④排疑解惑
对概念的研究还在于排疑解惑，自己去验证它的正确性。对概念中有疑虑的地方，不妨试试看它究竟是怎样。通过自己验证排疑解惑，记忆就准确了。
（3）对概念进行辨析
“概念学多了，反而有些糊涂”，这是一些初中生的感受。有这种感受并不奇怪，因为数学概念有很多是容易混淆的。从认识论的观点看，中学生的思维水平，要真正理解一个概念，仅靠引入、推导还不够，还要通过辨别、分析来澄清混淆，明确内涵、外延，深化理解。
①对比辨析
一些类似的概念，只有在对比中才能找到联系与区别，明确它们的从属关系，关键是要抓区别，通过对比，既知道了各概念间的共同属性，又知道了它们各自的不同属性，运用时就再不会糊涂了。
②变式辨析
对概念进行变式分析和应用，能够进一步掌握概念的特征及广泛效能。定义、定理、公式一般都可用数学符号来表达其对象间的关系。一个关系式里包含的几个量，虽有固定的关系，但不一定有唯一固定的形式。对形式进行合理变式，可得到更多的结论。变式辨析的一般方法是：a．单向递进式联想；b．双向可逆性联想ic．恒等变形。但要注意：在多种变式中，一定要首先深刻认识原公式、定理的特征。另外有些定理往往难解其意，用起来也很被动，这就要把它大解剖，析理清楚，运用起来就得心应手了。
③条件辨析
有些公式是在一定条件下才成立的。条件变了，则可能导出错误的结论。因此，要正确运用公式，就要弄清条件的来龙去脉。当公式的条件较多时，要弄清提供这些条件的原因，避免条件问发生交叉错误。有的时候学习的公式都带条件，弄得人眼花缭乱，用公式时不知如何是好。
④概念的记忆
数学的概念必须牢牢记住，只有记住了，才谈得上计算、运用和论证，否则是不可能有解题能力的，因此，初中生应学会一些记忆的方法。
2.建立、发展和完善数学认知结构
数学学习，就是把数学知识结构（指教材）经过积极主动的思维活动，转化为头脑里的数学认知结构。
在数学学科的学习中，数学认知结构的建立、发展和完善，处于核心地位。
那么，作为家长，该怎样引导上初中的孩子建立、发展和完善数学认知结构呢？
（1）打好基础，建立优良的数学认知结构
学习一门数学的新课程，或学习某一课程中与前面知识没有多大联系的新课题时，开始都会碰到一系列新的概念、公理、思想方法，以及一些简单的、基础的定理、公式等，这些内容不可能被原有的认知结构所同化，只能从实例、模型或已有经验中抽象概括，形成新的概念、公理、方法等，从而建立起一个新的数学认知结构。例如，平面几何入门阶段的学习，就处于建立新的数学认知结构的过程中。这个新建立的数学认知结构，就是今后学习的基础，它的优劣直接影响以后学习的好坏，因此显得十分重要。
数学家张广厚曾说过：“我在念一本新书时，开头我特别下工夫，由于开头都是基础的东西，基础的东西往往是容易接受却难理解，特别是高等数学是这样……中学学习也是一样，开头简单，自己认为懂了，实际没懂，不下工夫，过两三个月就吃力了。要入门，就要开头下工夫，我觉得开头的基础要搞扎实。”他这番话，道出了入门阶段学习的重要性，反映了开始时建立优良认知结构的必要。事实上，从学生学习平面几何起始阶段的情况，也可说明这一点。
新建立的认知结构是后继学习的基础，它具有较高的抽象、概括水平，所以这些内容虽然简单，但学习的要求却很高，应引起特别注意。尤其是采用公理化方法编写的教材，这一点表现得更为明显。
（2）循序渐进，搞好命题学习，促进认知结构的良好发展
数学是一门系统性很强的学科，前后内容紧密相连，一环紧扣一环。在学习时，若对某一环学得不扎实，认识模糊不清，就会直接影响认知结构的良好发展。如果不及时解决，那么继续学习下去就只能是机械学习，这时认知结构中出现的都是一些孤立的“点”，不仅容易遗忘，而且失去应用的价值，结果导致学习的失败。
在学习每一个定理、公式时，都要清楚地知道怎样一步步得出结论。运用了哪些概念、公理、定理或公式，使用的是什么方法等等。要知其然还要知其所以然，而不能只记住其条件和结论。命题学习过程是一个积极的思维活动过程，从感知定理的情境（信息输入），接着进入思维（信息加工），即与原有认知结构中适当的知识建立联系，相互作用，进行同化，然后把它纳入原有认知结构（储存），并使原认知结构得到发展。在这个思维活动中，既要理解证明过程，更要从中学习到数学的思想方法和解题途径。这对发展认知结构，具有重要意义。例如，在圆周角定理的证明过程中所体现的分类、化归的方法等，就有积极的作用。因此，那种尽量缩短命题学习的时间加快学习进程的做法，是不可取的。
（3）精炼所学知识，不断完善数学认知结构
