说明：本节主要目的是掌握定理1、2、3的证明思路与推证过程，练习穿插在定理的证明过程中进行。
课堂小结
通过本节学习，要求大家熟悉定理1、2、3的证明思路，并掌握其推导过程，初步理解证明不等式的逻辑推理方法。
课后作业
1．求证：若m＞n，a＜b，则m-a＞n-b.
2．证明：若a＜b，c＜d，则a+c＜b+d.
板书设计
§6.1.2不等式的性质
1．同向不等式
2.异向不等式
3.定理1的证明
4.定理2的证明
5.定理3证明及推论
第三课时
教学目标
1．熟练掌握定理1、2、3的应用；
2．掌握并会证明定理4及其推论1、2；
3．掌握反证法证明定理5。
教学重点：定理4、5的证明。
教学难点：定理4的应用。
教学方法：引导式
教学过程
一、复习回顾
上一节课，我们一起学习了不等式的三个性质，即定理1、2、3，并初步认识了证明不等式的逻辑推理方法，首先，让我们来回顾一下三个定理的基本内容。
（学生回答）
好，我们这一节课将继续推论定理4、5及其推论，并进一步熟悉不等式性质的应用。
二、讲授新课
定理4：若a＞b且c＞0，则ac＞bc；
若a＞b且c＜0，则ac＜bc
证明：由ac-bc=(a-b)c
∵a＞b
∴a-b＞0
根据同号相乘得正，异号相乘得负，得
当c＞0时，（a-b)c＞0，即
ac＞bc；
当c＜0时，(a-b)c＜0，即
ac＜bc
说明：（1）证明过程中的关键步骤是根据“同号相乘得正，异号相乘得负”来完成的；
（2）定理4证明在一个不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不变；乘以同一个负数，不等号方向改变。
推论1：若a＞b＞0，且c＞d＞0，则ac＞bd
证明：∵a＞b，c＞0
∴ac＞bc①
又∵c＞d，b＞0，
∴bc＞bd②
由①、②可得ac＞bd。
说明：（1）上述证明是两次运用定理4，再用定理2证出的；
（2）所有的字母都表示正数，如果仅有a＞b，c＞d，就推不出ac＞bd的结论。
（3）这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘。这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向。
推论2：若a＞b＞0，则an＞bn(n∈N且n＞1)
说明：（1）推论2是推论1的特殊情形；
（2）应强调学生注意n∈N且n＞1的条件。
定理5：若a＞b＞0，则na＞nb(n∈N且n＞1)
我们用反证法来证明定理5，因为反面有两种情形，即na＜nb和na=nb，所以不能仅仅否定了na＜nb，就“归谬”了事，而必须进行“穷举”。
说明：假定na不大于nb，这有两种情况：或者na＜nb，或者na=nb。
由推论2和定理1，当na＜nb时，有a＜b；
当na=nb时，显然有a=b
这些都同已知条件a＞b＞0矛盾
所以na＞nb。
接下来，我们通过具体的例题来熟悉不等式性质的应用。
例2已知a＞b，c＜d，求证：a-c＞b-d。
证明：由a＞b知a-b＞0，由c＜d和d-c＞0
∵a-c-(b-d)
=(a-b)+(d-c)＞0
∴a-c＞b-d
例3已知a＞b＞0，c＜0，求证ca＞cb。
证明：∵a＞b＞0，
两边同乘以正数1ab，得
1b＞1a，
即1a＜1b。
又c＜0
∴ca＞cb
说明：通过例3，例4的学习，使学生初步接触不等式的证明，为以后学习不等式的证明打下基础.在应用定理4时，应注意题目条件，即在一个等式两端乘以同一个数时，其正负将影响结论。接下来，我们通过练习来进一步熟悉不等式性质的应用。
三、课堂练习
课本P7练习1，2，3。
课堂小结
通过本节学习，大家要掌握不等式性质的应用及反证法证明的思路，为以后不等式的证明打下一定的基础。
课后作业
课本习题6.1 4，5。
1．比较两式的大小
比较下列各式的大小。
（1）（x2+7)(x2+9)与x4+63
（2）(a-1)2与（a+1）2(a≠0）
（3）（a6+1）3与（a6-1）3（a≠0）
解法1：（x2+7)(x2+9)-(x4+63)
=x4+16x+63-x4-63=16x。
当x＞0时(x2+7)(x2+9)＞x4+63
当x＜0时(x2+7)(x2+9)＜x4+63
当x=0时(x2+7)(x2+9)=x4+63
（2）∵(a-1)2-(a+1)2=-4a
当a＞0时（a-1)2＜(a+1)2
当a＜0时（a-1)2＞(a+1)2
（3）（a6+1)3-（a6-1)3=（a6)+3（a6)+1-［（a6)3-3（a6)2+3（a6)-1］=6·a26+2=a2+2＞0
∴（a6+1）3＞（a6-1）3
解法2：（1）、（2）得，现解（3）（a6+1）3-（a6-1）3=（a6+1-a6+1）·［（a6+1）2+（a6+1）（a6-1）2］=2（a26+1+a26-1+a26+1）
=2（3a26+1）=a2+1＞0
注意此题在于巩固读者学过的乘法公式。
2．判断命题真假的题目
例1判断下列命题是否正确，并说明理由。
（1）a＞ba-c＞b-c
（2）a＞b，c＞da+c＞b+d
（3）a＞bac2＞bc2
（4）ac2＞bc2a＞b
