正如芒格指出的那样，基础代数在计算可能性方面极为有用。当我们在实际投资中运用概率论时，需要更深入地了解这些数字是如何计算的。我们特别需要注意频率的概念。
随机扔一枚硬币之后猜正面向上的可能性是1/2，这是什么意思呢？或掷出骰子之后，出现双数的机会是1/2？如果一个盒子里装满了弹球，其中70%是红色的，30%是蓝色的，就有3/10的概率拿到的球是蓝色的？在这些例子中，事件的可能性被称为频率解读，它基于平均法则。
如果一件不确定的事情重复发生无数次，它发生的频率就体现在它的可能性上。例如，如果我们投掷一枚硬币10万次，那么出现正面向上的机会预计有5万次。注意，我没有说正好是5万次。大数法则说当无限次重复之后，相应的频率和可能性应该相同。理论上说，我们知道在正常的投掷硬币游戏中，出现正面向上的机会是1/2，但我们永远不可能说正反面完全相等，直到它们被投掷无数次之后。
很明显，如果一个问题具有不确定性，我们无法就不可能做出明确的定义。反之，如果问题已经被定义明确，我们应该能够列出各种可能的后果。如果一个不确定因素重复的次数足够多，那么结果的频率就能反映出不同结果的概率。如果我们关心的问题只能出现一次，这才是真正的难题。
我们如何估计明天通过科学课考试的概率，或某球队赢得超级杯比赛的概率？在每一个个案中，我们面临的问题是不一样的。我们可以回顾过去在科学课考试中的表现如何，但每次考试的内容不尽相同，而且我们的知识水平不是一成不变的。我们可以将这支球队过去的成绩进行统计，但是我们没有足够的数据统计每一位队员在相同环境下捉对厮杀的记录。
没有大量重复的实验，我们就无法得到频率分布，无法计算可能性。这种情况下，我们只好依靠自己对于可能性的主观解读，实际上我们经常这么干。例如，我们说，某球队赢得隆巴迪奖杯的可能性是1/2，或顺利通过科学课考试的可能性是1/10。这些都是关于可能性的陈述，它描述了我们对于一件事情的相信程度。当不可能做足够的实验，以得到基于频率的可能性解读时，我们只有依靠自己的主观感觉。
你可以立即发现这两个例子中的主观解读如何误导了自己。在主观的可能性中，真正的难题是分析你的假设。算了，不要再想它们了。假设你在科学课考试只有1/10的顺利通过的可能性，是因为考试内容更难了吗？或你做的练习不够？或是假装谦虚？你推断球队有1/2的捧杯概率，是否因为你一直以来都是他们的忠实粉丝，以至于对其他强队视而不见？
根据贝叶斯分析，如果你相信你的假设是理性的，那么对于一个特定事件的主观可能性，就等同于实际发生的频率可能性，这是完全可以接受的。12你所要做的就是，剔除那些非理性的、不符合逻辑的部分，保留理性的部分。实际上，在很多例子中，主观可能性很有价值，因为它在你的思考中增加了实际的运用因素，而不仅依靠长期的统计规律结果。
概率论与市场
无论投资者是否意识到，实际上所有的投资者都在运用概率论。为了成功，他们需要将历史数据与最新发生的数据结合在一起进行考虑。这就是现实中的贝叶斯分析法。
巴菲特说：“我们所要做的全部就是，将盈利概率乘上可能盈利的数量，减去亏损的概率乘上可能亏损的数量。”13
为了搞清投资和概率论之间的联系，一个有用的例子是风险对冲的使用。纯粹的风险对冲实际上就是同一证券在两个市场上的价格差异。例如大宗商品和外汇价格在全球几个市场交易，如果两个市场上，对于同一商品或货币标出不同的价格，你就可以在价格高的市场上卖出，同时在价格低的市场上买进，差价就是你的利润。
今天，对冲的机会经常伴随着收购兼并出现。有些人专门针对上市公司未披露信息进行对冲，但这一领域巴菲特是避开不做的，我们也应该像他一样。巴菲特说：“我的工作就是评估这些事件发生的概率以及盈亏比例。”14
让我们看看巴菲特在斯坦福学生面前如何谈论这种情况。假设雅培现在的交易价格是18美元/股，在早盘时段，它宣布今年某个时候会以30美元/股的价格卖给科斯特洛公司。消息一经公布，雅培的股价即刻上升至27美元，然后在此价格上下波动。
