如图，先取以AD为直径的特殊的内接四边ABCD。设AD、AB、AC已知，则CD、BD利用勾股定理很易求出。这样，图中6个长度已知5个，故利用托勒玫定理可求出第六个长度BC，但BC=AC-AB，所以若两弧的弦是已知时，便可算出两弧之差的弦。托勒玫还指出怎样从圆的任意一给定的弦，求出相应半弧所对的弦；怎样从AB的弦和BC的弦，求出AC的弦，实质上托勒玫已经得到与下列公式sin2x+cos2x=1，sin（x-y）=sinxcosy-cosxsiny，cos（x+y）=cosxcosy=sinxsiny，sin2x2=12（1-cosx）等价的关系。
托勒玫利用圆内接正五边形和正十边形的边长推导对36°弧和72°弧的弦长；从72°弧的弦和60°弧的弦，利用差角公式算出对12°弧的弦长；从12°弧的弦平分数次得出对（34）°弧的弦。因此，他能给任一已知弦所对的弧加上（或减去）（34）°弧，计算这样两段弧之和（或差）所对的弦值。这样他能算出两个相差（34）°的所有弧所对的弦值。后来，他利用不等式来推理，得出了从0°到90°每隔半度的弦表。这就是第一个三角函数表。
公元5世纪印度数学家阿利耶毗陀对三角学贡献很大，制作了一个正弦表。他依照巴比伦人和希腊人的习惯，将圆周分为360度，每度为60份，整个圆周分为21600份，再由2πy=21600，可得半径λ=3437746（他知道圆周率π的近似值31416，人们推测这是从中国流传到印度的）。略去小数部分，取近似值λ=3438，依此计算第一象限内每隔3°45′的正弦长。他的方法是用勾股定理算出特殊角30°，45°，60°，90°的正弦，如sin30°=1719个单位，sin45°=2431个单位（这里把λ作为3438个单位），然后再用半角公式计算较小角度的正弦。
印度人的正弦表比希腊人的弦表有所改进，他们是计算半弦（相当于现在的正弦线）而不是全弦的长。
本来，在印度文中，半弦是猎人的弓弦的意思。后来印度的书大量译成阿拉伯文，辗转传抄，意思搞错了。12世纪时，意大利人柏拉图又将这个字译成拉丁文“sinus”，它和当初印度人弓弦的意义已相差很大。
1631年邓玉函和汤若望等人编的《大测》一书，将sinus译为“正半弦”和“前半弦”，简称为“正弦”，这是我国“正弦”这一术语的由来。
中亚细亚的著名天文家阿尔·巴坦尼在三角方面也有很大贡献，他曾著《星的科学》一书，书中有很多三角内容。
阿尔·巴坦尼树立一根杆子在地上，求日影b，以测定太阳的仰角。阴影b的拉丁译名叫做“直阴影”，而水平插在墙上的杆子投影在墙上的影叫“反阴影”。“直阴影”后来变成“余切”，“反阴影”变成正切。公元920年左右，阿尔·巴坦尼造出自0°到90°每相隔1°的余切表。
稍后，中亚细亚的另一位著名天文学家、三角学者阿布尔·威发计算了每隔10′的正切表。14世纪末叶，贴木儿帝国的兀鲁伯（贴木尔的孙子）在撒马尔罕建立一座当时世界上规模最大的天文台。他聚集了100多名学者，组织无与伦比的天文观测和数学用表的计算。他造了0到45°之间每隔1′、45°到90°之间每隔5′的正切表。
14世纪时，欧洲早期的三角学者、英国人布拉瓦丁开始将正切和余切引入三角计算中。
16世纪时，伟大的天文学家哥白尼的学生利提克斯见到当时天文观测日益精密，迫切需要推算详细的三角函数表，并花费了大量时间来推算正弦、正切及正割表。可惜，他未能在生前完成，直到1596年才由他的弟子完成，公布于世。
现代三角函数表是后来经过多次改进、演变而成的。
神奇的黄金分割的发现
“黄金”象征着贵重，黄金分割有着广泛的应用。毕达哥拉斯学派对五星图怀有特别的敬意，他们把五星图作为学派的章。传说，他们有条“帮规”，凡毕氏学派成员都要佩带五星图的纪念章，人们推测，可能是因为他们掌握了正五边形和五星图的作图方法引以自豪。
