大家好，又见面了，我是大家的老朋友陈兴文。今天这一期我们讲三角函数在数轴上的规律。有人会说三角函数在数轴上的规律不是有高中数学必修4的诱导公式吗？那么我告诉你，接下来我为你们讲述的是如何推导出诱导公式和三角函数在数轴上的规律。大家想不想看一下，那么我开始下面的讲述了。
首先，大家都知道在数轴上，有4个象限。它们分别为第一象限，第二象限，第三象限，第四象限。第一象限x轴和y轴是正的；第二象限x轴是负的，y轴是正的；第三象限x轴和y轴是负的；第四象限，x轴是正的，y轴是负的。
那么我们设一个角度为a，a在第一象限，画一个在第一象限以a为其中一个角的直角三角形。因为在角度上都以和x轴为夹角，故x轴为邻边，y轴即为的长度取值为对边，大家都知道在第一象限x轴和y轴都是正的，那么a的对边和邻边都是正的，而斜边是两者的平方和，任何实数的平方都不可能是负的，故斜边也是正的。所以三角函数的正弦值，余弦值和正切值在第一象限都是正的。以此类推，在第二象限正弦值是正的，余弦值和正切值是负的。在第三象限，正（余）弦值是负的，正切值是正的。在第四象限，余弦值是正的，正弦（切）是负的。
从上述例中和象限看出，可以看出正弦值是以y轴对称的，余弦值是以x轴对称的，正切值以原点中心对称的。故得出诱导公式。
大家有些人肯定不相信，那让我为大家娓娓道来。
大家都知道一个在第一象限的三角形以y轴为对称中心翻折到第二象限，除了邻边由正变负（因为第二象限x轴变为负）以外，对边与斜边没有改变（因为第二象限y轴仍为正），正弦值就是对边除以斜边，它们俩没有改变，也就是正弦值与第一象限的相同。以上类推，第三象限的正弦值与第四象限的也是相同的。因为是以y轴对称翻折过去，设这个角度为a，那么在第二象限的这个角度为180一a，故得出sina=sin（兀一a），而在第三象限和第四象限是与在第一象限a（长度没变，但变了正负）不同的，故得出sina=一sin（兀+a）=一sin（一a）。而因为第三象限与第四象限的正弦值也相同，所以再把a设为任意的三角形以x轴为对称中心翻折到第四象限，除了对边由正变负（因为第四象限y轴为负值）以外，邻边和斜边没有改变都成立。故能推出正弦值以y轴对称。
接下来我们来说余弦值，大家都知道一个在第一象限的三角形以x轴为对称中心翻折到第四象限，除了对边由正变负（因为第四象限y轴为负值）以外，邻边和斜边没有改变（因为第四象限x轴为正值），余弦值就是邻边除以斜边，故在第一象限的余弦值等于第四象限的。以上类推，第二象限的余弦值与第三象限的相同。因为是以x轴对称翻折过去，设这个角度为a，那么在第四象限的这个角度为一a，故得出cosa=cos（一a），而在第二象限和第三象限是与在第一象限a（长度没变，但变了正负）不同的，故得出cosa=一cos（兀一a）=一cos（兀+a）。而因为第二象限和第三象限的余弦值也相同，所以再把a设为任意角都成立。故能推出余弦值以x轴对称。
然后我们来说正切值，大家都知道一个在第一象限的三角形以原点为中心对称翻折到第三象限，除了斜边保持不变（因为任何两个实数平方和都不可为负值）以外，邻边和对边都由正变负（因为第三象限x轴和y轴均为负值），两个负数相除，负负得正，因为是翻折过来的，所以长度相等，又负负得正，故第一象限的正切值等于第三象限的。以上类推，第二象限的正切值等于第四象限的。因为是以原点对称翻折过去，设这个角度为a，那么在第三象限的这个角度为兀+a，故得出tana=tan（兀+a），而在第二象限和第四象限是与在第一象限a（长度没变，但变了正负）不同的，故得出tana=一tan（兀一a）=一tan（一a）。而因为第二象限和第四象限的正切值也相同，所以再把a设为任意角都成立。故能推出正切值以原点中心对称。
好了，今天就说这么多了，下次再见。