巴菲特看到这样的并购声明后，会首先评估这个事件成功的可能性程度。某些公司的购并不一定能成功，或是由于董事会的反对，或是由于来自联邦交易委员会的反对。无人能确切知道对冲交易的结果如何，这就会导致亏损的风险。
巴菲特在这一过程中，恰恰是运用了主观可能性评估，他说：“如果我遇到一个机会，有90%的可能赚3美元，同时有10%的可能亏9美元，那么2.70美元减去0.90美元，从数学上看，我还有1.80美元的赚头。”15
接下来，巴菲特说，你需要考虑时间跨度，用这个投资项目的回报与别的投资项目进行比较。如果你买了每股27美元的雅培，潜在的回报是6.6%（1.8美元/27美元）。如果整个交易需要6个月完成，那么年化回报率为13.2%。巴菲特会将这个对冲回报与其他的投资机会相比较。
巴菲特也公开承认，这样的风险对冲机会存在亏损的可能。他说：“对于一些特定事件，例如对冲的机会，我们绝对愿意冒一些损失金钱的风险。对于我们实在算不清楚的机会，我们就不参与了。我只参与那些我们能算清账的投资。”16
从这里，我们能清楚地看到巴菲特对风险对冲的判断是主观可能性，在对冲中没有频率分布。每一次交易都是不一样的。每一次交易环境都要求不同的评估。即便如此，在对冲中运用一些理性的数学计算还是很有价值的。当你投资普通股票时，我们将学到的决策过程并无不同。
凯利优化
去赌场赌博，胜算是非常低的。这没有什么可惊讶的，大家都知道赌场具有最佳的胜率。但是有一种游戏，如果玩得好的话，可以给你一个合法的机会战胜赌场庄家，这个游戏就是二十一点。有一本畅销全球的书，名为《战胜庄家：二十一点取胜策略》，作者是爱德华·索普，他是个训练有素的数学家，在书中，他描述了智取庄家的方法。17
索普的策略基于一个简单的概念，当桌上有很多大牌（例如10、人头、A）时，相对于庄家而言，玩家（比如说就是你）便具备了统计学上胜出的优势。玩家可以在心中算牌，如果每遇到大牌就减一分，每遇到小牌就加一分，在脑子里记住这些加加减减的流水账，当计算的数字转为正时，你就知道会有更好的牌出现。聪明的玩家会在最佳机会出现之时，押上他们最佳的赌注。
隐含在索普这本书中的就是凯利投注模型18，而凯利的灵感来自于克劳德·香农信息理论的发明。
作为贝尔实验室的数学家，在20世纪40年代，香农花了很多时间研究通过铜线传输信息的最佳方式，以期减少随机噪声分子的干扰。1948年他在一篇名为《沟通的数学理论》的文章中描述了他的发现。19在文中，提到了通过铜线传导的最佳信息量，被认为是最佳成功概率的数学公式。
几年之后，另一位数学家J.L.凯利读到香农的这篇文章，并意识到这个数学公式可用于人类活动——赌博，这个成功概率的公式可以帮助赌徒提高胜算。1956年，凯利写了文章《信息速率的新解读》，在文中，他指出香农关于不同传递速率和同一事件的不同结果的可能性论述，基本上讲的就是概率，而这个数学公式对于两者都很有用。20
凯利优化公式通常被称为优化成长策略，它基于一个概念，如果你知道你的成功概率，就将资金放在具有利益最大化的赢面上。
其公式是：2p–1=x，这里2乘以赢面的概率（P）减去1等于你的投资比例（x）。
如果打败庄家的概率为55%，你就应该押上10%的筹码以获得赢面的最大化。如果概率是70%，押40%。当然，如果你知道赢面是100%，这个公式告诉你：押上全部资金！
当然，股市比之赌场二十一点要复杂得多，在游戏中，牌的数量是有限的，因而出现各种不同结果的可能也是有限的，而在股市中，有数以千计的上市公司和数以亿万计的投资人，这导致具有无法估量的各种可能性。使用凯利方法要求根据新的信息，不停地进行重新计算和调整，这基本上是不可能的。不过，这个公式的基础概念——可能性的程度与投资规模之间的数学联系——却有着重要的启示。
我相信凯利模型对于集中投资者是个具有吸引力的工具，不过，它只能使认真运用它的人受益。运用该模型是有风险的，投资者必须清醒地认识到它的三个局限：
