刚体的平面运动规律主要包括刚体的平面运动、刚体的平动和转动、刚体运动的速度和加速度。通过学习要了解刚体运动一般规律，学会分析具体问题的方法，并将其应用到专业学习中去。
10.1刚体的平面运动
10.1.1平面运动
刚体的平面运动是一种比较复杂的运动形式，但在研究和学习刚体的平面运动时，可以将其分解为两种基本的运动——平动和转动。但是，在工程的实际中很多零件的运动，例如，行星齿轮机构中行星的运动(图101(a))，曲柄连杆机构中连杆AB的运动(图101(b))，以及沿直线轨道纯滚动轮子的运动等，既不是平动也不是绕定轴转动。但它们有一个共同的特点，即在运动中刚体上的每一点与某一固定平面之间的距离始终保持不变。
10.1.2平面运动的特点
设平面Ⅰ为某一固定平面。作平面Ⅱ平行于平面Ⅰ，并与刚体相交，截出一平面图形S，如图102所示。由平面的运动可知，刚体运动时，此平面图形S必在平面Ⅱ内运动。
如果在刚体内作一垂直于截面S的直线A1A2，它与截面S的交点为A，则刚体运动时，直线A1A2上所有点的运动与图形S上A点运动完全相同；因为直线A1A2始终垂直于平面Ⅱ，且作平动。同理，作垂直于截面S的直线B1B2，它与截面S的交点为B，则直线B1B2上所有点的运动与图形S上B点运动完全相同。由此可知，要研究刚体上各点的运动，只须研究平面图形S在平面Ⅱ内的运动。这样，就可以把刚体的平面运动简化为平面图形S在其平面内的运动。
总之，在刚体运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离，这种运动称为平面运动。而且平面运动刚体上的各点都在平行于某固定平面内运动。
10.2刚体的平动和转动
在刚体运动的过程中，刚体内任意一直线的方向不改变，亦即其方向始终与原来的方向平行。这种运动称为刚体的平行移动，简称平动。
10.2.1刚体平行移动定理
定理10.1(刚体平行移动定理)当刚体平动时，刚体内各点的轨迹形状都相同，且在同一瞬时各点都具有相同的速度和加速度。
证明设有作平动的刚体，在刚体上任取两点A和B，并连成一直线，如图103所示。运动时，AB线在A0B0的位置；经过极短的时间t之后，则移至A1B1；依次再继续移至…首先证明这两个任意点的轨迹形状是相同的。
根据刚体的定义得知A、B两点间的距离保持不又根据平动的定义知AnBn。由此可见，由它们所组成的四边形都是平行四边形。这充分说明，折线与B0B1BB2…Bn完全相同。显然，这两条曲线是完全相同的，可以相互叠合。
同理可以证明，两个任意点在同一瞬时的速度和加速度都相同。
因此，刚体作平动时，刚体内所有各点的运动轨迹、速度和加速度完全相同。因此只须确定出刚体内任意一点的运动，就确定了整个刚体的运动。由此可知，刚体平动的问题，可归结为点的平动问题。若刚体上任一点的运动轨迹为直线，则刚体的运动称为直线平动；若刚体上任意一点的运动轨迹为平面曲线或空间曲线，则刚体的运动称为平面平动或空间平动。火车沿直线轨道行驶时，其车厢的运动即是直线运动，其平行杆的运动就是平面平动。
例10.1图104所示为曲柄滑道机构，当曲柄OA在平面上绕定轴O转动时，通过滑槽连杆中的滑块A的带动，可使连杆在水平槽中沿直线往复滑动。若曲柄OA的半径为r，曲柄与x轴的夹角，其中为常数，求此连杆在任意瞬时的速度和加速度。
解由题意可知连杆作平动，连杆上任意一点的运动可以代表杆的运动。为此，可取滑槽中间的M点来代表，M点是曲柄的销钉A在x轴上的投影。M点的位置坐标为这就是M点的运动向程；因此M点的速度和加速度为。
