1961年9月他到前苏联基辅开会。基辅原来是前苏联动力系统学派的中心，在这里，他见到了安德洛诺夫的夫人。安德洛诺夫是最早研究动力系统的拓扑性质的，他首先引进结构稳定的概念。不过前苏联数学家没有掌握当时先进的微分拓扑学的工具，因此建立现代微分动力系统理论的任务就落在斯梅尔身上。
1966年在莫斯科召开的国际数学家大会上，他应邀做1小时全会报告，题目是《微分动力系统》，全文于1969年发表，这篇论文可以说是现代微分动力系统的经典著作，它标志着这个新兴理论分支的诞生。1968年在美国加州召开“大范围分析”会议，动力系统是其中重要的组成部分之一。从这时起，大范围分析成为当前最热门的领域，新人才，新结果，层出不穷。到20世纪70年代，几乎每年都有国际性的动力系统会议召开，这门学科的内容日新月异，发展极快，这显然是与斯梅尔奠基性的工作分不开的。
20世纪60年代后期，西欧、北美学生运动蓬勃兴起，斯梅尔也积极参加这些左翼的运动。从这时起，他的科研方向也从纯理论日益趋于联系实际，并解决一系列问题。他靠自己强有力的纯数学工具，研究力学、统计力学、湍流、生物学等许多问题，尤其是研究数理经济学方面获得许多新方法。他在运筹学方面也有新的突破，这表明他的兴趣逐步转向应用数学及其具体问题。
阿兰·贝克
高斯的名字是众所周知的。他很小就掌握了1＋2＋3＋…＋100的心算法。这是连小学生都津津乐道的关于他童年生活的一个传说。作为十八、十九世纪之间最伟大的数学家，高斯的一大贡献是彻底改变了数论这一学科的面貌。他20岁时写的《算术探究》被誉为开创了数论的一个新纪元。
在当代，也有一位年轻人，人们说他“在数论中引起了自高斯以来最深刻的变化”。他的薄薄的只有128页的著作《超越数论》被认为能与高斯的《算术探究》相媲美。1970年他走上了尼斯国际数学家大会的主席台，成为一名菲尔兹奖的获得者。他就是英国的阿兰·贝克。
贝克是在英国土生土长的。1939年8月19日他生于伦敦，童年时期生不逢时，正值第二次世界大战时期，整个伦敦被希特勒的飞机炸得天昏地暗。
战后，贝克顺利就学，在结束了中等教育之后，于1958年进入大学。
贝克先是在伦敦大学学院学习，1961年又到剑桥三一学院求学。英国的数论开山祖哈代虽然早已辞世，但伦敦、剑桥两地的数论学派仍然号称一世之雄：达文泡特先后坐镇剑桥、伦敦，罗斯因丢番图逼近的工作得到1958年菲尔兹奖。贝克对数论研究的兴趣，可以肯定地说受到了这个学派的深刻影响，而贝克到剑桥，正是做了达文泡特的研究生。
当时五十多岁的达文泡特，是英国现代数论学派承前启后的人物。他和世界上许多主要的数论工作者交往密切，又为英国培养了一代又一代的年轻数学家。但是在他的所有学生里，贝克跟随他的方式多少有点奇怪：贝克大部分时间是自闯天地，只是不时把一些写好的论文让达文泡特过目。照其他的内行人看来，贝克实际上受达文泡特的影响不大，对贝克影响很深的倒是马勒——一个在纳粹时期从德国流亡到英国的数论学家。
但是达文泡特还是为有这么一个学生而高兴。因为从1962年起，特别是1966年以后，贝克像魔术师一样把一个又一个重要成果拿了出来，使得“观众”目瞪口呆。截至1974年为止，他发表的重要论文已不下40篇，而人们还一点估计不出这个青年数学家还会再走多远。
数论，是一个极其古老的分支。留至现代的一大批未解决的数论问题，至少都经历过无数学者几百年的求索而不得其解，这些果子的坚硬程度可想而知。数论的方法虽然越来越精巧，但要提出一些崭新的思想却绝非易事，这块园地已被耕耘过无数遍了。
