【教学目标】
（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心坐标和半径熟练地写出圆的标准方程，也能根据圆的标准方程熟练地写出圆的圆心坐标和半径。
（2）掌握圆的一般方程，了解圆的一般方程的结构特征，熟练掌握圆的标准方程和一般方程之间的互化。
（3）了解参数方程的概念，理解圆的参数方程，能够进行圆的普通方程与参数方程之间的互化，能应用圆的参数方程解决有关的简单问题。
（4）掌握直线和圆的位置关系，会求圆的切线。
（5）进一步理解曲线方程的概念、熟悉求曲线方程的方法。
【教学建议】
教材分析
（1）知识结构
（2）重点、难点分析
①本节内容教学的重点是圆的标准方程、一般方程、参数方程的推导，根据条件求圆的方程，用圆的方程解决相关问题。
②本节的难点是圆的一般方程的结构特征，以及圆方程的求解和应用。
教法建议
（1）圆是最简单的曲线。这节教材安排在学习了曲线方程概念和求曲线方程之后，学习三大圆锥曲线之前，旨在熟悉曲线和方程的理论，为后继学习做好准备。同时，有关圆的问题，特别是直线与圆的位置关系问题，也是解析几何中的基本问题，这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法。因此教学中应加强练习，使学生确实掌握这一单元的知识和方法。
（2）在解决有关圆的问题的过程中多次用到配方法、待定系数法等思想方法，教学中应多总结。
（3）解决有关圆的问题，要经常用到一元二次方程的理论、平面几何知识和前边学过的解析几何的基本知识，教师在教学中要注意多复习、多运用，培养学生运算能力和简化运算过程的意识。
（4）有关圆的内容非常丰富，有很多有价值的问题。建议适当选择一些内容供学生研究。例如由过圆上一点的切线方程引申到切点弦方程就是一个很有价值的问题。类似的还有圆系方程等问题。
【教学设计示例】
圆的一般方程
教学目标：
（1）掌握圆的一般方程及其特点。
（2）能将圆的一般方程转化为圆的标准方程，从而求出圆心和半径。
（3）能用待定系数法，由已知条件求出圆的一般方程。
（4）通过本节课学习，进一步掌握配方法和待定系数法。
教学重点：
（1）用配方法，把圆的一般方程转化成标准方程，求出圆心和半径。
（2）用待定系数法求圆的方程。
教学难点：圆的一般方程特点的研究。
教学用具：计算机。
教学方法：启发引导法，讨论法。
教学过程：
一、引入
前边已经学过了圆的标准方程
(x-a)2+(y-b)2=r2
把它展开得
x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0
任何圆的方程都可以通过展开化成形如
x2+y2+Dx+By+F=0①
的方程
问题1
形如①的方程的曲线是否都是圆？
师生共同讨论分析：
如果①表示圆，那么它一定是某个圆的标准方程展开整理得到的。我们把它再写成原来的形式不就可以看出来了吗？运用配方法，得
(x+D2)2+(y+D2)2=D2+E2-4F4②
显然②是不是圆方程与D2+E2-4F4是什么样的数密切相关，具体如下：
（1）当D2+E2-4F＞0时，②表示以(-D2，-E2)为圆心、以12D2+E2-4F为半径的圆；
（2）当D2+E2-4F=0时，②表示一个点(-D2，-E2)；
（3）当D2+E2-4F＜0时，②不表示任何曲线。
总结：任意形如①的方程可能表示一个圆，也可能表示一个点，还有可能什么也不表示。
圆的一般方程的定义：
当D2+E2-4F＜0时，①表示以(-D2，-E2)为圆心、以12D2+E2-4F为半径的圆，
此时①称作圆的一般方程。
即称形如x2+y2+DE+Ey+F=0(D2+E2-4F)的方程为圆的一般方程。
问题2圆的一般方程的特点，与圆的标准方程的异同。
（1）x2和y2的系数相同，都不为0。
（2）没有形如xy的二次项。
圆的一般方程与一般的二元二次方程
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0③
相比较，上述（1）、（2）两个条件仅是③表示圆的必要条件，而不是充分条件或充要条件。
圆的一般方程与圆的标准方程各有千秋：
（1）圆的标准方程带有明显的几何的影子，圆心和半径一目了然。