数学认知结构也有一个形成、发展到完善的过程，它处于不断变化之中。并且，认知结构的大小也是相对的，大可以指整个中学阶段数学认知结构，小可以指某章某节的认知结构，也可以指某部分内容的认知结构。因此，每到一个阶段，就要进行提炼，改善原有认知结构，提高抽象、概括水平，以便有助于今后的学习和应用。通常，阶段复习、学期复习就应起这个作用。
数学家华罗庚谈到学习有一个“由薄到厚”和“由厚到薄”的过程。他说：“要真正学会学懂还必须经过‘由厚到薄’的过程，即把那些学到的东西，经过咀嚼、消化，融会贯通，提炼出关键性的问题来……这看起来你得到的东西似乎比以前少了，但实质上经过消化，变成精炼的东西了。”华罗庚在这里特别强调了“由厚到薄”的重要性，反映了改进、完善数学认知结构的重要性。例如，初中学完代数方程后，可以对方程的解法进行整理、提炼，得出基本思想——“转化”、“降次”、“消元”，达到了高度概括、简缩；再由知识“点”、“线”组成知识的“网络”，揭示内在的联系，从而完善了这一部分的认知结构。如果学习者在学习过程中经常进行这方面的工作，则不仅对数学知识会有更深入的认识，而且还有助于能力的提高与发展。
3.培养良好的数学学习习惯
良好的学习习惯～旦形成，就会自动地体现在学生的学习过程中，成为学生学习时如影随形、相伴相生的不可或缺的内容。
学习习惯是在一定情境下，不需要任何意志努力和监督的、自动化了的学习行为方式。倘若不沿着业已形成的习惯去做，就会产生不愉快、不自如，甚至苦恼的情感反应。因此，人们常常把习惯称为人的“第二天性”。作为父母，要在孩子长期的学习过程中，努力培养孩子具有良好的学习品质、学习能力、学习方法和学习习惯，形成比较稳定的学习行为方式，从而使孩子的学习效率更高、效果更好、效益更大。
（1）从阅读教材开始
数学教材在叙述上往往兼顾科学性、通俗性、生动性和可读性，而且教材内容有老师讲解、启发引导，因此，容易使初中生通过阅读教材体会到怎样阅读其他参考书，进而初步掌握自学的方法。
一般初中生在阅读、预习数学课本内容时，往往会像阅读小说那样，不得要领，眉毛胡子一把抓。何处是关键词语，应该怎样剖析、深刻理解并掌握，往往不清楚，表面上好像弄清了的数学内容，其实还是马马虎虎、眉目不清，到老师讲课时，还不能带着问题去听讲、去学习。因此，在老师的指导下，应该有一个简要的思考提纲，使自己在自学过程中，能够带着问题去学，做到心中有数。
（2）写一点数学读书笔记
在数学基础知识有了一定的基础和能力后，可以对孩子提出新的更高的要求：写一点数学读书笔记，目的是培养初中生的创造性思维。这样，可以逼着初中生主动去发现问题、思考问题、解决问题。同时，在这一过程中，可以将这种好习惯迁移到其他学科的学习中去。写数学读书笔记的好处是：
·有利于所学知识的系统化、条理化、概括化，使所获得的知识脉络清楚、重点突出，便于记忆；
·有利于提高解题能力；
·有利于加深对数学知识的认识，掌握分析、归纳、整理材料、研究问题的方法；
·有利于培养自己的学习兴趣，从而提高思维素质，逐步养成良好的学习习惯。
比如，学习解析几何中“直线”时，对于如何求证平面上“三点在一条直线上”，可以联系所学内容，归纳总结出以下几种方法：
·用平面上求两点距离的方法来求，使AB＝BC+CA：
·用定比分点公式来求，把其中一点看作另外两点的定比分点时，在线段定比分点公式中，横坐标代入后所得出的入值与纵坐标代入后所得出的入值相等；
·先求出任意两点的直线方程，再验证第三点在所求直线上；
·任意两点连线斜率相等且过同一点，如：KAB=KBC且两直线都过B点；
·先求出任意两点的直线方程，再验证第三点到这条直线的距离为0。
这样，能使初中生对所学知识举一反三，融会贯通。这种一题多解能力的训练，不但对我们在校学习有很大的帮助，而且对他们走上社会也有很大的帮助，能促使他们遇事肯动脑，妥善地解决每一个具体问题。
（3）综合培养数学学习习惯
