罗巴切夫斯基(Lobatchevsky，1793-1856年)生于俄国诺夫哥罗德一个贫苦的小职员家庭，7岁丧父，其母是一位顽强开明的女性，她竭尽全力培养孩子，把3个儿子都送到喀山中学住校读书。罗巴切夫斯基是次子，14岁即考入喀山大学数学物理系，他敏而好学，是全校同年级中最有天赋的学生。19岁获硕士学位，留校任数学助教，24岁即晋升为正教授。年轻的罗巴切夫斯基性格倔强、自命不凡和富于创新与幻想，是一位彻底的无神论者。由于不相信上帝，上大学时就差点因此而被开除学籍，幸亏由于他的学业成绩实在太优异，被喜爱他的教授们保了下来，才完成了学业。毕业后他的学术思想与政治品质仍坚守不移，与当时俄国的独裁统治和嚣张的宗教狂热进行着不懈的斗争。
1820年-1825年，罗巴切夫斯基任喀山大学数理系主任。1827年-1848年任喀山大学校长。
在他担任喀山大学校长期间，显示了他卓越的管理领导才能，兴建了当时俄国最大的教学楼、图书馆，还建造了著名的喀山天文台。他亲自担任数学专业的几何课教学，出版了关于教学方法的著作。在他的科学精神与工作热情鼓舞下，喀山大学全体师生团结一致，很快把喀山大学办成了全俄最著名的大学之一。
1826年4月23日，罗巴切夫斯基在喀山大学的学术会议上宣读了他的历史性论文《几何原理的概述和平行线定理的严格证明》，向享誉两千年的欧几里得几何发起总攻。他说：“时至今日，几何学中的平行线理论是不完全的，从欧几里得时代以来的两千多年，大家徒劳无功地枉证第五公设，使我怀疑在其概念中有不真实的成分。”1826年4月23日被公认为非欧几何(当初直称“反欧几何”)的诞生日，罗巴切夫斯基被推崇为“几何学上的哥白尼”。伟大数学领袖希尔伯特说：“19世纪最有启发性、最重要的数学成就就是非欧几何的发现。”
事实上，欧几里得的《几何原本》是由公理系统出发兴建的一部演绎数学体系的样板，是数学史上影响最为深远的世界级数学巨著，全人类的教科书。但《几何原本》并非无懈可击的完美之作，它的最大的问题出在第五公设上，《几何原本》上的第五公设写道：
“如果一条直线与另外两条直线相交，在一侧构成两个同侧内角之和小于两个直角，那么这两条直线无限延长时，就在同侧内角的和小于两个直角的那一侧相交。”
这条公设不像《几何原本》中另外四条公设那样简明直观，可以不证自明。人们企图用其他公设把第五公设证出来，参加第五公设证明的大数学家很多，其中也有罗巴切夫斯基，可惜大家都以失败告终。1823年，罗巴切夫斯基写道：“这个公设的严格证明直到今日仍未能得到，一些已给出的所谓证明应该说只是一种说明，就完备的数学证明而言，那些证明都是无效的。”
18世纪中期，达朗贝尔把《几何原本》中的第五公设证明问题戏称为“几何的家丑”。
罗巴切夫斯基经过长期的深思熟虑，萌生了把第五公设换成“过已知直线外一点不止有一条直线与已知直线平行”，重建一种新的无矛盾的几何学。他把这种新几何学称为“虚几何学”。1829年，他在《喀山学报》上发表论文《论几何基础》。
1835年，又在此杂志上发表论文《具有平行的完全理论的几何新基础》。1837年，罗巴切夫斯基用法文发表论文《虚几何学》。
1840年，罗巴切夫斯基用德文写成专著《平行理论的几何研究》，此书是19世纪非欧几何影响最大的专著。
罗巴切夫斯基的虚几何学与高斯和小波尔约关于非欧几何的论述大同小异，只不过罗巴切夫斯基的著作公开地问世。
罗巴切夫斯基的新几何学一问世，果然遭到了“波哀提亚人”的疯狂嘲弄乃至人身攻击，不少数学界的权威人物也妄称罗巴切夫斯基的学说是“荒唐透顶的伪科学”，有的写匿名信骂罗巴切夫斯基是“疯子”，有人画了漫画，写了歪诗讽刺挖苦罗巴切夫斯基。
面对狂风暴雨般的攻击，罗巴切夫斯基表现了伽利略式的“追求科学需要的特殊勇敢”，寸步不让，忍辱负重，继续研究推广自己的新几何。非欧几何的诞生，是数学史上重大改革的典范。罗巴切夫斯基的专著发表了30多年，未被重视，说明数学家们一般不情愿接受激进的思想。非欧几何的发展、完善与应用的历史证明，罗巴切夫斯基绝非是出于钻牛角尖的怪癖和为了满足理智上的好奇心而玩弄平行线公理的游戏，而是严肃地、科学地建立一种新的数学分支，尽管当初多数人以为罗巴切夫斯基的非欧几何是荒谬的。
为了建立非欧几何，罗巴切夫斯基首先建立了一些基本定理：
(1)在直线三角形中，三个内角之和不超过π。
如果△ABC的内角和为π+α，α>0，设BC是其最短边，D是BC中点，连接AD，且延长AD到E，使AD=DE，连接EC，见图44。
