常言道：“万事开头难”，但是“良好的开端是成功的一半”，一部电影、一本书，好的开头能一下子抓住观众、读者，让你非看完不可。课堂教学也是如此，要上好一堂课，首先要过好课堂引入关。精彩的引入虽然所占时间不长，但是短短的三四分钟左右时间，如果你把握的恰到好处，会给整堂课都带来非常好的效果。
讲授等比数列求和公式时，我是这样设计的：上课铃一响，我就对学生说：“从今天开始，我准备给你们当中的一个人每天十万块钱。不过有个小小的要求。拿钱的同学每天必须返还给我一部分。规则是这样的：第一天1分，第二天2分，第三天4分……按如此规律给我，持续一个月。不知是否有人愿意？”教室里立刻砸开了窝，你一句我一句，感觉老师要让他们上当，又不知怎么拒绝。过一会儿，有同学嘀咕说，你要给我三百万，我要给你多少呢？我听后马上说：“那你算算，看看是否划得来。”同学们一阵忙乎，有同学说：“1+2+22+23+…+230=？怎么计算呢？”趁此机会我将学生的思维引到等比数列前n项求和。这样的引入可以在上课伊始就将学生的注意力集中起来，同时在整个课堂中学生思维活跃，兴趣浓厚，当等比数列求和公式得出，问题得到解决时，既惊讶又开心。
案例16送钱与拿回扣
赵玉芳
一、教学设计
1教学背景
在讲授高一数学（上）等比数列求和公式时，为了让学生对等比数列的求和公式及其推导更加深入理解。因此，新课的引入显得非常重要，俗话说：“好的开始，就是成功的一半”。
2设计思路
“兴趣是最好的老师，兴趣是学习的源泉”，激发学习兴趣，调动学生学习的积极性，不仅能使学生热爱数学，而且使他们会学数学、好学数学、学好数学。以具体的，带有趣味性的引入是非常重要的，通过本节课，以提高学习数学的兴趣和创新思维。
二、教学过程
1.创设情境
出示案例：例如：在讲授等比数列求和公式这节课时，我对学生说：同学们，请听下面的一个故事，有一个是富翁，他非常的有钱，而且也非常的贪心，有一天，他碰到了一个数学家，数学家对他说：“我愿意在一个月（按30天算）内每天给你1000元，但在这个月内，你必须：第一天给我回扣1元钱，第二天给我回扣2元钱，第三天给我回扣4元钱……即后一天回扣的钱数是前天的2倍，你愿不愿意？”富翁一听，心想：每天给我1000元呢？不行，一个月的时间太短了，还是以一年（按365天算）为期限吧！数学家想了想，对富翁说：“那好吧！”请同学们想一想，到底会是谁得到的更多呢？
此问题一出立即引起学生的极大兴趣，这么“诱人”的条件到底有没有陷阱？
2.分析案例
(1)要想了解具体的情况，只有算出“收支”对比，富翁才能回答愿不愿意：“支”。
这是一个等比数列求和的问题，如何求出这个等比数列的和呢？这就需要我们探索出等比数列的求和方法及求和公式了。通过这个例子不但使学生产生强烈的求知热情及浓厚的学习兴趣，而且对引出等比数列的求和公式起到自然引入的作用。
(2)若以一个月（按30天算）计算，数学家必须付出30000元（即3万元），而富翁付出的一共有：1+2+22+23+…+228+229＝？看到这个式子，同学采用了各种各样的方法，有的同学解不出来，有的同学还在做最后的努力。此时，我及时的提出本节课需要解决的问题，即等比数列的求和问题。
在创设引入情境问题时，那些源于生活，贴近生活，理论联系实际的引人更能激发学生的兴趣，引起求知欲，适合学生的胃口。
三、课后反思
在等比数列的求和公式讲解了以后，
1+2+22+23+…+228+229＝1-2301-2=230-1，令u＝230-1，
即：u＋１＝230，lg(u+1)=30lg2=9.03∴u＋１＝109.03。