如何培养良好的数学学习习惯呢？要从头抓起，良好的学习习惯的形成，如同古人所说“少成若天性，习惯如自然”。因此，要从头抓起，高度重视初中生学习行为的规范性、科学性，要明确学习习惯的后天性和稳固性的特点，让他们相信，自己从头抓起，一定能成功。同时，提醒他们，千万不能掉以轻心，习惯无论好坏，一旦养成，就难以矫正。二要从严抓起，任何一个良好的学习习惯都要靠坚强的意志、严格的要求、长期的实践，才能逐渐养成，比如“先复习、后作业”，只有严格要求、严格进行训练，一丝不苟、毫无例外，才能形成自动化的行为定势。三要从点滴抓起，学习习惯是关涉整个学习的综合性的行为方式，诸如独立思考的习惯、善始善终的习惯、专心致志的习惯、循序渐进的习惯等等，都需要由少到多、由点到面、由单项到系列、由部分到整体的全方位推进。必须通过一点一滴的积累、一步一个脚印的训练，才能在多次刺激与强化的基础上变成孩子的内在需要。四要从借鉴抓起，告诉孩子，要不失时机地向自己的同学、老师学习，向周围的一切可以学习的人学习，充分借鉴他们（特别是自己的同学）的成功经验，吸取他们失败的教训，启发自己的自觉性，提高自己良好学习习惯的达成度。主要从激励抓起，要学会自我激励、自我表扬，强化自己良好的学习习惯，矫正不良的学习习惯，通过自我激励及暗示，不断巩固业已形成的良好学习习惯。
4.提高数学观察能力的四种迹径
观察能力不强的初中生，审题时看不清题意，解题找不到突破口，学习概念时不能掌握实质，因而影响学习成绩的提高。可见，观察对数学学习是十分重要的。数学概念的形成，命题的发现，解题方法的探求，都离不开观察。就数学的基础而言，公理的确定就是首先通过观察事物的运动变化，再通过抽象概括才得以形成的。
那么怎样才能提高观察能力呢？一般来说，父母要建议自己上初中的孩子从以下几方面下工夫。
（1）通过目的性来提高观察力
目的性是数学观察活动的本质特征。没有目的的感知就算不上观察。因此，目的性是区分感知与观察的标志之一。
在数学学习中，观察的目的性表现为以下几个方面：明确观察对象、要求、步骤、方法。为此，在数学观察时，要养成观察的目的意识，也就是说，要养成观察稳定的目标，而不受其他刺激的干扰的习惯。
例如，在对longaM/longan=longbM/longbn的证明之前，首先把观察的目标确定在这个恒等式中对数底数上，通过观察，得知每个分式的分子、分母中的对数底数相同，而不同的分式表现出分子、分母中的对数底数的不同。
通过观察加工（或理解）后，得到这个恒等式实际上是对数换底公式的变形。
（2）通过条理性来提高观察力
数学学习中对数学对象的观察往往不是轻而易举地就能达到目的。在这种情况下，学习者就不能漫无边际地、杂乱无章地进行观察，而应逐步养成观察的条理性。例如，分门别类地观察，或注重对象问联系进行观察，或从特征上进行观察，等等。
例如，对方程3-3x+x+6/3-3x-x+6=1-4x+2x+8/1-4x-2x+8的观察，先从方程两边进行观察，发现两边的分母各不相同。如果通分，势必给方程带来更加复杂的结果。进而从特征上去观察，发现方程两边有共同的特征：分子、分母是两个根式的加与减。加减号前的根式总是相同的。把它写成以下模式：
A+B/A-B=C+D/C-D
这样一来，对观察更为有利，它减少了许多干扰因素，把特征更清晰地暴露出来。
通过观察，得到方程的特征，再联想合分比定理：
A/B=C/DA+B/A-B=C+D/C-D
方程的解就很容易求出来了。
这种观察就是一种有条不紊的过程、循序渐进的过程、按部就班的过程。
（3）通过训练敏锐性来提高观察力
观察的敏锐性就是指在观察过程中很快地发现被观察对象的特点，或容易发现别人不易发现或易于忽略的东西。许多发明家、科学家的可贵之处就在于此。牛顿通过观察苹果坠地这种司空见惯的现象而发现了万有引力定律。这就是观察敏锐性的表现。
（4）通过精确性来提高观察力
观察的精确性表现为对被观察对象的隐含因素的觉察和发现，以及对被观察对象的性质间的细微差异的发现等的品质。
在数学学习中，重视观察品质的培养，从实质上就是对观察能力的培养。良好的观察力是使学习者学好数学的基本条件，也是激发学习者的数学探索精神、引发数学发现的源泉。
提高观察力就要像巴甫洛夫所提倡的“观察，观察，再观察”那样。在观察活动中提高观察的品质。
5.学好逻辑，提高数学解题能力
推理是从一个或几个已知判断推出新的判断的思维形式，或者说，推理是从一个或几个已知命题推出新命题的思维形式，它是获得新知识的重要方法。
所有推理都是由前提和结论两部分组成的，只要前提真实可靠，推理过程合乎推理的形式和规则，得到的结论一定正确。推理可分为直接推理和间接推理。只有一个前提的推理叫直接推理，例如，零作除数没有意义，以此为前提可直接得出“使分式方程分母为零的解没有意义”这一结论，这就是直接推理。间接推理是指有两个或两个以上前提的推理，例如，无限不循环小数是无理数，π是无限不循环小数，由这两个前提可得出“π是无理数”的结论，这就是间接推理。间接推理又可分为类比推理、归纳推理和演绎推理三种。
