笛卡儿(Descartes，1596-1650年)，生于法国拉艾，父母皆属贵族阶层。1612年，笛卡儿考入巴黎普瓦捷大学攻读法学，获法学博士学位，毕业后以律师为业。1628年移居荷兰，潜心研究数学20余年，为人类的科学事业做出了不朽的贡献。1637年，笛卡儿的名著《几何学》问世，标志着解析几何的诞生，而解析几何的创立标志着数学从初等数学阶段进入高等数学阶段。
笛卡儿是一位划时代的数学家，解析几何是一门划时代的数学学科。解析几何使变量成为数学舞台的主角，坐标系为近现代数学搭建了赖以繁衍生息的大厦的框架。
《几何学》分为三卷，第一卷把线段与数量(线段的长度)联系起来；第二卷把平面上的点与坐标(x，y)对应起来，把曲线用含x，y两个变量的方程来表示；第三卷讨论代数方程的理论。
笛卡儿不仅是解析几何的创始人，而且是西方近代哲学的奠基人之一，他的数学思想和数学方法洋溢着浓郁的哲学气息和形而上学的思辩性。他的主要著作有：
①《宇宙论》，1634。
②《方法论》，1637，《几何学》则是以《方法论》的附录形式问世的。
③《形而上学的沉思》，1641。
④《哲学原理》，1644。
⑤《指导哲学之原则》，170l。
《宇宙论》论述哥白尼学说，讨论地球自转与宇宙的无限性，为了避开教会的耳目，笛卡儿把这一著作的主要内容附在《方法论》之后出版．以免因宣传“异端邪说”而遭到教会的迫害。
笛卡儿禀赋内向，一生谨小慎微，胆小怕事，慑于法国卡尔文教会的淫威，他被迫流亡荷兰。
在《方法论》中，笛卡儿批评古希腊几何刻意追求严谨和几乎每个题目都需要为之设计一种具体的技巧的弊端，使得几何学很难进一步发展。笛卡儿欲搞一种思想与方法都具有统一性的代数化的新几何学，他以哲学家的思辩与数学家的严密创立了一种后人称之为解析几何的学科，把数与形统一了起来。
1619年，笛卡儿研究“帕波斯问题”：
平面上给定5条直线l1，l2，l3，l4，l5；P为平面上的一个动点，从P点分别向这5条直线作段PA1，PA2，PA3，PA4，PA5；A1，A2，A3，A4，A5分别是l1，l2，l3，l4，l5上的点，且要求PAi与li的夹角αi是指定的角度，i=1，2，3，4，5；令k是任意指定的一个正数。求P点的轨迹，使得PA1×PA2×PA3＝kPA4×PA5。这个问题是引发笛卡儿用代数方程表达曲线这种解析几何思想火花的火石。
对于l1∥l2∥l3∥l4，l4⊥l5，αi≡π2的特殊情形，且设l1，l2，l3，l4之间依次相距为a＞0，见图36。
设PA4=x，PA5=y，则PA1=x-3a，PA2=x-2a，PA3=x-a，欲使
PA1×PA2×PA3=kPA4×PA5
等价于
（x-3a）(x-2a)(x-a)=kxy
x3-6ax2+(6a2+2a2+3a2)x-6a3=kxy
x3-6ax2+11a2x-6a3=kxy
即所求的P点之轨迹应满足方程
x3-6ax2+11ax-6a3=kxy(17)
方程(17)所对应的是距l4为x距，l5为y，的点P之轨迹，此曲线被牛顿称为三叉戟曲线或笛卡儿三次曲线。笛卡儿把一条轨迹曲线与一个相应的二元方程视为同一事物，而且可以通过对此方程的数学研究得出对应曲线的性质，画出曲线的图像。
后来数学家把P点的距l4与l5的距离称为P点的坐标，记成P=(x，y)，把l4与l5称为坐标轴，l4与l5组成平面直角坐标系。
笛卡儿把解答帕波斯问题的方法一般化，发展成解析几何这门学科。“解析”二字意指用代数方法解析地表达几何对象，进而可以解析地，即代数化地研究几何问题。
通过帕波斯问题的解决，笛卡儿灵感涌动，犹如拾到了一串打开高等数学门锁的魔匙。当然，产生数学灵感并非谁人都有这种幸运，它是以对前人的数学理论与方法有了全面透彻的掌握为基础，再经自己对一类重要问题梦寐以求的深思熟虑之后才能获得，正所谓种玫瑰者得花。