（5）a＞b＞01a＜1b
（6）a＞b，c＞dab＜bc
（7）a2＞b2|a|＞|b
（8）a＞b（a＞0，b＞0）a2＞b2
解答：（1）命题成立，可由性质a＞ba+c＞b+c直接推出。
（2）命题不成立，因为a+c＞b+da＞b，c＞d不成立。如a=100，b=10，d=10，显然有a+c＞b+d，但推不出c＞d。
（3）命题不成立。当c=0时，有ac2=bc2
（4）命题成立。可由性质a＞b，c＞0ac＞bcac2＞bc2，c2＞0a＞b。
（5）命题不成立。其中a＞b＞01a＜1b，可由性质直接推出，而1a＜1ba＞b＞0则不成立，例如：a=-2，b=2时就不成立。
（6）命题不成立，例如a=3，b=2，c=-1，d=-2时就不成立。
（7）命题成立。由性质a＞b＞0a＞b，可直接证得a2＞b2＞0a2＞b2。|a|＞|b|；而由性质a＞b＞0a2＞b2可以证得|a|＞|b|＞0|a|2＞|b|2a2＞b2。
（8）命题成立。由性质a＞b＞0an＞bn可直接证得a＞b＞0(a)4＞(b)4a2＞b2。
点评：关于基本性质方面的总量主要有三类：一类是基本性质，包括互逆性和传递性类，是与加减运算有关的性质；另一类是与乘、除、乘方、开方运算有关的性质。
3．求代数式范围的题目
设a∈(0，π2），那么2a-β3的范围是（）
（A）（0，56π（B）（-π6，5π6
（C）（0，π）（D）（-π6，π）
答案：D
4．考查不等式性质的选择题
综合运用不等式的性质，请完成以下题目：
（1）若a＜b＜0，则下列不等关系中不能成立的是（）
A．1a＞1bB．1a-b＞1b
C．|a|＞|b|D．|a|＞|b
（提示：|a|＞|b|a2＞b2是一个有用的小结论。）
（2）如果a＞b，那么下列不等式①a3＞b3；②1a＜1b；③2a＞2b；④lg b其中恒成立的是（）
A．①②B．①③
C．①④D．②③
（3）若a、b是任意实数，且a＞b，则（）
A．a2＞b2B．ba＜1
C．lg(a-b)＞0D．(12)a＜(12)b
（4）若m＜0，n＞0且m+n＜0，则下面的不等式中正确的是（）
A．-n＜m＜n＜-mB．-n＜m＜-m＜n
C．m＜-n＜n＜-mD．m＜-n＜-m＜n
（5）若a和b是实数，c是有理数，满足下面哪个条件必有ac＞bc（）
A．a＞b＞0，c＜0B．a＞b，c＞0
C．b＞a＞0，c＞0D．b＞a＞0，c＞0
5．应用不等式的性质解题的综合题目
题目：设0＜x＜1，a＞0且a≠1，比较|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小。
分析：待比较两式带有绝对值符号，因此应设法去掉绝对值，才能便于作差或商的变形。
解法1：当a＞1时，由0＜x＜1知
loga(1-x)＜0，loga(1+x)＞0
∴|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=-loga(1-x)-loga(1+x)
=-loga(1-x2)
∵a＜1-x2＜1
∴loga(1-x2)＜0，从而-loga(1-x2)＞0
故|loga(1-x)|＞|loga(1+x)
解法2：平方作差：
loga(1-x)|2-|loga(1+x)|2
=［loga(1-x)］2-［loga(1+x)］2
=loga(1-x2)·loga1-x1+x
=loga(1-x2)·loga(1-2x1+x)
＞0
∴|loga(1-x)|2＞|loga(1+x)|2
故|loga(1-x)|＞|loga(1+x)
解法3：作商比较
∵|loga(1-x)||loga(1+x)|=|loga(1-x)loga(1+x)|=|log1+x(1+x)
∴0＜x＜1，
∴log1+x(1-x)＜0，
故|loga(1-x)||loga(1+x)|=-log1+x(1-x)=log1+x11-x
=1+log1+x（11-x·11+x）=1+log1+x11-x2
由0＜x＜1知1+x＞1及11-x2＞1
∴log1+x11-x2＞0，
故|loga(1-x)||loga(1+x)|＞1
∴|loga(1-x)|＞|loga(1+x)
评注：本例含有两个变元a、x，乍一看必须要对a进行分类讨论，如解法1；然而再通过多角度审视却回避了讨论，得到了巧妙的解法2与解法3。
【典型例题】
例1已知函数f(x)=ax2-c满足：
-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5。
则f(3）应满足（）
（A）-7≤f(3)≤26
(B)-4≤f(3)≤15
(C)-1≤f(3)≤20(D)-283≤f(3)≤353
分析：如果能用f(1)与f(2)将f(3)“线性”表示出：f(3)=mf(1)+nf(2)，就可利用就等式的基本性质，由f(1)、f(2)的取值范围，推出f(3)满足的条件。
解：∵f(1)=a-c，f(2)=4a-c，
∴a=13［f(2)-f(1)］，c=13［f(2)-4f(1)］
故f(3)=9a-c=3［f(2)-f(1)］-13［f(2)-4f(1)］
