为（）
(A)1-mm(B)m-1m
(C)m1-m(D)mm-1
3．(填空题)已知A(x，-2)，B(3，0)，且kAB=12，则x=α。
4．(填空题)若-π2＜α＜0，则直线y=-xctgα的倾斜角为。
5．(填空题)已知三点A(-2，3)，B(3，-4m)，C(12，m)在同一条直线上，则实数m＝。
6．如图，△ABC为正三角形，∠CDE=45°则三条直线AB，BC，AC的斜率：kAB=，kBC=，kAC=。
7．四条直线l1、l2、l3、l4，它们的倾斜角之比依次为1∶2∶3∶4，若l2的斜率为34，求其余三条直线的斜率。
答案：1．C；2．C；3．－1；4．π2＋α；5．12；6．2－3；－1；2＋3；
7．13；139；247。
【典型例题】
例1判断下列命题是否正确：
①一条直线l一定是某个一次函数的图像；
②一次函数y=kx+b的图像一定是一条不过原点的直线；
③如果一条直线上所有点的坐标都是某一个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程；
④如果以一个二元一次方程的解为坐标的点都在某一条直线上，那么这条直线叫做这个方程的直线。
解：①不正确。直线x-2=0，不是一次函数；
②不正确。当b=0时，直线过原点y=2x；
③不正确。第一、三象限角的平分线上所有的点都是方程（x+y)(x-y)=0的解，但此方程不是第一、三象限角平分线的方程；
④不正确。以方程y=x(x≥0)的解为坐标的点都在第一象限的角平分线上，但此直线不是方程y=x(x≥0)的图像。
说明：直线方程概念中的两个条件缺一不可，它们和在一起构成充要条件。
例2设直线的斜率为k，且-3＜k＜33，指出直线倾斜角α的范围。
解：∵k=tgα，由已知得-3＜tgα＜33。
∵α∈［0，π］，∴α∈（0，π6）∪（2π3，π)。
∴直线的倾斜角的范围是（0，π6）∪（2π3，π)。
例3已知两点A(-3，4)，B(3，2)，过点P(2，－1)的直线l与线段AB有公共点。
（1）求直线l的斜率的取值范围。（2）求直线l的倾斜角的取值范围。
分析：如图1，为使直线l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角应介于直线PB的倾斜角与直线PA的倾斜角之间，所以，当l的倾斜角小于90°时，有k≥kPB；当l的倾斜角大于90°时，则有k≤kPA。
解：如图1，有分析知
∵kPA＝4-（-1）-3-2=－1，
kPB=2-（-1）3-2＝3。
∴（1）k≤-1或k≤3。
（2）arctg3≤α≤3π4。
说明：学生常错误地写成－1≤k≤3，原因是与倾斜角分不清或误以为正切函数在［0，π］上单调递增。
例4已知两点A(－1，－5)，B(3，－2)，直线l的倾斜角是直线l倾斜角的一半，求直线l的斜率。
解1：设直线l的倾斜角为α，则直线AB的倾斜角为2α
tg2α＝kAB＝-2-（-5）3-（-1）=34
∴2tgα1-tg2α＝34
化简得3tg2α+8tgα－3＝0
解得tgα＝13或tgα＝－3
∵tg2α＝34＞0
∴0°＜2α＜90°，0°＜α＜45°
∴tgα＞0，故直线的斜率是13。
解2：(思路要点)根据tg2α＝kAB＝-2-（-5）3-（-1）=34，且2α为锐角，
易得sin2α＝35和cos2α＝45，
进一步有：tgα＝1-cos2αsin2α=13。
说明：这里应考虑角的取值范围及函数值的取舍，解２计算更容易。
例5求经过两点A(2，1)，B(m，2)(m∈R)的直线l的斜率，并求出其倾斜角及其取值范围。
分析：斜率公式成立的条件是x1≠x2，所以应先就m的值是否等于2进行讨论。
解：当m=2时，x1=x2=2
∴直线l垂直于x轴，故其斜率不存在，此时，倾斜角α=π2。
当m≠2时，k＝1m-2
当m＞2时，k＞0此时＝arctg1m-2∈（０，π2）
当m＜2时，k＜0此时α=π+arctg1m-2∈（π2，π）
说明：通过讨论确定直线的斜率存在与不存在是解决直线斜率问题常用的方法。
例6已知a、b、m都是正数，且a＜b，试用解析法证明：a+mb+m＞ab
证明：如图2，
在坐标平面上取点A(m，m)，B(a，b)，
则AB的中点为C(a+m2，b+m2)
显然OA、OB、OC的斜率满足
kOB＜kOC＜kOA
又kOB=ab，kOC=a+mb+m，kOA=1。
所以a+mb+m＞ab
说明：本题与前边不等式的证明联系紧密，此处提供了一种新颖的证明，有助于学生对解析法的理解。同时本题为构造性证明，不易想到。事实上，把分式看成斜率是常用的方法。