（1）无论是否使用凯利模型，投资人都应该做好一个长期的打算。虽然二十一点的玩家有机会战胜庄家，但是并不能确保在头几轮就获胜。在投资中也是一样，有多少次，投资人选中了好企业，但市场却不能及时地做出反应。
（2）谨慎使用杠杠。格雷厄姆和巴菲特都极力反对借钱投资股票（包括使用融资账户），在你最需要钱时，反而接到意想不到的电话要求追加资金，这种风险往往发生在市场最为困难的时候。如果你在融资融券账户中使用凯利模型，一旦遇到股市大跌，你可能被迫要卖出所有股票，从而出局，即使你本来具有很高的成功概率。
（3）在玩大概率游戏时，最大的风险就是过度押注。如果你判断有70%的成功概率而实际上仅有55%，你可能面临的风险被称为“赌徒的破产”。使风险最小化的方法是不要过度押注，这被称为“半数凯利模型”或“部分凯利模型”。例如，凯利模型告诉你使用10%的资金，你只用5%（半数凯利模型）。半数或部分凯利模型为投资组合管理提供了安全边际，加上个股挑选上的安全边际，二者合力为投资人提供了双重保护。
由于过度押注的风险过大，我认为投资者，尤其是刚开始运用集中投资策略的初始投资者，可以使用部分凯利模型以减少风险。但不幸的是，减少风险同时意味着减少收益。然而，由于凯利模型的抛物线关系，少量押注的破坏性风险总是好于过度押注。减少50%投资数量的半数凯利模式，仅仅减少25%的潜在收益。
芒格的投注赔率
1994年，芒格接受吉尔福德·巴布科克博士的邀请，为南加州大学商学院的师生们做了一次投资演讲。这次演讲涉及多个话题，包括“获取普世智慧的艺术”，他也解释了关于概率和优化的思考。
他说：“模型简化了股市中所发生的事情，它就像赛马场上的赌注计算系统。如果你停下来想一想，赛马场就是股市，每个人去到那里，然后下注，赔率随着下注的变化而变化，这同样也发生在股市上。”
他继续说：“连傻子都看得出来，一匹具有良好比赛记录、负重轻、占据好位置的赛马，比那些比赛记录平平、负重沉重的赛马，更具胜出优势。但是当你看到赔率时，发现好马的赔率是100：1，而一般的马赔率是3：2，那么从统计学上说，很难说押哪一匹马更有把握。价格、赔率在不断调整，所以战胜系统很难。”21
芒格的赛马比喻对于投资者很有启发，投资人经常被过于乐观的胜算概率所吸引，却因为种种原因未能坚持到终点。甚至有时候，他们在选股时根本没有考虑回报。对于我而言，参与赛马或股市的最明智的方法，是等待具有最佳赔率的良马出现。
心理学的元素
写过赛马方面著作的作家安德鲁·拜尔，曾经用了很多年去观察赌徒的行为，发现很多人是因为浮躁而输钱。在赛马场上，就像赌场里的心态一样，身临其境的人一进去立刻开始手痒：押下筹码、掷出骰子、转轮盘。场内热闹的场面，迫使人们立刻开始愚蠢的行动，没空多想自己在干什么。
拜尔熟悉参与游戏的心理冲动，建议玩家将资金分为游戏资金和重要资金两个部分。认真的玩家将重要资金保留着，直到两个条件出现：
（1）赛马胜出的信心很高时。
（2）回报赔率非常有利时。
重要的下注要求认真的资金。游戏资金不用说了，顾名思义，是满足于那些远远观望心理满足即可的人。游戏资金的比例不应该占据主要部分。
当赌马的人开始混淆主要资金和游戏资金之间的区别之时，拜尔说：他们“就难免向混乱迈出一步，没有重点，没有强弱之间做好选择的平衡。”22
从理论到现实
现在，让我们从赛马场转回到正题，将这些理论转回到现实中的股市，思考的线索是相同的。
（1）计算概率。
你应该考虑这种可能性：长期而言，我选择的这只股票能否跑赢大势？
（2）等待最佳赔率出现。
当你具有安全边际之时，成功的概率在你一边。不确定性越大，你需要的安全边际就越大。在股市上，安全边际体现为折扣价格。当你喜欢的股票股价低于其内在价值之时，那就是买入的信号。
（3）根据最新信息及时做出调整。
当出现好机会时，同时，要保持谨慎地观察公司本身的情况。是否公司管理层开始瞎搞？公司财务决策是否有变化？行业里是否出现了新的竞争对手？如果这样，原来评估的可能性也应该进行相应的调整。
（4）决定投资数量。
