“算”字在中国的古意也是“数”的意思，表示计算用的竹筹。中国古代的复杂数字计算都要用算筹。所以“算术”包含当时的全部数学知识与计算技能，流传下来的最古老的《九章算术》以及已经失传的《算术》（许商）和《算术》（杜忠），就是讨论各种实际的数学问题的求解方法。现在拉丁文的“算术”这个词是由希腊文的“数和数数的技术”变化而来的。
最早的数学──算术
中国古代数学称为“算术”，其原始意义是运用算筹的技术。这个名称恰当地概括了中国数学的传统。筹算不只限于简单的数值计算，后来方程所列筹式描述了比例问题和线性问题；天元、四元所列筹式刻画了高次方程问题。等式本身就具有代数符号的性质。
中国数学的传统活力
对于中国数学中的程序化计算，最近越来越多地引起了国内外有关专家的兴趣。有人形象地把算筹比喻为计算机的硬件，而表示算法的“术文”则是软件。可见中国数学传统活力源远流长。
算数是怎么产生的
把数和数的性质、数和数之间的四则运算在应用过程中的经验累积起来，并加以整理，就形成了最古老的一门数学──算术。
关于算数的产生，还是要从数谈起。数是用来表达、讨论数量问题的，不同类型的量，也就随着产生了各种不同类型的数。远在古代发展的最初阶段，由于人类日常生活与生产实践中的需要，在文化发展的最初阶段就产生了最简单的自然数的概念。
算术的发展
在算术的发展过程中，由于实践和理论上的需求，提出了许多新问题，在解决这些新问题的过程中，古算术从两个方面得到了进一步的发展。
一方面在研究自然数四则运算中，发现只有除法比较复杂，为了寻求这些数的规律，出现了一个新的数学分支，叫做整数论。
另一方面，在古算术中为了能找到更为普遍适用的方法来解决各种应用问题，于是发明了抽象的数学符号，从而发展成为数学的另一个古老的分支，也就是初等代数。
《九章算术》的意义
在古代，算术是数学家研究的对象，而现在已变成了少年儿童的数学。
标志着中国古代数学体系形成的《九章算术》，由246个与实际生活密切相关的应用题及其解法所构成，分为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股等九章，内容涉及初等数学中的算术、代数、几何等，包括分数概念及其运算、比例问题的计算、开平方和开立方的运算、负数概念、正负数加减运算、一次方程的解法等。
穿越时空的“十进制”计数法
中国是世界上最早使用“十进位值制”计数法的国家。一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万……是中国十进数制的基础。
最古老的计数器
我们每个人都有两只手，十个手指，除了残疾人与畸形者。那么，手指与数学有什么关系呢？我们常看见家长教孩子学数数时伸出了手指，大概所有的人都是这样从手指与数字的对应来开始学习数数的吧。手指可是人类最方便也是最古老的计数器。
穿越时空的隧道
让我们穿越时间隧道回到几万年前吧，那里有一群原始人正在向一群野兽发动大规模的包围攻击。只见石制的箭镞与石制投枪呼啸着在林中掠过，石斧上下翻飞，被击中的野兽在哀嚎，尚未倒下的野兽则拼命奔逃。这场战斗一直延续到黄昏。晚上，原始人在他们栖身的石洞前点燃了篝火，他们围着篝火边唱边跳，庆祝胜利，同时把白天捕杀的野兽抬到火堆边点数。他们是怎么点数的呢？用“随身计数器”——手指吧，一个，两个……每个野兽对应一根手指。等到十个手指用完，怎么办？先把之前数过的十个放在一起，拿一根绳，在绳上打一个结，表示“手指这么多的野兽”（即十只野兽）。再从头数起，又数了十只野兽放在一起，再在绳上打个结，依次类推。这天，他们简直是大丰收，很快就数到跟“手指一样多的结”了。于是换第二根绳继续数下去。假定第二根绳上打了3个结后，野兽只剩下6只。那么，这天他们一共猎获了多少野兽呢？1根绳又3个结又6只，用今天的话来说，就是：1根绳=10个结，1个结=10只。所以1根绳3个结又6只=136只。
你看，“逢十进一”的十进制就这样应运而生。而现在世界上几乎所有的民族都采用了十进制。
其他计算法
