如果上述例子仍不足以解释相对论，还有一种办法可以帮助我们理解，那就是试图理解更难的非欧几何学。直到十八世纪末十九世纪初，几何领域仍然是欧几里得一统天下，笛卡尔的解析几何只是改变了几何研究的方法，并使牛顿和莱布尼兹发明的微积分学表述得更加清晰，却没有从本质上改变欧氏几何本身的内容。欧氏几何赖以存在的前提中有这么一条不那么自明的假设，即“过直线外一点能且只能作一条直线与已知直线平行”，也就是所谓的“第五公设”。这个暧昧的假设引起了数学家的广泛关注，其中大多数人试图证明它，也有的沿着不同的方向，即试图给出相反的假设。
俄国人罗巴切夫斯基就是一个叛逆性的人物，1826年，他在偏远的喀山（那里离开哈萨克斯坦比莫斯科更近一些）大学发表了非欧几何学的第一篇论文，正是在假定“过直线外一点可以引至少两条直线与已知直线平行”的基础上。可是，由于语言的隔膜和交通的不便，这项成果将近十年以后才传递到西欧，几乎就被匈牙利数学家鲍耶抢了先。1854年，德国数学家黎曼发展了罗氏理论而建立起更广泛的非欧几何学，他引进了流形曲率的概念，在三维常曲率空间里有三种情况，即曲率为正常数，零或负常数。后面两种情形分别对应于欧氏几何和罗巴切夫斯基几何，而第一种几何是黎曼本人的创造，它意味着“过直线外一点不能引任何直线与已知直线平行”。
至此，有关非欧几何学的含义就变得比较明晰了，多年以后，庞加莱等人又先后在欧氏空间中给出非欧几何的直观模型，从而揭示出非欧几何的现实意义。无论是欧氏几何还是非欧几何，都存在任意有限维的甚至无限维的空间，庞加莱为物理学家提供了那个以时间为第四维的四维空间，可以看作是非欧几何学的一个特例。闵可夫斯基进一步指出，在这个四维度量空间的长度计算公式里，第四维时间t的平方前面需要加一个负号。这个公式是如此美妙，爱因斯坦的一位同事、物理学家马克斯·玻恩这样感叹，“从那以后，所有的理论物理学家每天都在使用它。”总之，在广义相对论里，空间和时间变成了一种四维结构，只不过这个四维结构的形状被其中的大质量物体扭曲了。这样一来，宇宙就由一块刚性的铁板变成了一个弹性的垫子。
1854年，即黎曼拓展非欧几何学的那一年，庞加莱出生在法国东北部名城南锡的一个显赫家族，他的父亲是一位著名的医生，他的一位堂弟在第一次世界大战期间曾出任法兰西第三共和国总统，另一位堂弟曾任大众教育和美术部长。庞加莱的超常智力不仅使他接受知识极为迅速，同时拥有一副流利的口才，并从小得到才华出众的母亲的教导，却不幸在五岁时患上白喉症，从此变得体弱多病，不能顺利地用口语表达思想。但他依然喜欢各种游戏，尤其是跳舞，他读书的速度也十分惊人，且能准确持久地记住读过的内容。小庞加莱擅长的科目包括文学、历史、地理、自然史和博物学，他对数学的兴趣来得比较晚，大约开始于15岁，不过很快显露出非凡的才华。
19岁那年，庞加莱第二次赢得全法国中学生数学竞赛一等奖，被保送到巴黎的综合工科学校，从此离开了自己的故乡。虽然庞加莱从未在南锡念过大学，但那里的最高学府（建于1572年）却以他的名字命名。我国数学家华罗庚获得的第一个学位便是这所大学授予的荣誉博士学位，那是在上个世纪七十年代末期。2002年春天，我有幸在亨利·庞加莱大学的卡当研究所访问了三个月，不仅了解到庞加莱的父亲曾是这所大学医学院的教授，也对南锡这座绿草如茵的小城留下美好的记忆，十二世纪以来她就是洛林王朝的都城。庞加莱从综合工科学校毕业后进入高等矿冶学院，几年后获得采矿工程师的资格，可是他却醉心于数学，继续攻读科学博士学位，再后来，他成了巴黎大学数学和天文学的终生教授，并在母校综合工科学校拥有类似的职位。