（2）圆的一般方程表现出明显的代数的形式与结构，更适合方程理论的运用。
二、实例分析
例1下列方程各表示什么图形。
（1）x2+y2=0
（2）x2+y2-2x+4y-4=0；
（3）x2+y2+2ax-b2=0。
学生演算并回答
（1）表示点（0，0）；
（2）配方得(x-1)2+(y+2)2=9，表示以(1，-2)为圆心，3为半径的圆；
（3）配方得(x+a)2+y2=a2+b2，当a、b同时为0时，表示原点（0，0）；当a、b不同时为0时，表示以(-a，0)为圆心，a2+b2为半径的圆。
例2求过三点O（0，0），M（1，1），M2（4，2的圆的方程，并求出圆心坐标和半径。
分析：由于学习了圆的标准方程和圆的一般方程，那么本题既可以用标准方程求解，也可以用一般方程求解。
解：设圆的方程为
x2+y2+Dx+Ey+F=0
因为O、M1、M2三点在圆上，则有
F=0D+E+F+2=04D+2E+F+20=0
解得：D=-8，E=6，F=0
所求圆的方程为
x2+y2-8x+6y=0
可化为
（x-4）2+（y+3）2=25
圆心为（4，-3），半径为5。
请同学们再用标准方程求解，比较两种解法的区别。
三、概括总结
通过学生讨论，师生共同总结：
（1）求圆的方程多用待定系数法。其步骤为：由题意设方程（标准方程或一般方程）；根据条件列出关于待定系数的方程组；解方程组求出系数，写出方程。
（2）如何选用圆的标准方程和圆的一般方程。一般地，易求圆心和半径时，选用标准方程；如果给出圆上已知点，可选用一般方程。
下面再看一个问题：
例3经过点M（-6，0）作圆C：x2+y2-6x-4y+9=0的割线，交圆C于A、B两点，求线段AB的中点P的轨迹。
解：圆C的方程可化为(x-3)2+(y-2)2=4，其圆心为C(3，2)，半径为2。设P(x，y)是轨迹上任意一点。
∵CP⊥MP
∴kCP·kMP=-1
即
y-2x-3·yx+6=-1
化简得
x2+y2+3x-2y-18=0
点C在曲线上，并且曲线为圆C内部的一段圆弧。
四、练习巩固
（1）方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线是以(-2，3)为圆心，4为半径的圆。求D、E、F的值。（结果为4，－6，－3）
（2）求经过三点A(1，-1)、B(1，4)、C(4，-2)的圆的方程。
分析：用圆的一般方程，代入点的坐标，解方程组得圆的方程为。
（3）课本第79页练习1，2。
五、小结
师生共同总结：
（1）圆的一般方程及其特点。
（2）用配方法化圆的一般方程为圆的标准方程，求圆心坐标和半径。
（3）用待定系数法求圆的方程。
六、作业
课本第82页5，6，7，8。
七、板书设计
圆的一般方程
圆的一般方程例1：例3：小结：
例2：练习：作业：
【习题精选】
1．以点P(-4，3)为圆心的圆与直线2x+y-5=0相离，则圆的半径r的取值范围是（）。
（A）（0，2）（B）（0，5）
（C）（0，25）（D）（0，10）
2．两圆(x-a)2+(y-b)2=c2和(x-b)2+(y-a)2=c2相切，则（）。
（A）(a-b)2=c2（B）(a-b)2=2c2
（C）(a+b)2=c2（D）(a+b)2=2c2
3．当θ变化时，直线系xcosθ+ysinθ=6所具有的性质是（）。
（A）斜率不变（B）恒过定点
（C）与定圆相切（D）不能确定
4．已知方程x2+y2+4x-2y-4=0，则x2+y2的最大值是。
5．与圆x2+y2-x+2y=0关于直线x-y+1=-0对称的圆的方程是。
6．平面上有两点A(-1，0)、B(1，0)，在圆(x-3)2+(y-4)2=4上求一点P，使|AP|2+|BP|2最小，并求其最小值。
7．求两圆x2+y2+2ax+2ay+2a2-1=0与x2+y2+2bx+2by+2b2-2=0公共弦长的最大值。
8．求经过A(0，5)，且与直线x-2y=0和3x+y=0都相切的圆的方程。
答案：
1．C；2．B；3．C；4．14+65；5．x2+y2+4x-3y+5=0；
6．P(95，125，|AP|2+|BP|2最小值20；7．2；