但是贝克在这十年多的时间里，解决了数论中十几个历时已久的困难问题，范围涉及超越数论、不定方程、代数数论。概括一下，他的贡献是给出了一种“有效方法”。
“有效”是什么意思？让我们举不定方程为例。一个方程如果未知数多于一个，而又只考察其整数解的话，这个方程就称为不定方程，又称丢番图方程。对于这种方程，二千多年来人们虽然发展了许多精巧的方法，但所解决的问题却仍然十分零散，很少有关于一类方程的统一解法。数学家们对于这样一个一个地攻克堡垒的方式早已厌烦，很自然地会提出，会不会有一种普遍适用的方法，能在有限步运算下决定一个不定方程是否有解？这就是著名的希尔伯特第十个问题。可以说，20世纪的不定方程论其重点是寻求一般的解法。
对于希尔伯特第十个问题，1970年前苏联的马蒂雅斯维奇利用美国数学家罗宾逊、戴维斯和普特南的工作结果给出了否定的解决，就是说能够用于一切不定方程的判定方法是不存在的。这个结果轰动一时。虽然没有一种方法可以适用于解一切不定方程，但就一类方程来讲还是有一些一般的结果。
事实上1909年，瑟厄就给出过一个最早也是最有名的一般性定理：“任何二元整系数不可分解齐次多项式f（x，y）构成的方程f（x，y）=m，只有有限组解。”可以看出，由于（X，y）的限制较少，这个定理确实概括了一批不定方程的解的性状。
但是瑟厄和随后的西格尔定理、罗斯定理都有一个致命的弱点，就是没有办法有效计算。贝克正是突破了这一点。比如说，对于瑟厄定理，贝克进一步证明了这有限个解（x，y）都满足max（｜x｜，｜y｜）＜ce（logm）k，其中k＞f（x，y）的次数。而最重要的是，c是可以有效算出的。也就是说，对于二元方程，贝克肯定地解决了希尔伯特第十个问题。
贝克的所有工作都是从超越数论开始的。其核心是一个线性型定理。
什么是超越数？简单地说，一个实数如果不是代数方程的根就称为超越数，反之，就称为代数数。古希腊三大作图难题之一“化圆为方”问题，正是由于证明了π的超越性而宣告不可用尺规完成。e，π的超越性获证是19世纪中超越数论的代表成就。20世纪30年代时，前苏联的盖尔芳德和德国的施奈德各自独立地解决了希尔伯特第七个问题的后一半：对于任意代数数a（≠0，1）和任意代数无理数β（≠0），aB是超越数。他俩建立的这座超越数论的丰碑，使得后来的30年里，没有任何成果可以超出其右。人们意识到，老方法已经用尽，得寻觅新路了。
新路就是贝克走出来的。他在20世纪60年代里得出了一系列关于代数数对数的线性型的定理。我们可以看看其中典型的一个：a1，a2，…，an，（a≥1）是非0代数数，loga1，loga2，…，logan在有理数域上线性独立，令β0，…，βn是不全为0的满足一些条件的数，那么对任何k＞n＋1，有｜β0＋β1loga1＋β2loga2＋…＋βnlogan｜＞ce-（logH）h，其中c是可以有效计算的。
定理叙述不甚艰深，证明却极为困难，而用途也异常广泛。应用这一套定理和方法，贝克在数论的各个分支里取得了辉煌的成果，例如（1）不定方程方面。除前述之外，比较著名的有定出了y2=x3＋k（k≠0）整数解的上界。
（2）超越数论方面。证明了如果a1，a2，…，an是代数数（非0或1）；β0，β2，…，βn是线性独立的代数无理数，则eβ0aβ11…aβnn是超越数。
这就是使得盖尔冯德的结果成为简单的特例。
（3）二次数域方面。解决了高斯时代留下的一个老问题，肯定了类数为1的虚二次数域只有九个。
