从秦汉到隋唐，中国数学可算是蓬勃发展的，出现了不少数学家与数学著作，数学教育也积极展开。但是与宋元时期相比，后者已把中国的筹算数学发展到了顶峰，在数学的许多领域，宋元数学的成就代表了当时世界数学的水平。其中杰出的数学家和数学成就有：
沈括（1031～1095），其著《梦溪笔谈》26卷（1088年左右），载录了他所发明的“隙积术”和“会圆术”，前者是一种高阶等差级数的求和方法，后者是关于弓形弧长计算的近似方法。
秦九韶（1202～1261），其著《数书九章》18卷（1247），载录了他所创造的“大衍求一术”和“正负开方术”，前者是由《孙子算经》所开创的一次同余式理论的发展，在世界数学史上被称为“孙子剩余定理”；后者是沿着《九章算术》用开方术求二次方程数值解这条脉络，在贾宪（11世纪）的“增乘开方法”基础上发展起来的，这是一个求任意次方程数值解的方法，比同类型的“霍纳法”要早出500多年。
李冶（1192～1279），其著《测圆海镜》12卷（1248）和《益古演段》3卷（1259），载录了他发明的“勾股容圆术”和“天元术”，前者是圆外切直角三角形各种线段间的关系的计算问题；后者是列方程的方法，这是初等代数的核心问题。
杨辉（13世纪），其著《详解九章算法》12卷（1261）、《日用算法》2卷（1262）、《田亩比类乘除捷法》2卷（1275）。其中尤以《详解九章算法》因附有二项式系数三角阵，即所谓的杨辉三角而闻名于世。其实，杨辉自己说这种三角阵出自贾宪书中，原名为“开方作法本源图”，贾宪是用它来进行高次幂开方的。杨辉著作的大部分内容都是民间实用数学的总结，它代表了筹算数学顶峰时期的一个发展方向。
朱世杰（14世纪），其著《算学启蒙》3卷（1299）和《四元玉鉴》3卷（1303），前者属日用算书，后者重理论探求。在《四元玉鉴》中朱世杰将列一元高次方程的天元术，推而广之，提出了列四元高次方程的方法——四元术、又在沈括的“隙积术”和郭守敬等人的“招差术”的基础上，提出了“垛积招差术”——有限差分法的一种形式，著名的有限差分法是1715年由英国数学家泰勒提出的。
总之，宋元时期是中国数学大放异彩的时期，它像一盏灿烂的明灯，表明了世界数学发展的高度。
宋元数学为什么会出现如此盛况，这自然要从宋元社会的特点和中国数学的发展规律中去寻找答案。
就宋元社会来说，它有一个较长时间的相对安定的局面，这有利于社会生产的发展，尤其是以手工业为主体的工业生产的兴起，给科学文化带来积极的影响和推动作用，像雕版印刷的广泛采用，印本数学著作的出现都给数学发展提供了条件。
数学学派的出现是促进宋元数学发展的直接原因。北宋以后中国民间曾多次出现各学术团体，它们各有自己的研究中心，形成具有一定风格的学派。这些学派的中心人物大都是献身数学而不求官职的学者，因此在学术上很有造诣。其中有朱世杰为代表的燕山学派；有杨辉为代表的钱塘学派；有郭守敬、王恂为代表的河北武安紫金山学派；还有李冶为代表的河北元氏封龙山学派。这些学派都曾在中国数学史上独树一帜，作出了杰出的贡献。
宋元数学高峰，也是筹算数学发展的必然趋势。筹算数学从春秋开创以后，曾在解决实际问题过程中得到发展，由于当时实际问题对数学的要求主要是计算方面的，因此筹算数学所能创造的成就的范围基本上也属于计算方面的，有一定的局限性。如同一切事物具有产生、发展及消亡过程一样，筹算在其消亡的前期必然会出现一个顶峰，在它可能获得成就的范围上创造出一个最高的水平。宋元数学高峰以后，筹算数学的发展也就日趋低潮，不久被珠算和西洋数学所代替。
宋元数学所创造的最高成就，并没有得到继承和发展，象天元术、四元术、正负开方术、招差术等，后来很少有人问津，要不是清初有人予以发掘，它几乎成了“绝学”。造成这种结局的原因大致有二点：一是由于中国数学的局限性，即它与社会需要的关系，始终以婢女的身份出现，少有数学自身发展的独立性。更何况中国数学的算法体系压抑了数学发展的内动力——思辨性，即使在自己的体系中也只能得到有限的发展。二是由于筹算制度造成的。筹算所能提供的创造性发展的舞台极为有限，它始终把数学框死在计算这个范围内。严格地说，筹算只是属于算术范畴，数的其他领域它是很难顾及的。筹算成为绝学是必然趋势，只是时间先后问题。
宋元数学的顶峰，除了上面提到的成就之外，还反映在计算技术的改进上。为了适应宋元时期农业、手工业和商业的发展，对数学提出了快速计算的需要，当时曾先后出现了许多乘除捷法和各种歌诀。《宋史·艺文志》著录算书49种，其中除去20种属算经十书及注文外，其余有26种是“求一术歌”、“化零歌”、“算法口诀”、“算法秘诀”之类的内容。元代更是出现了内容丰富的实用算书。
在这股算法实用化的潮流中，杨辉是杰出的代表人物。杨辉浙江杭州人，他一生共发表数学著作5种21卷，如：
①《详解九章算法》12卷（1261）
②《日用算法》2卷（1262）
③《乘除通变算宝》3卷（1274）
④《田亩比类乘除捷法》2卷（1275）
⑤《续古摘奇算法》2卷（1275）
可见杨辉的数学研究的重点是放在改进计算方法上的。
当时计算方法上的改进主要是改进筹算的乘除运算。沈括在《梦溪笔谈》卷十八中说：“算术多门，如求一，上驱，搭因，重因之类皆不离乘除”。“重因”就是化多位乘法为个位乘法；“搭因”和“上驱”疑是属于加法代乘法，与传本《夏侯阳算经》的“身外加几”和杨辉的“身前因法”相当；“求一”就是化乘除数的首位数为1，从而以加减法代乘除法。所有这些都是唐代以后为了适应商业经济的发展而逐渐发展起来的。这些方法不仅在当时的社会实践中发挥了作用，而且也是从筹算过渡到珠算的一座桥梁。
捷法的出现，目的是使运算快速，但这种快速的要求却不可能在筹算中实现。这样，变革筹算就提到日程上来了。筹算乘除捷法出现后，把原来筹算乘除时“三重张位”的情况，改成了在同一横行里演算。乘法，只要列出被乘数和乘数，把被乘数逐步地改变成所求的积数；除法只要列出被除数和除数，把被除数逐步改变成所求的商数。这正是珠算运算时所需要的。另外，实用算法中口诀的应用，也促成算筹转化成串状的算珠，出现了新的算器——珠算盘。
珠算的出现标志着中国的计算技术达到了新的高度，也可以说是中国“经世务用”数学的最高产物吧！