8．(x-1)2+(y-3)2=25或(x-5)2+(y-15)2=125。
【典型例题】
例1圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为2的点共有（）。
（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个
分析：把x2+y2+2x+4y-3=0化为(x+1)2+(y+2)2=8，圆心为(-1，-2)，半径为r=22，圆心到直线的距离为2，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于2，所以选C。
例2过点P(-3，-4)作直线l，当斜率为何值时，直线l与圆C：(x-1)2+(y+2)2=4有公共点，如图1所示。
解：设直线l的方程为
y+4=k(x+3)
即
kx-y+3k-4=0
根据d≤r有
k+2+3k-4|1+k2≤2
整理得
3k2-4k=0
解得
0≤k≤43。
例3求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0截下的弦长为27的圆的方程。
解：设圆心坐标为C(a，3a)，则半径r=3|a|，
根据|EG|2=|EI|2+|IG|2有
9a2=(|a-3a|12+12)2+(7)2
求得a=±1
则C的坐标为（1，3）或（-1，-3），半径为3。
所以，圆的方程为
（x-1)2+(y-3)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9。
例4已知圆O：x2+y2=4，求过点P(2，4)与圆O相切的切线。
解：∵点P(2，4)不在圆O上，
∴切线PT的直线方程可设为y=k(x-2)+4
根据d=r
∴|-2K+4|1+k2=2
解得k=34
所以y=34(x-2)+4
即3x-4y+10=0
因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在。易求另一条切线为x=2。
说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解。
本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）。还可以运用x0x+y0y=r2，求出切点坐标x0、y0的值来解决，此时没有漏解。
例5自点A(-3，3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，反射光线所在的直线与圆C：x2+y2-4x-4y+7=0相切
（1）求光线l和反射光线所在的直线方程。
（2）光线自A到切点所经过的路程。
分析、略解：根据对称关系，首先求出点A的对称点A′的坐标为(-3，-3)，其次设过A′的圆C的切线方程为
y=k(x+3)-3
根据d=r，即求出圆C的切线的斜率为
k=43或k=34
进一步求出反射光线所在的直线的方程为
4x-3y+3=0或3x-4y-3=0
最后根据入射光与反射光关于x轴对称，求出入射光所在直线方程为
4x+3y+3=0或3x+4y-3=0
光路的距离为|A′M|，可由勾股定理求得|A′M|2=|A′C|-|CM|2=7。
说明：本题亦可把圆对称到x轴下方，再求解。
例6已知对于圆x2+(y-1)2=1上任意一点P(x，y)，不等式x+y+m≥0恒成立，求实数m的取值范围。
解：运用圆的参数方程，设P的坐标为（cosθ，1+sinθ），θ∈［0，2π］
即x=cosθ，y=1+sinθ，
∵x+y+m≥0恒成立
∴m≥-(x+y)恒成立
即m≥-(cosθ+1+sinθ)恒成立
∴只需m大于等于-(cosθ+1+sinθ)的最大值。
令u=-(cosθ+1+sinθ)=-(cosθ+sinθ)-1=-2sin(θ+π4)-1
u的最大值为2-1
∴m≥2-1
说明：在上述解法中我们运用了圆上点的参数设法。采用这种设法的优点在于，一方面可以减少参数的个数，另一方面可以灵活地运用三角公式。从代数的观点看，这种设法的实质就是三角代换。
另外本题也可以不用圆的参数方程求解，本题的实质就是求最值问题，方法较多。但以上述解法较简。