笛卡儿天性求真好奇，有极强的独立思考的能力，他上中学时即对当时学校向学生灌输的那一套经院哲学和宗教教条进行分析批判，课下对同学们说其中没有一句话是不可疑的。
他对数学也独具改革之心，他对代数的一些内容缺乏直观性和欧几里得几何缺乏动感、统一性十分反感；他立志建立一种集代数与几何两门学科的优点于一身又能去掉两门学科缺点的新学科。他多年来满脑子净是这种思绪，一旦时机来临，例如遇上了帕波斯问题，就产生了灵感而提出解决该问题的代数方法。
笛卡儿对高次方程
f(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an=0(a0≠0，an≠0)
进行了深入研究，他证明：序列a0，a1，a2，…，an，变号次数为p时，f(x)=0的正根（一个k重根按k个根统计之）等于p个或比p少一的正偶数，p＝0时无正根，p=1时有且仅有一个单重正根。
笛卡儿的手稿中比欧拉早10年就记录了多面体公式
ν-ε+=2(18)
式中ν是顶数，ε是棱数，是面数。
事实上，按现代图论的观点，笛卡儿的多面体公式是成立的。把一个透明的玻璃做的球放在平面上，在球的北极N放一盏小灯，球面上画一些墨点，则每个墨点在平面上有自己的一个影子，而且不同的墨点影子不同，非北极点与其影子点一一对应，见图37。例如A点与A"点对应，B点与B"点对应，C点与C"点对应，带“"”的点在平面π上，分别是A，B，C的影子。于是不相交的球面上的曲线在平面π上的影子也不相交。
如果我们把多面体的棱视为用橡皮绳做成的，把一个多面体的骨架紧箍在球面上，且使多面体的每个顶点不落在北极点N上，多面体的棱不相交也不自相交，则如此紧箍在球上的多面体在平面π上的影子是一个平面图G的平面嵌入，可见多面体的骨架是平面图，即可以画（嵌入）到平面上，而无两边相交。
下面对于平面连通图对面数进行归纳证明公式(18)成立，注意多面体上含北极的那个面在π上的投影是无界的所谓“外面”。=1时，多面体公式自然成立。事实上，这时G是树。
ε＝ν-1，即ν-ε＋1＝2。假设对≤k(k≥1)，公式（18）已成立，考虑＝k+1的情形。
由于＝k+1≥2，所以G有圈，设e是G中某圈C上的一条边，则G-e仍是连通平面图，且以e为公共边的两个面在G-e中变成了一个面，由归纳法假设（这时G-e中有k个面）成立。
ν（G－e）-ε(G-e)+(G-e)=2
又ν（G-e）=ν(G)，ε(G-e)=ε(G)-1，(G-e)=(G)-1，于是
ν（G）－（ε（G）-1）＋（（G）-1）＝2
ν（G）－ε（G）＋（G）＝2
证毕。
笛卡儿对数学的本质有独到的深刻见解，他正确地指出：“所有在其最终研究中与序和测度有关的科学，都与数学有关。
至于所寻求的测度是数中的、形中的、星体中的、声音中的或其他对象中的，则不重要。相应地，应该有一个解释所有与序和测度有关的已知事实的一般科学，这里指的序和测度与所适用的特殊学科无关，这门一般科学已有其合适的名字，那就是数学。一个证明在其敏捷性和重要性大大地超过了依赖它的那些学科之处在于，它同时把这些科学所致力的对象和许许多多邻近的对象概括在一起。”“我尤其对数学推理的确实性与明了性感到高兴。如果在这样坚实与牢固的基础之上不能竖起更高的上层建筑，那才怪呢！”“宇宙是按数学的规律建立的。”“一切问题可以化成代数问题。”
由于笛卡儿的科学的世界观与梵蒂冈的荒谬教义相违，1647年，教皇下令把笛卡儿的著作列入“禁书”目录，限期全部焚毁。在悲愤之中，这位伟大的哲学家和数学家孤寂地客死他乡，今日，全世界的科学家和爱好科学的年轻学子无不怀着崇敬的心情，呼唤着笛卡儿的名字，一遇到解析几何上的问题，除了被问题的解法所倾倒，同时就会想到笛卡儿其人其事。