过去的许多民族也曾用过别的进位制，比如二十进制，玛雅人、美洲印第安人和格陵兰人都用过这种进制。它们用“一个人”代表20，“两个人”代表40。而公元前3世纪闪族发明的六十进制是以60为基数的进位制，后传至巴比伦，流传至今仍用作记录时间、角度和地理坐标。
整数的诞生
公共汽车上，有一位年轻的妈妈抱着她的小宝宝坐在车窗边，她正在教她的小宝宝数数呢。她伸出一个手指问：“这是几呀？”正在咿呀学语的小孩望了望妈妈，答道：“一。”妈妈伸出了两个手指问：“这是几呀？”小孩想了想答道：“二。”妈妈又伸出三个手指，小孩犹豫了好一阵，回答：“三。”再伸四个手指时，小孩答不出来了。在这个小孩看来，那些手指实在太多了，他已经数不清了。其实，能数到三，对一个黄口孺子来说，已经很不简单了。
自然数的产生
自然数是在人类的生产和生活实践中逐渐产生的。人类认识自然数的过程是相当漫长的。在远古时代，人类在捕鱼、狩猎和采集果实的劳动中产生了计数的需要。起初人们用手指、绳结、刻痕、石子或木棒等实物来计数。例如表示捕获了3只羊，就伸出3根手指；用5个小石子表示捕捞了5条鱼；一些人外出捕猎，出去1天，家里的人就在绳子上打1个结，用绳结的个数来表示外出的天数。这样经过较长时间，随着生产和交换的不断增多以及语言的发展，渐渐地把数从具体事物中抽象出来，先有数目1，以后逐次加1，得到2、3、4……这样逐渐产生和形成了自然数。因此，可以把自然数定义为，在数物体的时候，用来表示物体个数的1、2、3、4、5、6……叫做自然数。自然数的单位是“1”，任何自然数都是由若干个“1”组成的。自然数有无限多个，1是最小的自然数，没有最大的自然数。
“精确”的概念
要知道，学会数数，那可是人类经过成千上万年的奋斗才得到的结果。如果我们穿过“时间隧道”来到二三百万年前的远古时代，和我们的祖先——类人猿在一起，我们会发现他们根本不识数，他们对事物只有“有”与“无”这两个数学概念。类人猿随着直立行走使手脚分工，通过劳动逐步学会使用工具与制造工具，并产生了简单的语言，这些活动使类人猿的大脑日趋发达，最后完成了由猿向人的演化。这时的原始人虽没有明确的数的概念，但已由“有”与“无”的概念进化到“多”与“少”的概念了。“多少”比“有无”要精确。这种概念精确化的过程最后就导致“数”的产生。
“结绳记事”与符号的出现
上古的人类还没有文字，他们用的是结绳记事的办法（《周易》中就有“上古结绳而治，后世圣人，易之以书契”的记载）。遇事在草绳上打一个结，一个结就表示一件事，大事大结，小事小结。这种用结表事的方法就成了“符号”的先导。长辈拿着这根绳子就可以告诉后辈某个结表示某件事。这样代代相传，所以一根打了许多结的绳子就成了一本历史教材。本世纪初，居住在琉球群岛的土著人还保留着结绳记事的方法。而我国西南的一支少数民族，也还在用类似的方法记事，他们的首领有一根木棍，上面刻着的道道就是记的事。
虚数不虚
由于虚数闯进数的领域时，人们对它的实际用处一无所知，在实际生活中似乎没有需用复数来表达的量，因此在很长一段时间里，人们对它产生过种种怀疑和误解。笛卡尔称“虚数”的本意就是指它是虚假的；莱布尼兹则认为：“虚数是美妙而奇异的神灵隐蔽所，它几乎是既存在又不存在的两栖物”；欧拉尽管在许多地方用了虚数，但又说一切形如a＋bi的数学式都是不可能有的，纯属虚幻的。
继欧拉之后，挪威测量学家维塞尔提出把复数（a＋bi）用平面上的点来表示。后来高斯又提出了复平面的概念，终于使复数有了立足之地，也为复数的应用开辟了道路。现在，复数一般用来表示向量（有方向的量），这在水利学、地图学、航空学中的应用十分广泛，虚数越来越显示出其丰富的内容。真是：虚数不虚！
数学中的皇冠——数论
人类从学会计数开始就一直和自然数打交道，后来由于实践的需要，数的概念进一步扩充，自然数叫做正整数，而与它们的相反数叫做负整数，介于正整数和负整数中间的中性数叫做0，它们合起来叫做整数。
对于整数可以施行加、减、乘、除四种运算，叫做四则运算。其中加法、减法和乘法这三种运算，在整数范围内可以毫无阻碍地进行。也就是说，任意两个或两个以上的整数相加、相减、相乘的时候，它们的和、差、积仍然是一个整数。但整数之间的除法在整数范围内并不一定能够无阻碍地进行。