毕氏学派在研究五星图的过程中，发现了五星图的一种奥秘：在正五边形中，相邻顶点的两条对角线（也就是五星图的两条边）互相将对方分割成一长一短两部分，它们满足一种和谐的关系式：
全线段：较长的=较长的：较短的，而且较长的一段正好等于正五边形的边长。
如图：AC与BE相交于G，互相将对方分割成一长一短两部分，我们不难看出：
等腰△AEB～等腰△FEA
∴EB∶EA=EA∶EF
又因为EA=EG，EF=GB
∴EB∶EG=EG∶GB
同理可证CA∶CG=CG∶GA
这样，毕氏学派发现了线段的一种“奇妙分割”法，如图，在线段AB上取一点P，把AB分成AP、PB两段，且满足AB∶AP=AP∶PB他们采用如下几何方法将线段AB进行这种分割：
以AB为一边作正方形ABCD，取AD的中点为E，延长DA至F，使EF=EB。作正方形AFGP，则点P即为所求的“奇妙分割”的分点（读者不难自己证明）。
数学史家推测，毕氏学派画五星图就是以这种“奇妙分割”作依据的。
大约在毕达哥拉斯之后150多年，古希腊数学家欧多克斯深入研究了上述“奇妙分割”。欧多克斯是柏拉图的学生，对天文、几何、医学和法律等方面都做出不少贡献。在数学方面，他最大的功劳是，创立了比例论。欧几里得《几何原本》第五卷《比例论》大部分是引用了欧多克斯的成果。欧多克斯的比例论完全排除了毕达哥拉斯的限制，把可公度线段的比与不公度线段的比都包括在内。他从比例论的角度研究毕氏学派的“奇妙分割”，并把这样分割中较短线段与较长线段之比叫做“中外比”。因为点P将AB分成两部分，其中较长部分是全线段与较短部分的比例中项。欧多克斯发现这种线段之间的中外比例关系存在于许多图形中。最有趣的是，五星图中的每一条线段，都跟比它稍长的那条线段形成“中外比”。欧多克斯避免把无理数当作数，他不用数表达比。对于线段长度、角的大小及其他的量和量的比，都避免给予数值。因此，他没有给出“中外比”的数值。
文艺复兴时期的欧洲，由于绘画艺术的发展，促进了对“奇妙分割”的研究。当时，出现了好几位身兼几何学家的画家，著名的有帕奇欧里、丢勒、达·芬奇等人。他们把几何学上图形的定量分析用到一般的绘画艺术，从而给绘画艺术确立了科学的理论基础。
1525年丢勒制定了一种绘图的比例法则，其间揭示了中外比在绘画中的重要地位。丢勒认为，在所有矩形中，短边与长边满足中外比的矩形最美观。因为这样的矩形，“以短边为边，在这个矩形中分出一个正方形后，余下的矩形与原来的矩形相似，仍是一个服从中外比的矩形”，这使人们产生一种“和谐”的感觉。帕奇欧里首先把“中外比”称为“神圣比例”。并在1509年出版的《神圣比例》一书中论述了它，中外比被披上了神秘的外衣。后来达·芬奇把欣赏的重点转到使线段构成中外比的分割，而不是中外比本身，提出了“黄金分割”这一名称。
黄金分割中的分点叫做“黄金分割点”。“中外比”又叫“黄金比”，从古希腊直到现在都有人认为这种比例在造型艺术中有美学价值。如工艺美术或日用品的长和宽的设计中常用这比例，舞台上的报幕员站在舞台宽度的黄金分割点的位置时最美观、最佳；古代的不少建筑物，其高与宽的比也是黄金比。在中世纪，黄金比被作为美的信条而统治着当时欧洲的建筑和艺术。
自从无理数被确认后，人们有可能给出黄金比的数值。
设AB=l，AP=a，则PB=l-a
∵ABAP=APPB，∴la=al-a
∴a3+al-l2=0
∴a=5-12l（考虑到a＜l）
可见黄金比APAB=PBAP=5-12。人们把这个数5-12叫做“黄金数”。前面我们已经看到黄金数与斐波那契数有关，它还与优选法有关。优选法中普遍常用的方法是0.618法，所谓0.618就是黄金5-12的近似值，因此，0.618法也称为黄金分割法。
现代医学研究还表明，黄金比对人们自我保健有重要作用：人生存的最佳气温约23℃，它恰巧是正常体温（37℃）的0.618倍；吃饭最好只吃六、七成饱；摄入的饮食最好是“六分粗，四分精”；运动与静养的比例关系最好是“四分动，六分静”。
拓扑学的发现