则△ADB△EDC，∠ABD=∠ECD，∠BAD=∠CED，由此得知△ACE中，三内角之和也π+α。
又ABC中，∠BAC是最小内角，且∠BAC=∠EAC+∠AEC。∠EAC与∠AEC中有一个不大于12∠BAC，且两者都比ABC。
中最小角还小。如此继续下去，我们可以作出这样的三角形，三个内角和为π+α，且有两个内角都比α2还小，又第三个内角不大于π，这三个内角之和不是π+α，矛盾！所以α>0不成立，应有a≤0，即三角形内角和不超过π。
以上论证中没有用到欧几里得第五公设，于是有两种可能：三角形的内角和为π，不然三角形内角和小于π。
(2)如果存在一个直线三角形，其内角和是π，则一切三角形内角之和皆是π。
如果△ABC三个内角之和为π，则△ABC中至少两个内角是锐角，不妨设∠A，∠C是锐角，不然，△ABC中至少有两个内角不小于π2，与(1)相违。从∠B的顶点向对边作三角形的高，把△ABC划分成两个直角三角形△ABD与△BDC，见图45。于是△ABD与△BDC每个三角形的内角和也是π，不然，其中一个的内角和小于π(见(1))，则另一个的内角和大于π，与(1)相违。至此得到直角△ADB，两直角边分别长p与q。用两个与△ADB全等的三角形并成一个对边相等，每角皆为π的四边形，再用这种四边形铺成边长A"B"=np，A"D"=mq的对边相等的且每个角皆为π2的大四边形，其中m，n是自然数。对角线B"D"把它划分成两个全等的直角三角形△A"B"D"和△B"C"D"，由命题(1)可知，这两个三角形的内角和皆为π，见图46。
下面证明，若△ABC内角和为π，则一切直角三角形内角和皆为π。设△PQR是任一直角三角形，则可把RP与RQ分别延长到P1与Q1，使得△P1 Q1R是一个内角和为π的直角三角形，其中RP1=np，RQ1=mq，见图47。连接P1Q，由命题(1)可知，若△P1RQ的内角和不是π，则其内角和小于π，于是∠RP1Q+∠RQP1＜π2。但是∠1＋∠2＋∠3＋（∠RP1Q＋∠RQP1）＝π+π2。
于是∠1＋∠2＋∠3＞π，与命题（1）相违，故P1RQ的内角和是π。
同理可知△PQR的内角和是π。由于直角三角形△PQR是任取的直角三角形，所以当△ABC内角和为π时，一切直角三角形内角和皆为π。
对于任何三角形，可以从其最大角的顶点向对边作高，把它划分成两个直角三角形。可见，任何三角形的内角和皆为π。
以上论证没有动用欧几里得第五公设。
由以上基本命题(1)与(2)可知，对于所有直线三角形，只有两种可能：
①每个直线三角形内角和皆为π；
②每个直线三角形内角和皆小于π。
(3)如果一切直线三角形内角和皆相等，则一切三角形的内角和为π。
事实上，设三角形内角和皆为x，在△ABC的边AC上任取一点D，连接BD，见图48。
则
x=α+β+γ，其中β=β1+β2
x=α+β1+δ1
x=γ+β2+δ2
从而
2x=α+(β1+β2)+(δ1+δ2)+γ
=α+β+γ+π=x+π
从方程2x=x+π解得x=π。
由基本命题(3)得知，如果一个三角形内角和小于π，则三角形的内角和不会是常数。
我们从欧几里得几何中已知，过直线外一点与已知直线平行的直线只有一条的充分必要条件是直线三角形的内角和是π。
于是过已知直线外一点可以引不止一条直线与已知直线平行等价于直线三角形内角和小于π。
罗巴切夫斯基用“过已知直线外一点可以引不止一条直线与已知直线平行”来取代欧几里得第五公设，得到了一种无矛盾的新几何。
在罗巴切夫斯基几何当中，有众多结论与我们在中学学得的几何知识相违的新定理。例如：
①平面上同一直线的垂线与斜线可以不相交。
②相似而不全等的直线三角形不存在。
③存在无外接圆的直线三角形。
④圆内接正六边形的边大于圆的半径。
⑤过锐角的一边有垂线不与另一边相交。
⑥过已知直线外一点可以作无数条直线与已知直线平行。
罗巴切夫斯基几何的出现，对数学公理化思想起了推波助澜的作用。
物理学家们对宇宙的深入研究中发现，宇宙空间的结构更接近于罗巴切夫斯基几何，可以用罗巴切夫斯基的几何作为宇宙的数学模型。
罗巴切夫斯基不仅在几何学上有里程碑式的贡献，而且在其他学科也有众多精彩成果。他最先指出函数的连续性与可微性的区别，对三角级数与Γ函数等方面有非凡工作，给出一种高次方程的近似解法，他的非几何著作有：
①《代数或有限运算》，1834。
②《三角级数的消失》，1834。
③《无穷级数的收敛性》，1841。
④《某些定积分的值》，1852。