故：u＝109.03－１.1+2+22+23+…+228+229＝109.03－１。
通过上面的计算可知：富翁付出的一共大约有100000万，看到上面的结果，同学们感到非常的吃惊，那要是按一年来计算，富翁就是再富有，也付不起了。同学们，数学在实际生活中的应用非常多，只要我们用心去学习，将来才不会像这个贪心的富翁一样，只看到自己得到的，而忘记了自己付出的远比得到的多的多啊！
“教学的艺术，是人类最伟大的艺术（列宁）”，教学最忌照本宣科，尤其是每节课的开头，俗语说“万丈高楼平地起”，、将引入的兴趣转化为所讲的主题，无疑为提高教学效率，增强学生的学习兴趣，更好地完成教学目的，起到事半功倍的作用。
案例17递推数列中的名题
李芳
在高二数学教学中涉及到了数列的递推公式，我想到在介绍”数列的递推公式”这一小结的内容时可以补充一些有名、有趣的数列，以此来吸引学生的兴趣。
问题一：汉诺塔问题。传说在古代印度的贝拿勒斯圣庙里，安放了一块黄铜板，板上插了三根宝石柱，在其中一根宝石柱上，自上而下按由小到大的顺序串有64个金盘。要求将左边柱子上的64个金盘按照下面的规则移到右边的柱子上。规则：①一次只能移一个盘子；②盘子只能在三个柱子上存放；③任何时候大盘不能放在小盘上面。问最少经过几次可以全部移到右边的柱子上。
问题二：”兔子繁殖问题”。如果每对兔子每月繁殖一对子兔，而子兔在出生后第二个月就有生殖能力，试问一对兔子一年能繁殖多少对兔子？
问题三：猴子分桃。1979年，李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题：5只猴子分一堆桃子，怎么也不能分成5等份，只好先去睡觉，准备第二天再分。夜里1只猴子偷偷爬起来，先吃掉一个桃子，然后将其分成5等份，藏起自己的一份就去睡觉了；第2只猴子又爬起来，吃掉一个桃子后，也将桃子分成5等分，藏起自己的一份睡觉去了；以后的3只猴子都先后照此办理。问最初至少有多少个桃子？最后至少剩下多少个桃子？
通过游戏、师生共同探讨，三个原本复杂的问题，对大部分同学来说都已经有了解决问题的方法，并且对数列的递推关系的探求产生了浓厚的兴趣。接下来展开实例分析：
例1．求满足下列条件的（n∈N+）的数列{an}通项公式：
已知数列{an}满足a1=1，且n≥2时，an-an-1=n。
已知数列{an}满足a1=a2=2，且n≥3时，anan-1=n。
已知数列{an}满足a1=1，且n≥2时，an=2an-1+1。
例2．已知数列{an}满足a1=1，且n≥3时，an=an-12an-1+2，求数列{an}通项公式。
变式1已知数列{an}满足a1=1，且n≥2时，an=an-1an-1+2，求数列{an}通项公式。
变式2已知数列{an}满足a1=1，且n≥2时，nan2-(n-1)an-12+anan-1=0，求数列{an}通项公式。
案例18直线的对称
余贤树
整节数学课讲究的是“虎头、豹尾、熊腰”，而“良好的开端是成功的一半”，引入的成功对于整节课的优化起着至关重要的作用，成功的引入是教学艺术的重要组成部分，是教师创新精神和创新能力的体现。成功的教学引入，由于选准、选活了“切入点”，能有效地创设问题情境，激活学生的思维，迅速使学生进入“角色”，从而充分调动学生学习的主动性、积极性，激发学习的兴趣，开掘潜藏的智能。