任何一个数学家，只要解决了上述问题中的一个，20世纪的数学史就得提到他的名字。而贝克却一下子做了十几项这样的工作。
无怪乎1970年的菲尔兹奖要授予他。他的老师逝世之前就知道了贝克将被提名，显得特别高兴。可惜达文泡特1969年就逝世了，没有亲眼见到贝克的获奖。
贝克从1964年起就是剑桥三一学院的研究员。他使得这个古老大学的数学传统增添了生气。1973年贝克成为皇家学会会员，1975年贝克得到了亚当斯奖，直接原因就是本文开头时提到的那本薄薄的《超越数论》。
《超越数论》总结了他自己十几年的研究成果，但贝克本人认为，这本书毋宁说是对于本世纪来这个分支发展情况的一个总汇。在序言里贝克写了这么一段话，从中可以看出他的风度与抱负：
“尽管它（指超越数论）有悠久的历史，但还是青春焕发。通过更深入的研究，许多课题必将取得进展，同时还有一些著名问题仍待解决。作为例子，我们只要提一下e，π的代数独立性和欧拉常数Y的超越性这几个著名的猜想就行了。这些猜想中的任何一个如果获得解决，都将标志着巨大的进展。如果这本书能对促进未来的发展起到一点微小的作用，那么作者也就感到满足了。”
曼福特
1974年8月下旬，在加拿大西海岸温哥华市召开的第17届国际数学家大会举正在行。采访大会消息的记者当然对于大会的新闻人物——菲尔兹奖获得者很感兴趣，他们采访了曼福特，请他尽可能通俗地介绍自己的工作，他耸耸肩膀说：“真没法说清楚。”
是啊，中学生也知道什么是代数，什么是几何，可是代数和几何凑在一起——代数几何就不那么简单了。曼福特搞的代数几何学是如此艰深，使许多大数学家都望而生畏。第二次世界大战之后，代数几何学突飞猛进，日新月异，成为众多主要数学分支的交会点。有三分之一以上的菲尔兹奖获得者先后对代数几何学做出过贡献，曼福特就是其中的一位。
曼福特于1937年6月11日出生在英国撒塞克斯郡，很早就去美国读书。
他不像其他美国数学家那样，在这所大学上学，在另一所大学当研究生，再到其他几所大学任教，换了几个地方之后，最后才稳定下来。曼福特则不同，他从16岁考上哈佛大学之后，就同这所名牌大学结下了不解之缘。哈佛大学不仅是美国的代数几何学中心，也是世界的中心。老一代的大师查瑞斯基对于现代代数几何学的贡献极大，他在哈佛培养起一代新人。这位德高望重的数学家十分欣赏曼福特及广中平，说他们是哈佛的台柱。这话并非言过其实。曼福特20岁大学毕业，1961年取得博士学位后继续留在哈佛任教，1967年任正教授至今。
曼福特的主要工作是参模理论。参模原是著名德国数学家黎曼引进的概念，他把彼此保角等价的黎曼面作成一个等价类，可用一组参数表示，不同的参数组代表互不保角等价的类，互不等价的类就是参模。从代数几何学的角度来看，紧黎曼面是代数曲线，其参模是代数簇。曼福特的工作就是研究参模这个代数簇的整体结构。
在研究过程中，曼福德创造性地应用不变式论。不变式论是19世纪代数学的一个分支，自从伟大数学家希尔伯特在19世纪的杰出工作之后，代数不变式理论的问题被认为已完全解决，从而这门学科已经寿终正寝。可是曼福特再一次使不变式论起死回生，他研究不变式论的几何意义，按照希尔伯特的一个想法，考虑参模问题的“稳定”对象。这导致许多新结果，由此出现了一门新学科——几何不变式论。1965年，他出版了《几何不变式论》，从此掀起研究不变式论的新热潮。
在参模这种代数簇上往往有奇点，为了使参模的整体性质更清楚，需要加以“紧化”，曼福特发展了“环式嵌入”的方法，从而使问题大大简化。