这也就是所求的连杆平动的速度和加速度。
10.2.2刚体的定轴转动
刚体的运动具有一个共同的特征，如飞轮、定滑轮、带轮、传动齿轮和电动机转子等的运动，即当刚体运动时，刚体内某一直线上的所有各点始终保持不动，这种运动称为刚体的定轴传动，简称转动，这条不动的直线称为转轴。
当刚体绕定轴转动时，刚体内不在转轴上的所有各点，各以此轴上的一点为圆心而在垂直于此轴的平面内作圆周运动。
刚体绕定轴转动的转动规律，可由刚体绕定轴旋转的角度来表示。设Ⅰ是通过定轴z的固定平面，Ⅱ是固连在刚体上与刚体一起转动的平面，则任意瞬时刚体的位置可由动平面Ⅱ与定平面Ⅰ所成的角来确定，如图105所示。并规定，自z轴的正端看去，从平面Ⅰ起按逆时针方向量取时作为正值，反之为负值。当刚体转动时，角φ是时间的单值连续函数，即这就是刚体的定轴转动方程。若转动方程f(t)已知，则刚体在任意瞬时的位置可以确定。φ角的单位是弧度(rad)。
位置角φ的变化称为角位移，而位置角φ对时间的变化率就是角速度。设在时间t内的角位移是φ，则刚体在时间t内的角速度为即刚体绕定轴转动的角速度等于位置角对于时间的一阶导数。
角速度的单位是弧度/秒(rad/s)，工程上常用转速n(转/分)，这两种单位的换算关系是。
若角速度是正值，表明位置角φ随时间而增加；反之，则位置角随时间而减小。
角速度对于时间的变化率称为角加速度。设角速度在时间t内的变化为，则在时间t内的角加速度为。
这表明，刚体绕定轴转动的角加速度等于角速度对于时间的一阶导数，或等于位置角对时间的二阶导数。
角加速度与角速度一样都是代数量，它的单位是弧度/秒2(rad/s2)。
当与的符号相同时，角速度的绝对值随时间而增加，这时称为加速转动；反之，角速度的绝对值随时间而减小，这时称为减速转动。
通过前面的学习，我们不难发现当角加速度不改变时，即为恒定值时，也就是刚体匀加速转动时，则有。
10.2.3转动刚体内各点的速度和加速度转动刚体内任意一点速度的代数值等于该点至转轴的距离与刚体角速度的乘积，称为转动刚体的速度，即动点M的切向加速度为即转动刚体内任意一点的切向加速度的代数值等于该点至转轴的距离与刚体角加速度的代数值的乘积。
上述两个物理量的方向可参考图106理解。
10.3速度和加速度的解题方法
例10.2一半径r=0.2m的圆轮绕定轴O的转动方程为φ=-t2+4t，单位为弧度每秒。求当t=1s时，轮缘上任一点M的速度和加速度，如图107所示。如此轮缘上绕一不可伸长的绳子并在绳子上悬挂一物体A，求当t=1s时，物体A的速度和加速度。
解圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度为当t=1s时，=-2×1+4=2rad/s，=-2rad/s2。
因此，轮缘上任意一点M的速度和加速度为它们的方向如图107所示。M点的全加速度为由于绳子不可伸长，则物体A上的速度和加速度的值与M点的速度和加速度值完全相等。即例10.3可绕固定水平轴转动的摆，其转动方程为式中，T是摆的周期。如图108所示，设由摆的重心C至转轴的距离为l，求在初瞬时(t=0)及经过平衡位置时(φ=0)摆的重心的速度和加速度。
解由转动方程可求出摆的角速度和角加速度为。
在初瞬时(t=0)摆的重心的角速度和角加速度为因此重心的速度和加速度为。
由此可知，在初始时重心的合加速度等于切向加速度，且方向指向φ减小的一边。