情境教学能激起学生的情感体验，而情感在教学中起着动力的作用。因此，课堂教学中，教师总是精心创设情境，把学生带入典型的环境中去体验，从而加深学生对抽象的数学概念、法则、定律等数学知识的理解，引起学生浓厚的学习兴趣，强烈的情感体验，使学生的思维始终处于活跃状态。创设情境是为了更有效的实现教学目标。因此，创设情境过程中，一定要有明确的目标，寓理于情，情境交融，情通理达，增强体验，提高实效。如在教学习题课《点线、线线对称》时，为了克服“对称”定义中的难点——“完全重合”，我在上课开始时，特意在鞋底下沾上石灰。当我走进教室时，地面上留下一串串清晰的脚印，学生感觉非常新奇，兴致立刻高涨起来。
教师：“同学们，老师刚才走进我们教室，在地上留下了什么？”
学生看了看地面，笑着齐声回答：“石灰脚印”。
教师：“如果老师现在要退回到教室外，但地板上又不能留下新的脚印，你有什么好的办法？”
学生1：“你可以跳出去！”
学生2：“你可以带一把扫帚，边走边把新的脚印扫清。”
我笑着把这些可能一一否决，说老师没带工具，更不可能跳那么远。停了一会，终于有一个学生说：“老师，你可以转过身，沿着刚才的脚印走回去。”
我听完，就按照此学生的意思，转身往外走，结果刚走两步(脚尖踏着旧脚印的脚跟处，脚跟落在旧脚印的脚尖处)，此时就有第二个学生说：“不行，地上已经出现新的脚印。”同时他忽然想起什么似的大声地说：“老师，你不用转身，就用你的脚尖踏着刚才的脚印上的脚尖，脚跟落在刚才脚印上的脚跟上。”
我听完，觉得时机比较成熟了，就顺利引入地说：“嗯，我明白了，你的意思就是想让老师的新脚印与刚才的旧脚印完合在一起，是吧？”
这位同学高兴地点了点头。我趁热打铁：“那么谁能够用一个词语来概括这个同学的意思呢？”我故意拖长调子：“是……什么合……呢？”
水到渠成，又一个学生立刻站起来回答：可以用“完全重合”这个词语来概括刚才老师的新旧脚印。
教师：“点A关于线对称的点B，其中A与B关于线对称是完全重合的，就像物理中所学的什么内容？
有一学生：“平面镜成像”，人与像是关于平面镜对称的。
通过以上的情境教学，解决了本节课的难点，同时又主动地让学生掌握了对“对称”的概念理解，并使学生学得更活跃。由此我们在课堂教学中要根据教材内容、学生年龄特点和认知规律、学生已有的生活经验和知识来精心设计教学引入，充分体现教学的艺术性，激发学生的内在动机，使学生情绪激昂，保持积极向上的状态。
案例19唯利是图的商人
郑雪华
我国古代伟大的教育家孔子说：“知之者不如好之者，好之者不如乐知者。”
可见培养良好的学习情绪的重要性。人的情绪处在愉快状态，大脑则相应地处在兴奋状态，人的思维敏捷，清晰，注意力集中，记忆力强，学习效率就会很高，起到事半功倍的效果。
在线性规划教学中，我是这样引入的。
都说商人惟利是图，但到底怎么“图”就很有讲究。今天就请大家做一回小老板，帮助谋划谋划。
“雨果咖啡”最近碰到一个问题。来“雨果”的客人最爱点的就是两种咖啡，蓝山和卡布奇诺。蓝山咖啡每杯含奶粉4克，咖啡5克，糖10克；而卡布奇诺每杯含奶粉9克，咖啡4克，糖3克。基于客流量，每天原料的使用限额为奶粉3600克，咖啡2000克，糖3000克。如果蓝山每杯能获利0.7元，卡布奇诺每杯能获利1.2元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，那么每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大？
问题一提出，学生就表现出浓厚的兴趣。“蓝山咖啡”，“卡布奇诺”，这么时尚的东西；数学也可以时尚！糖，奶粉，如此的亲近；数学也可以生活化！学生跃跃欲试，他们很愿意做一些大人做的事情，从而证实自己的独立性与存在性，更喜欢数学知识实用化，趣味化。