哥尼斯堡有一条河，叫勒格尔河。这条河上，共建有七座桥。河有两条支流，一条叫新河，一条叫旧河，它们在城中心汇合。在合流的地方，中间有一个小岛，它是哥尼斯堡的商业中心。
哥尼斯堡的居民经常到河边散步，或去岛上买东西。有人提出了一个问题：一个人能否一次走遍所有的七座桥，每座只通过一次，最后仍回到出发点？
如果对七座桥沿任何可能的路线都走一下的话，共有5040种走法。这5040种走法中是否存在着一条既都走遍又不重复的路线呢？这个问题谁也回答不了。这就是著名的“七桥问题”。
这个问题引起了著名数学家欧拉的兴趣。他对哥尼斯堡的七桥问题，用数学方法进行了研究。1736年欧拉把研究结果送交彼得堡科学院。这份研究报告的开头是这样说的：
“几何学中，除了早在古代就已经仔细研究过的关于量和量的测量方法那一部分之外，莱布尼兹首先提到了几何学的另一个分支，他称之为‘位置几何学’。几何学的这一部分仅仅是研究图形各个部分相互位置的规则，而不考虑其尺寸大小”。
从欧拉这段话可以看出，他考虑七桥问题的方法是，只考虑图形各个部分相互位置有什么规律，而各个部分的尺寸不去考虑。
欧拉研究的结论是：不存在这样一条路线！他是怎样解决这个问题的呢？按照位置几何学的方法，首先他把被河流隔开的小岛和三块陆地看成为A、B、C、D四个点；把每座桥都看成为一条线，这样一来，七桥问题就抽象为由四个点和七条线组成的几何图形了，这样的几何图形数学上叫做网络。于是，“一个人能否无重复的一次走遍七座桥，最后回到起点？”就变成为“从四个点中某一个点出发，能否一笔把这个网络画出来？”欧拉把问题又进一步深化，他发现一个网络能不能一笔画出来，关键在于这些点的性质。
如果从一点引出来的线是奇数条，就把这个点叫奇点；如果从一点引出来的线是偶数条，就把这个点叫做偶点。如左图中的M就是奇点，N就是偶点。
欧拉发现，只有一个奇点的网络是不存在的，无论哪一个网络，奇点的总数必定为偶数。对于A、B、C、D四个点来说，每一个点都应该有一条来路，离开该点还要有一条去路。由于不许重复走，所以来路和去路是不同的两条线。如果起点和终点不是同一个点的话，那么，起点是有去路没有回路，终点是有来路而没有去路。因此，除起点和终点是奇点外，其他中间点都应该是偶点。
另外，如果起点和终点是同一个点，这时，网络中所有的点要都是偶点才行。
欧拉分析了以上情况，得出如下规律：
一个网络如果能一笔画出来，那么该网络奇点的个数或者是2或者是0，除此以外都画不出来。
由于七桥问题中的A、B、C、D四个点都是奇点，按欧拉的理论是无法一笔画出来的，也就是说一个人无法没有重复地走遍七座桥。
欧拉对哥尼斯堡七桥的研究，开创了数学上一个新分支——拓扑学的先声。
奇妙的数与形
毕达哥拉斯不仅知道奇数、偶数、质数、合数，还把自然数分成了亲和数、亏数、完全数等等。他分类的方法很奇特，其中，最有趣的是“形数”。
什么是形数呢？毕达哥拉斯研究数的概念时，喜欢把数描绘成沙滩上的小石子，小石子能够摆成不同的几何图形，于是就产生一系列的形数。
毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1、3、6、10等数时，小石子都能摆成正三角形，他把这些数叫做三角形数；当小石子的数目是1、4、9、16等数时，小石子都能摆成正方形。他把这些数叫做正方形数；当小石子的数目是1、5、12、22等数时，小石子都能摆成正五边形，他把这些数叫做五边形数。
这样一来，抽象的自然数就有了生动的形象，寻找它们之间的规律也就容易多了。不难看出，头四个三角形数都是一些连续自然数的和。3是第二个三角形数，它等于1+2；6是第三个三角形数，它等于1+2+3；10是第四个三角形数，它等于1+2+3+4。
看到这里，人们很自然地就会生发出一个猜想：第五个三角形数应该等于1+2+3+4+5，第六个三角形数应该等于1+2+3+4+5+6，第七个三角形数应该等于……这个猜想对不对呢？