经过平衡位置的瞬时，φ=0，由转动方程知cos2Tt=0；因此sin2Tt=±1，此时摆的角速度和角加速度为。
因此，摆的重心的速度和加速度为。
经过平衡位置时，重心的合加速度等于其法向加速度，其方向指向摆的转轴。
例10.4汽轮机叶轮由静止开始作匀加速转动。轮上M点距轴心O为r=0.4m，在某瞬时的全(合)加速度a=40m/s2，与转动半径的夹角=30°，如图109所示。若t=0时，位置角φ0=0，求叶轮的转动方程及t=2s时M点的速度和法向加速度。
解将M点在某瞬时的全加速度a沿其轨迹的切向及法向进行分解，则切向加速度和角加速度为。
由于是匀加速转动；故为常数，且与的转向相同。
由已知条件得叶轮的转动方程为。
当t=2s时，叶轮的角速度为因此M点的速度及法向加速度为。
10.4小结
(1)在刚体平面运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离，而且平面运动刚体上的各点都在平行于某固定平面内运动。
(2)在刚体平动的过程中，刚体内任意一直线的方向不改变，亦即其方向始终与原来的方向平行。
(3)平行移动定理：当刚体平动时，刚体内各点的轨迹形状都相同，且在同一瞬时各点都具有相同的速度和加速度。
(4)当刚体绕定轴转动时，刚体内不在转轴上的所有各点，各以此轴上的一点为圆心而在垂直于此轴的平面内作圆周运动。
(5)当刚体转动时，角φ是时间的单值连续函数，即φ=f(t)，这就是刚体的定轴转动方程。若转动方程f(t)已知，则刚体在任意瞬时的位置可以确定。
(6)刚体在时间t内的角速度为，即刚体绕定轴转动的角速度等于位置角对于时间的一阶导数。
若角速度是正值，表明位置角φ随时间而增加；反之，则位置角随时间而减小。
(7)角速度对于时间的变化率称为角加速度。刚体绕定轴转动的角加速度等于角速度对于时间的一阶导数，或等于位置角对时间的二阶导数。
角加速度与角速度一样都是代数量。
如与的符号相同时，则角速度的绝对值随时间而增加，这时称为加速转动；反之，则角速度的绝对值随时间而减小，这时称为减速转动。
(8)刚体匀加速转动时，其计算公式有。
(9)转动刚体内任意一点速度的代数值等于该点至转轴的距离与刚体角速度的乘积，称为转动刚体的速度，即。动点M的切向加速度为，即转动刚体内任意一点的切向加速度的代数值等于该点至转轴的距离与刚体角加速度的代数值的乘积。
思考与习题
101刚体平面运动可分解为哪几个运动？
102一绳绕在鼓轮上，绳端系一重物M，M以速度v和加速度a向下运动，如图1010所示。问绳上两点A、D和轮缘上两点B、C的加速度是否相同？
103已知刚体的角速度与角加速度，如图1011所示。求A、M两点的速度、切向和法向加速度的大小，并图示其方向。
104摇筛机构如图1012所示，已知的规律摆动。求当t=0和t=2s时，筛面中点M的速度和加速度。
105某飞轮绕固定轴O转动的过程中，轮缘上任一点的合加速度与其半径的夹角恒为=60°。当运动开始时，其转角为0，角加速度为0。求飞轮的转动方程及其角速度与转角的关系。
106一定转动的刚体，在初瞬时的角速度0=20rad/s，刚体上一点的运动规律为s=t+t3。求在t=1s时，刚体的角速度和角加速度及该点与转心的距离。
107曲柄摇杆机构如图1013所示，曲柄OA长为r，以匀角速度绕O轴转动，其A端用铰链与滑块相连，滑块可沿摇杆O1B的槽子滑动，且OO1=h。求摇杆的转动方程及角速度和角加速度，并分析其转动的特点。
108根据下面给定的点的运动方程，求点的轨迹和初位置。