整数里发现的数学规律
人们在对整数进行运算的应用和研究中，逐步熟悉了整数的特性。比如，整数可分为两大类——奇数和偶数（通常被称为单数、双数）等。利用整数的一些基本性质，可以进一步探索许多有趣和复杂的数学规律，正是这些特性的魅力，吸引了古往今来许多的数学家不断地研究和探索。
高斯与《算术探讨》
到了18世纪末，历代数学家积累的关于整数性质零散的知识已经十分丰富了，把它们整理加工成为一门系统的学科的条件已经完全成熟了。德国数学家高斯集中前人的大成，写了一本书叫做《算术探讨》，1800年寄给了法国科学院，但是法国科学院拒绝了高斯的这部杰作，高斯只好在1801年自己发表了这部著作。这部书开创了现代数论的新纪元。
在我国近代，数论也是发展最早的数学分支之一。从20世纪30年代开始，在解析数论、刁藩都方程、一致分布等方面都有过重要的贡献，出现了华罗庚、闵嗣鹤、柯召等一流的数论专家。其中华罗庚教授在三角和估值、堆砌素数论方面的研究在世界是享有盛名的。1949年以后，数论的研究得到了更大的发展。
特别是陈景润在1966年证明“哥德巴赫猜想”的“一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和”以后，在国际数学界引起了强烈的反响。陈景润的论文被盛赞是解析数学的名作，是筛法的光辉顶点。至今，这仍是“哥德巴赫猜想”的最好结果。
你知道分数的起源吗
分数起源于“分”。一块土地平均分成三份，其中一份便是三分之一。三分之一是一种说法，用专门符号写下来便成了分数，分数的概念正是人们在处理这类问题的长期经验中形成的。
阿默斯纸草卷与分数的起源
世界上最早期的分数，出现在埃及的阿默斯纸草卷。公元1858年，英国人亨利林特在埃及的特贝废墟中，发现了一卷古代纸草，立即对这卷无价之宝进行修复，并花了19年的时间，才把纸草中的古埃及文翻译出来。现在这部世界上最古老的数学书被珍藏在伦敦大英博物馆内。
在阿默斯草卷中，我们见到了四千年前分数的一般记法，当时埃及人已经掌握了单分数——分子为1的分数的一般记法，并把单分数看做是整数的倒数。埃及人的这种认识以及对单分数的统计法，是十分了不起的，它告诉人们数不仅有整数，而且有它的倒数——单分数。
分数的长途旅行
分数终究不只是单分数，大约在公元前5世纪，中国开始出现把两个整数相除的商看作分数的认识，这种认识正是现在的分数概念的基础。在这种认识下，一个除式也就表示一个分数，被除数放在除数的上面，最上面留放着商数，例如：若是假分数，化成带分数后与现在的记法不同的是，假分数的整数部分放在分数的上面，而不是放在左边。
大约在12世纪后期，在阿拉伯人的著作中，首先用一条短横线把分子、分母隔开来，这可以说是世界上最早的分数线；13世纪初，意大利数学家菲波那契在他的著作中介绍阿拉伯数字，也把分数的记法介绍到了欧洲。
谁最先研究分数的运算
西汉时期，张苍、耿寿昌等学者整理、删补自秦代以来的数学知识，编成了《九章算术》。在这本数学经典的《方田》章中，提出的完整的分数运算法则大约在15世纪才在欧洲流行。欧洲人普遍认为，这种算法起源于印度。实际上，印度在7世纪婆罗门笈多的著作中才开始有分数运算法则，这些法则都与《九章算术》中介绍的法则相同。而刘徽的《九章算术注》成书于魏景元四年（公元263年），所以，即使与刘徽的时代相比，印度也要比我们晚400年左右。
拓展阅读
百分数是在日常生产和生活中使用频率很高的知识，200多年前，瑞士数学家欧拉在《通用算术》一书中说，要想把7米长的一根绳子分成三等份是不可能的，因为找不到一个合适的数来表示它。如果我们把它分成三等份，每份是7/3米。像7/3就是一种新的数，我们把它叫做分数。而后，人们在分数的基础上又以100做基数，发明了百分数。
百分数是用一百做分母的分数，在数学中用“％”来表示，在文章中一般都写作“百分之多少”。百分数与倍数不同，它既可以表示数量的增加，也可以表示数量的减少。
