设函数f（x）在点（a，0）附近有定义（在x=a时可以设有定义），如果当自变量x不论通过怎样一个以a为极限的数列{xn}，对应的函数值数列f（x1），f（x2），……，f（xn），……，总有极限l，称x趋于a时，f（x）以l为极限，记作limx→af（x）=l。
如果limx→af（x），limx→ag（x）存在，那么limx→a［f（x）±g（x）］=limx→af（x）±limx→ag（x）；
limx→a［f（x）·g（x）］=limx→af（x）·limx→ag（x）；
limx→af（x）g（x）=limx→af（x）limx→ag（x）（g（x）≠0且limx→ag（x）≠0）。
【导数的概念】
设函数y=f（x）在点x=x0处及其附近有定义，如果limx→af（x）—f（x0）x—x0存在，那么称此极极为f（x）在x=x0处的导数，记为f’（x0），并称f（x）在x=x0处可导。
如果f（x）在（a，b）内每一点都可导，称f（x）在（a，b）可寻，此时，对每个x0∈（a，b），都有唯一的实数f’（x0）与之对应，这就构成一个新的函数f’（x），称f’（x）为f（x）的寻函数，简称导数，也记为y’，即y’=’（x）。
【导数的运算法则】
一些初等函数的导数公式如下：
（1）常数函数y=c，y’=0；
（2）函数y=cx（c为常数），y’=c；
（3）函数y=xn（n∈N），y’=nxn—1；
（4）函数ynx（n∈N），y’=1nx1n—1；
如果f（x），g（x）的导数存在，那么［f（x）±g（x）］’=f’（x）±g’（x）；
［cf（x）］’=cf’（x）（c为常数）；
［f（x）g（x）］’=f’（x）g（x）+f（x）g’（x）；
［f（x）g（x）］’=f’（x）g（x）—f（x）g’（x）［g（x）］2（g（x）≠0）。
【导数的应用】
设函数y=f（x），在x=x0处可导，点P（x0，f（x0））表示其图像上的一点，则曲线y=f（x）过点P的切线方程为y—f（x0）=f’（x0）（x—x0）。
设果函数y=f（x）在某个区间内有导数，如果在这个区间内y’＞0，那么y=f（x）为这个区间的增函数；如果在这个区间内y’＜0，那么y=f（x）为这个区间的减函数，通过单调性判定，可以求函数的极大值、极小值、最大值、最小值。
【任意角】由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形。旋转开始时的射线叫角的始边，旋转终止时的射线叫角的终边，射线的端点叫角的顶点。
说明：（1）终边旋转在一周之内的角α，称为0°~360°的角。可用0°≤α＜360°表示。（2）终边旋转在一周以上的角β，可以化成k·360°+α的形式。其中k∈Z，0°＜α＜360°。写成集合的形式：｛β｜β=k·360°+α，k∈Z｝。
【正角】按逆时针旋转所成的角。
【负角】按顺时针旋转所成的角。
【零角】射线没作任何旋转时，我们也认为形成了一个角，这个角叫做零角。
【终边相同的角】两个角的始边重合，终边也重合时，称这两个角为终边相同的角。
所有与α角终边相同的角，连同α角在内，可以用式子k·360°+α，k∈Z表示；
【直角坐标系中的角】使角的顶点与坐标原点重合，角的始边在x轴的正半轴上，角的终边在坐标系中的位置有下面几种情况：
（1）角α的终边在第一象限时，叫第一象限内的角。可用k·360°＜α＜k·360°+90°，k∈Z表示；
（2）角α的终边在第二象限时，叫第二象限的角。可用k·360°+90°＜α＜k·360°+180°，k∈Z。表示；
（3）角α的终边在第三象限时，叫第三象限的角。可用k·360°+180°＜α＜k·360°+270°，k∈Z表示；
（4）角α的终边在第四象限时，叫第四象限的角。可用k·360°+270°＜α＜k·360°+360°，k∈Z表示；