庞加莱从未在一个研究领域作过久的逗留，一位同僚戏称他是“征服者，而不是殖民者”。即使在数学和相对论以外，他的贡献也难以胜数：光学、电学、电报、弹性力学、热力学、量子论、势论、毛细现象、宇宙起源，等等。从某种意义上讲，整个数学都是庞加莱的领域，但他对拓扑学的贡献无疑最为重要。以他名字命名的猜想提出已经整整一百年了，并被悬赏一百万美元，可是至今仍无人认领。这个猜想说的是，任意三维的单连通闭流形必与三维球面同胚。（有意思的是，这个猜想的推广，即四维和四维以上的情形倒是被两位美国数学家分别证实，并先后获得菲尔茨奖。）由于庞加莱猜想理解起来不如哥德巴赫猜想或费尔马大定理来得容易，因此虽然它的价值非常之高，却少有业余爱好者问津。*
庞加莱的哲学著作除了《科学与假设》以外，具有重大影响的还有《科学的价值》、《科学方法论》。他是唯心主义的约定论哲学的代表人物，认为公理可以在一切可能的约定中进行选择，但需以实验事实为依据，避开一切矛盾。同时，他反对无穷集合的概念，反对把自然数归结为集合论，认为数学最基本的直观是自然数，这使他成为直觉主义的先驱者之一。正是由于这些成就的取得才使庞加莱既当选为法兰西科学院的院士（后成为院长），又当选为法兰西学院的院士，他同时处身于科学和人文两座金字塔的塔尖。庞加莱相信艺术家和科学家之间创造力的共性，相信“只有通过科学与艺术，文明才体现出价值”。
庞加莱给世人的印象是，留着胡子，戴着金丝眼镜，神态庄重。从气质上讲，我认为他与稍后的同胞画家马蒂斯、作曲家德彪西比较接近，他对哲学、文化领域的关注和贡献则延续了帕斯卡尔、笛卡尔这些前辈同行的传统。庞加莱被认为是一位法语散文大师，其哲学著作在各界人士中拥有广泛的读者。同样以文字见长的英国哲学家，长期引领英伦学术界、思想界的伯特兰·罗素也曾经谈到，庞加莱是二十世纪初法兰西最伟大的人物。当他在巴黎初次拜访这位数学奇才时，“舌头一下子失去了功能，直到费了一些时间（大约有两、三分钟），仔细端详和承受可谓他思想的外部形式的面貌和神采时，我才发现自己能够说话了。”
可是，每个人都有他的时代局限性，虽然庞加莱对相对论做出了不可磨灭的贡献，但直到去世他都没有完全接受狭义相对论，这也是让爱因斯坦永远感到遗憾的一件事。1911年万圣节，也是庞加莱生命中的最后一个冬天，他和爱因斯坦在布鲁塞尔举行的一次光学会议上首次得以相见。虽然庞加莱没有明说，但爱因斯坦敏感地意识到了，他非常失望地告诉友人，“庞加莱（对相对论）基本上持否定态度。”尽管意见不一致，但会议一结束，庞加莱就应爱因斯坦的请求给他的母校——瑞士联邦工业大学写了一封推荐信，“爱因斯坦先生是我所见过的最具创新精神的思想家之一……”次年夏天，庞加莱穿衣时脑血栓梗塞逝世于巴黎，爱因斯坦则返回苏黎世做上了教授。
2004年2月，杭州
庞加莱猜想最终被俄罗斯数学家佩雷尔曼证明，他也因此获得了菲尔兹奖（2006）。
