第21章 小数法则—样本大小与统计结论(1)

地球上每一秒钟都会有一个傻瓜产生。

—肖曼·巴纳姆

谎言有三种：谎言、蹩脚的谎言、统计数字。

—本杰明·迪斯雷利

没有接受过统计学方面训练的人，是出色的“直觉型统计学家”。

—丹尼尔·卡尼曼

二战时候的一个冬夜，德军轰炸莫斯科。有一位教统计学的老教授出现在防空洞里，以前他从不屑于钻防空洞。他的名言是：“莫斯科有800万人口，凭什么会偏偏炸到我？”

老夫子的出现让大家甚感讶异，问他怎么会改变决心。

教授说：“是这样的，莫斯科有800万人口和一头大象，昨天晚上，他们炸到了大象。”

老夫子的滑稽，其实是所有“直觉型统计学家”的写照。

我们再来看一个例子：

在一次面向300名美国家庭主妇的电话民意调查中，60%的主妇支持美国总统。

你对这句话有什么印象？

如何用三个词总结这句话？很多人肯定会说：主妇支持总统。

这其实是一个“真实的谎言”。且不说电话民意调查者中形式有没有问题，但只选择了300名美国家庭妇女，就能代表全美国？统计样本太小了吧！

但很多人一见统计数字就很容易被说服，因为很多人本能地认为，统计学是科学，却不知道统计数字会撒谎。

大数法则

一位数学家调查发现，欧洲各地男婴与女婴的出生比例是22∶21，只有巴黎是21∶22，这极小的差别使他决心去查个究竟。最后发现，当时巴黎的风尚是重女轻男，有些人会丢弃生下的男婴。中国的历次人口普查的结果也是22∶21。

人口比例所体现的，就是大数法则。

大数法则（Law of large numbers）又称“大数法则”或“平均法则”。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这类规律就是大数法则。在实验不变的条件下，重复实验多次，随机事件的频率近似于它的概率。

大数法则反映了这世界的一个基本规律：在一个包含众多个体的大群体中，由于偶然性而产生的个体差异，着眼在一个个的个体上看，是杂乱无章、毫无规律、难于预测的。但由于大数法则的作用，整个群体却能呈现某种稳定的形态。

花瓶是由分子组成的，每个分子都不规律地剧烈振动。但你可曾见过一只放在桌子上的花瓶突然自己跳起来？

电流是由电子运动形成的，每个电子的行为杂乱而不可预测，但整体看呈现一个稳定的电流强度。

一个封闭容器中的气体，它包含大量的分子，它们各自在每时每刻的位置、速度和方向，都以一种偶然的方式在变化着，但容器中的气体仍能保有一个稳定的压力和温度。

某一个人乘飞机遇难，概率不可预料，对于他个人来说，飞机失事具有随机性。但是对每年100万人次所有乘机者而言，这里的100万人可以理解这100万次的重复实验，其中，总有10人死于飞行事故。那么根据大数法则，乘飞机出事故的概率大约为十万分之一。

这就为保险公司收取保险费提供了理论依据。对个人来说，出险是不确定的；对保险公司来说，众多保单出险的概率是确定的。

根据大数法则的定律，承保的危险单位愈多，损失概率的偏差愈小；反之，承保的危险单位愈少，损失概率的偏差愈大。因此，保险公司运用大数法则就可以比较精确地预测危险，合理地厘定保险费率。

小刀锯大树

赌客久赌必输的一个秘密，即大数法则。

赌王何鸿燊刚刚接手葡京赌场的时候，业务蒸蒸日上。赌王居安思危，请教“赌神”叶汉：“为什么这些赌客总是输，长此以往他们不来赌怎么办？”

叶汉笑道：“这世界每天都死人，你可见这世上少人？”

叶汉的回答甚妙，道出了一条无论是保险公司、赌场还是骗徒，都信仰的法则—大数法则。

赌场本质上是一种温和的“概率场”，概率法则非常明显。一直玩下去，大数法则的作用就会日益显现出来。

前面我们说过，庄家在规则上占有少许优势，玩得次数越多，这种优势越能显出来。

久赌神仙输，赌圣也不行。

一天，一位沙特王子入住葡京酒店。

沙特王子找到赌王，说：“我就和你玩一把掷硬币。出正面我给你50亿美金，出反面你的赌场归我。”

