1°点是没有部分的东西。
2°线有长度没有宽度。
3°线的各端是点。
4°直线是这样的线，它关于在其上所有点的位置是相等的。
5°面只有长度和宽度。
6°面的边缘是线。
7°半面是这样的面，它关于在其上所有直线的位置是相等的。
8°～12°定义了角、平角、直角、钝角、锐角。
13°界是任何东西的尽头。
14°图形是这样的东西，它含于某件东西的内部，或含于某些界的内部。
15°圆是这样的平面图形，它包含于一条曲线(把它叫做圆周)的内部，从图形内部某点到这条曲线上(在圆周上)所有的点的直线彼此相等。
20°三边的图形中，等边三角形是有3个相等的边的图形；等腰三角形只有两个相等的边；不等边三角形有3个不相等的边。
22°四边的图形中，正方形是边都相等，角都是直角的图形；非正方形的矩形的角都是直角，但它的边不都相等；菱形的边相等，但它的角不是直角；长菱形(平行四边形)对边相等，对角相等，但它的边不都相等，它的角不是直角。其余的四边形叫做梯形。
23°平行线是这样一些直线，它们在一个平面上，且两侧无限延长时，在任何一侧都不相遇。
卷一中给出48个命题及其证明。
命题1在已知的有限直线上作一等边三角形。
为展示《几何原本》的理论风格，我们在此摘录命题1的原始论证如下：
设已知有限直线AB(见图28)，以A为圆心，以AB为半径作圆BCD(公设3°)；以B为圆心，以AB为半径作圆ACE(公设3°)，我们从两圆之交点C引连接A点与B点的直线CA，CB(公设1°)。
因为A是圆BCD的心，所以AC等于AB(定义15°)；因为B是圆ACE的心，所以BC等于BA(定义15°)。可是已证明AC等于AB，这就是说AC与BC中每一个都等于AB，但等于同一量的量彼此相等(公理1°)，这就是说AC等于BC。
这就是说AC，AB，BC三直线彼此相等，也就是说在已知的有限直线衄上作出的三角形ABC是等边的(定义20°)，这就是所求证的。
我们发现，欧几里得的《原本》也不是无懈可击的。例如点、线、直线等定义在其后的论证中并没有起作用，有的定义阐述含糊不清，令人费解。例如“直线是这样的线，它关于在其上所有点的位置是相等的”，“位置相等”是何义？在理论上，《原本》也有漏洞。例如卷一的命题1，以A与B为圆心，以AB为半径的两个圆为什么一定会有交点呢？事实上，欧几里得没有建立“连续公理”，这就交代不清圆会不会在C点断裂，C点恰是两圆上的“洞”，而找不到两圆的交点。
当然，我们不宜苛求于古人，毕竟他们搞的是开创性的工作，假若没有欧几里得这些不太完备的概念，哪里会形成如今比较完善的几何学呢？
卷一还有下面有趣的命题：
命题4若两三角形的两边及其夹角对应相等，则两三角形相等。
命题5等腰三角形两底角相等。
命题8若两三角形的一边同它临近的两角对应相等，则两三角形相等。
命题16一切三角形中，延长任一边所成的外角大于每个与它相对的内角。
命题17一切三角形中，任何两角合在一起，都小于两个直角。
命题27如果一条直线与另外两条直线相交，所成的内错角相等，那么这两条直线平行。
命题28如果一条直线与另外两条直线相交，所构成的外角等于在同侧与它相对的内角，或者所构成的同侧内角合在一起等于两个直角，那么这两条直线平行。
一直到命题29，欧几里得才动用了他的第五公设，也许欧几里得对第五公设的信任程度与其他公设相比，不那么十足。
命题29一条直线与两条平行直线相交，所构成的内错角相等。
命题47毕达哥拉斯定理。
欧几里得给出了一个著名的称为“新娘的椅子”的证明，证明勾股定理成立。见图29。
事实上，AC2=b2=2△JAB=2△ACD=长方形ADKL，同理，BC2=a2=长方形BEKL，于是AC2+BC2=长方形ADKL+长方形BEKL=正方形ABED=C2。
欧几里得还证明了毕达哥拉斯定理的逆定理。
卷二有两个定义和14个命题，其中命题11是有名的黄金分割问题。
命题11划分已知线段为两个线段，使得由整体直线及这两线段中的一个所包含而成的矩形等于另一线段上的正方形。
卷三有11个定义和37个命题，论证圆周、弦、内接于圆的角、外切于圆的角和切线等基本性质。
卷四有7个定义和16个命题。论证圆的内接与外切正三角彤、正方形、正五边形、正六边形和正十五边形，最后一个命题是论证正十五边形作图。
卷五中有18个定义和25个命题，讲古代希腊代数，沿袭毕达哥拉斯的传统，欧几里得只讲到分数，论述比例理论。
卷六有5个定义和33个命题，谈面积比和相似形等与比例有关的平面几何问题。例如：
命题12已知三直线，求第四比例项。
(注意阿基米德一贯把线段称为直线)。