经过分析与相互探讨，学生很快就找到了问题关键与本质，从而有了如下的设法与主要关系式：
设每天配制蓝山咖啡x杯，卡布奇诺y杯，x，y∈N*，利润为z元。则有
4x+9y≤3600
5x+4y≤2000
10x+3y≤3000
z=0.7x+1.2y至此学生的学习情绪已积极调动，迫切渴望问题能得到解决。紧接着就是学生的自发行动，如何应用已学知识求出利润最大值，从而发现知识缺陷，进而主动吸收新知识。
案例20从反面考虑
罗泉
一、“反证法”的引入：
为了说明“世界上至少有两个人的头发根数相等”，显然，从正面去解决是很难办到的，怎么办呢？小明想出了这样一个办法：
假设世界上任何两个人的头发根数都不相等，那么我们可以按照头发根数将人编号：秃顶的编为0号，一根头发的编为1号，两根头发的编为2号，“三毛”编为3号……由于全世界的人口已超过50亿，所以一定有人的编号大于50亿，假定中国的小张就是其中的一个人。但根据常识，人的头发（能长头发的部分）的面积小于103cm2，并且每平方厘米的头发根数都小于103，因此任何人的头发根数都小于103×103=106，即任何人的编号都应小于106，而106这个数远远小于50亿，这就与小张的编号大于50亿矛盾，这就说明了“世界上至少有两个人的头发根数是相等的”。你说这是为什么呢？
二、反思
1．创设问题情景是问题解决的首要问题，是把学生引进问题解决的关键环节。因此，我们可抓住学生熟悉的趣味问题作为新内容的引入，这种引入方式不仅有利于学生创设主动的问题情景，而且有利于学生体会到数学和每个人都有联系，数学就在你身边，从而吸引学生到学习中来。本节课的引入，学生普遍感到有较强的趣味性，况且学生都有一定的“反证法”基础，利于学生很快的同化新知。
2．很多数学概念都是人们从现实世界广泛抽象而得，如果我们在上新课时，能将教材的学术形态还原为学生可接受的教育形态，从学生感兴趣的现实材料出发，逐步抽象出数学概念，然后用其解决实际问题，可以使学生既认识到数学概念源于现实，又认识到数学概念应用的广泛性。这对激发学生的学习兴趣无疑是有帮助的。
案例21立体几何的开头
费永军
几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科。人们通常采用直观感知、操作确认、思辩论证等方法认识和探索几何图形及其性质。三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的几何直观能力、运用图形语言进行交流的能力、空间想象能力与一定的推理论证能力是高中阶段数学必修课程的一个基本要求。
在学习立体几何以前，学生的头脑里占据了大量与平面几何有关的信息，立体几何第一堂课的开头需要教师把学生的思维引向空间。本人在上立体几何第一节课的引入时做了如下尝试：
Ⅰ教师提问：六根长短相等的火柴棒能否搭建四个全等的正三角形？
学生互动：同桌的两学生用笔在课桌面上比画尝试。
教师示范：用六根直线教具或正四面体的模型展示。
教师再问：谁能大致画出这个模型的立体图形？
师生活动：教师幻灯片演示并展示学生所作立体图形。
Ⅱ教师提问：垂直于同一条直线的两直线的位置关系是什么？
学生回答：平行。
师生互动：⑴出示正方体模型，让学生尽可能多的找出与某一条线（棱）垂直的其他线（棱）；
⑵让学生判断他们所找到的线（棱）之间的关系：平行、相交、既不平行也不相交（异面）。
教师再问：谁能用三支笔示意刚才总结的几种情况并画出相应示意图？
师生活动：学生展示，教师幻灯片展示。