赌王呵呵一笑：“这个游戏固然公平，但不符合我们庄家的行事法则。我们开赌场不做一锤子买卖，而是小刀锯大树。如果你真的想玩，我们就玩掷骰子，1000下定输赢。你赢了，可以把我的产业拿走，我赢了，只收你20亿。”

沙特王子无奈，只好退出赌局。

这个故事是虚构的，旨在说明大数法则之于赌场的意义。

开赌场不做一锤子买卖，而是“小刀锯大树”。

所以，赌场最欢迎的是斤斤计较、想碰一下运气的散客，他们虽然下注谨慎，却构成了庞大的行为基数。这种客人会给赌场老板带来几乎线性的稳定收益，是赌场最稳定的收入来源。这是大数法则在起作用。

还有一种是一掷千金、豪气干云的大赌客，他们的下注额若在赌场的风险控制范围，也很难从赌场赢钱，会成为赌场的VIP客户。

假如有一个超级赌客，比如上面虚构故事中的沙特王子。他的赌注超过了普通赌客的千倍万倍，这会导致赌场收益的大幅震荡，极端情况下可能导致赌场破产。

因此，全世界所有赌场都会设定最高的投注限额。赌场设最低及最高的投注限额，即便“新郎行运一条龙”的故事发生，也不至于让赌场亏太多。这样，赌场老板就可以安心睡觉了。

所有的VIP加起来，等于庄家和客人玩了一场长期游戏，大数法则依然有效。

赌场最不欢迎的，是深谙各种规则，处心积虑地想占赌场便宜的职业赌客。赌场背后称这种人为“无赖”。

“撞骗”的数理支持

你是否收到过这类短信：

请直接把钱打到工商银行卡号6220219……谢××

这叫“撞骗”，是一种传统骗术。版本甚多，比如寄中奖信、打中奖电话、发电子邮件。

也就是骗子像没头苍蝇一样乱撞，“有枣没枣打一竿子”或许能“瞎猫捡个死老鼠”。

是不是觉得骗子很蠢？但骗徒的行为却是合乎科学的，在数理上是被支持的。

只要发出的短信足够多，其成功率非常稳定，合乎大数法则。

福建的某个小镇，众多乡亲都从事这个行当，短信群发器在这个偏远小镇非常普及。当警察抓获了这批刁民后，奇怪的是，过了很长时间了，居然还有钱不断地往查获的卡上汇钱。

有人曾作过统计，类似这种垃圾短信，每发出一万条，上当的人有七到八个，成功率非常稳定。人过一百，形形色色。一万个人里面，总会有几个“人精”，几个笨蛋，这是可以确定的。当然，也肯定会有几个爱恶作剧的人。有人收到这种短信，会忍不住打电话调戏骗子。

究其根源，都是由于大数法则的作用。在社会经济领域中，群体中个体的状况千差万别，变化不定。但一些反映群体的平均指征，在一定时期内能保持稳定，或呈现规律性的变化。

大数法则是保险公司、赌场、撞骗的骗徒赖以存在的基础。

如果你被骗了，除了报警，还有一种办法可以用来保全财产。那就是，尽快拿骗子所发的银行账号登录网上银行，输入密码。当然，输入错误的可能性非常之大，三次输错，银行就会锁定该卡。如果骗子还没有来得及把钱划走，你就有望保全财产了。

广结善缘

大数法则不仅是保险精算中确定费率的主要原则，还是推销员的制胜之道。

大数法则用在业务员的人脉管理上，就是结识的人数越多，预期能够带来的商业机会的比例越稳定。

比如说，一个推销员给自己定下任务，每年结识3000个客户或潜在客户，并把关系维系好。那么，三年后，他就有接近10000个“样本”。

如果100个客户里会有3个长期客户，三年后，他就有300个能给他带来比较稳定收益的老客户。

欧洲有位大亨，每年都定下目标，要与1000个人交换名片，并与其中的200个人保持联络，与其中的50个人成为朋友。

鸟瞰红尘，人海茫茫中，却均匀地分布着你的贵人。

无视样本大小

30多年前的一个下午，在芝加哥的一间咖啡馆里，特韦斯基和约翰·杜伊教授在悠然地喝着咖啡。特韦斯基貌似无心地问：

“有两家医院，在较大的医院每天都有70个婴儿出生，较小的医院每天有20个婴儿出生。众所周知，生男生女的概率为50%。但是，每天的精确比例都在浮动，有时高于50%，有时低于50%。

在一年的时间中，每个医院都记录了超过60%的新生儿是男孩的日子，你认为哪个医院有更多这样的日子？”