命题13求已知二直线的比例中项。
欧几里得把线段与数联系起来，为日后的解析几何奠定了原始的思想基础。
卷七有23个定义和39个命题。
定义1质数是只能用单位度量的数。
卷七还给出了求两个正整数最大公约数的辗转相除法：以两个数中较小的除较大的那一个，再以余数除除数，反复(辗转)执行上述步骤，直至无余数为止，此时最后一个除数即原来两数的最大公约数。
命题23如果两个数互质(素)，那么度量其rIJ一个数的数，与另一数互质。
命题24如果两个数与某一数互质，那么南它们(的积)生成的数也与这个数互质。
命题30如果两数积可用某数度量，则后者可度量两数中的一个。
命题31任一合数可用某质数度量。
从欧几里得的上述命题可以得到正整数分解成质因子唯一生定理(算术基本定理)。
由卷五、卷七等内容看，《原本》不应译成《几何原本》，事实上它不止包含几何内容。
卷八有27个命题，没有定义。
在卷八中有定理证明了平方等于2的分数不存在以及关于立方的类似定理，即没有分数的立方等于2。
事实上，若(qp)3=2，其中p，q是正整数(p>1)，qp是既约分数，则存在唯一的质数组{q1，q2，…，qn}与{p1，p2，…，pm}，使得q=q1q2…qn，p=p1p2…pm，于是(q1q2q2…qn)3(p1p1…pm)3=2。
即分数(q1q2q2…qn)3(p1p1…pm)3可以约分而得2，即{p1，p2，…，pm}{q1，q2，…，qn}，与qp=q1q2q3…qnp1p1…pm为既约分数相违。当然，也不会有正整数，其立方等于2。
用这种方法可以证明33、34、35、36、37…是无理数。
卷九证明了质数有无穷个。这一卷有36个命题，没有定义。
卷十有4个定义和115个命题。
定义1可用同一个量度量的量叫做可通约的量，不能有任何公共度量的量叫做不可通约的量。
定义2我们称给出的直线是有理的，把与它无论是线性兼乘方的或只是乘方的可通约的直线叫做有理的，与它不可通约的叫做无理的。
命题1对于两个给出的不等的量，如果从较大的量里取出它的一半，再从所剩下的量里取去所剩下的量的一半，如此继续下去，那么剩下的量将小于给出的那个较小的量。
命题2对于两个不等的量，交替地从较大的减去较小的量，如果总是所剩下的量不能度量它前面被减去的量，那么所给出的两个量是不可通约的。
命题6如果两个量之间具有如同数对数一样的比，那么这两个量是可通约的。
命题7不可通约的量没有如同数对数一样的比。
命题8如果两个量彼此之间没有如同数对数一样的比，那么这两上量是不可通约的。
欧几里得谈的数指有理数。
卷十一、十二、十三讲的是立体几何。
卷十一中有31个定义，40个命题。研究球、圆锥、圆柱和五种正多面体的定义和空间中直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系命题，以及等积的平行六面体的性质。
卷十二由18个命题组成。包括棱柱、棱锥和球的体积的命题。
命题5具有三角形的底和同一高的两棱锥的比和它们底的比相同。
命题7具有三角形底的棱柱可以划分成3个等积的以三角形为底的棱锥。
卷十三有18个命题，讨论正多面体理论。
命题13作内接于已知球的正四面体。
命题14作内接于已知球的正八面体。
命题15作内接于已知球的立方体。
命题16作内接于已知球的正二十面体。
命题17作内接于已知球的正十二面体。
命题18求以上诸命题中所考虑的5种正多面体的边。
欧几里得给出了以上各命题的作图法，且给出了作法正确性的证明。
欧几里得指出，把求证的事当作已知，然后以导出的结果为基础，使得命题得证的方法叫做“解析法”；反之，借助于已知的真理得出求证的事物，称为“综合法”。
在卷十三中，欧几里得把他定义的解析法与综合法有效地应用于几何证明。
卷十四中有7个命题，讨论正多面体的性质。
卷十五中有7个关于一个正多面体内接于另一个正多面体的问题，例如：
命题5在已知的正二十面体中作内接正十二面体。
《原本》博大精深，是数学演绎证明的美丽画卷，是全人类的教科书，是所有科学家和工程师的启蒙课本。
《原本》的希腊文手稿于19世纪在梵蒂冈图书馆发现，那是所有历史文物中的最珍贵的一份文物！丹麦人从19世纪编辑《欧几里得全集》，到20世纪初，已出版八卷。1962年，前苏联出版的《欧几里得文集》收容了欧几里得的几乎所有可以找到的著作。
美国数学史家说：“如果说欧几里得的《原本》将他那个时代知道的全部平面几何和立体几何概括无遗，这显然是错误的；欧几里得懂得的几何学比他写入《原本》的要多得多。”