（5）角α的终边在x轴的正半轴时，可用k·360°=α，k∈Z表示；
（6）角α的终边在x轴的负半轴时，可用α=k·360°+180°表示k∈Z；
（7）角α的终边在y轴的正半轴时，可见α=k·360°+90°表示k∈Z；
（8）角α的终边在y轴的负半轴时，可用α=k·360°+270°表示k∈Z。
说明：如果α角的终边在x轴上可用α=n·180°，n∈Z表示。a=n·180°，n∈Z代替了α=k·360°和α=k·360°+180°k∈Zα=k·360°＝2k·180°。而α=k·360°+180°＝2k·180°+180°=（2k+1）·180°。当k∈Z时，2k为偶数，2k+1为奇数。而奇数与偶数合在一起为整数。用n∈Z可代替了2k与2k+1，n∈Z。同样，α=n·180°+90°表示角α的终边在y轴上。
【弧度制】
用弧度作为度量角的单位的量角制。弧度制也叫弪制。
为什么用弧度制量角？是为了把角的大小与实数的大小一一对应起来。实数是十进制的（因为实数可化为小数，有限，无限小数都是十进制）而角度制（度、分、秒制）则是60进制无法建立简便的对应关系。弧度制是把角度制的60进制化成了10进制。这样每一个角都有一个实数（弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有一个角（角的弧度数等于这个实数）与它对应。
“弧度”这个量角单位可以省略不写，角的大小等于实数时，它的单位就是弧度。
（1）1弧度的角等于半径长的弧所对圆心角叫1弧度的角。
规定：正角的弧度数是正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。
O的半径为r。
则∠AOB=－1弧度，∠BOA=1弧度。
注意：角是有正负的。
（2）弧长、半径与弧度数的关系如半径为r、弧长为l，弧度数为α时，对1弧长的圆心角的弧度数α=1r。
【角度与弧度的互化】如果圆心角所对的弧长l=2πr（即弧是一个整圆），那么这个圆心角度弧度数1r=2πrr=2π，而一个周角的角度数为360°360°=2π弧度。
180°=π弧度。
1°=π180弧度≈001745弧度，
1弧度=180°π≈5730°=57°18’。
【百分度制】
是把一直角的1100规定为一个百分度。
【弧长公式】l=｜α｜·r，式中α为弧所对的圆心角的弧度数，r是圆的半径，l为弧长。
【扇形面积公式】
S=12lr。l是扇形的弧长，r是扇形的半径。
说明：
（1）如果给出扇形的圆心角为n°时，扇形面积公式S=nπr2360式中πr2360是1°圆心角的扇形的面积。
（2）如果给出扇形圆心角的弧度数时，求扇形面积公式用S=12α·r。
注意：在计算扇形面积时，根据所给条件的不同，利用不同扇形面积公式。
【任意角的三角函数】角α的终边上任意一点P的坐标是（x，y），它与原点的距离是r（r＞0），sinα=yr，cosα=xr，tgα=yx，ctgα=xy，secα=rx，cosα=ry。在比值有意义的时候，这些从一个角的集合到一个比值的集合的映射，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数。这些函数都叫做三角函数。sinα=yr，叫α角的正弦；cosα=xr，叫α角的余弦；tgα=yx叫α角的正切；ctgα=xy叫α角的余切；secα=rx叫α角的正割；cscα=ry，α角的余割。
注意：（1）sinα=yr的理解应该是yr是α角的正弦函，也就是sinα是α角的函数。当α角用实数表示时（用弧度表示）sinα是一个实数。其他函数在中学阶段也是以实数为变量的。在高等数学中称这类函数为实变函数。
（2）在0°＜α＜90°时，三角函数称为锐角三角函数。在这时x、y为直角三角形的直角边r为斜边。α角的三角函数有时也做如下的定义：
sinα=α的对边斜边；cosα=α的邻边斜边；
tgα=α的对边α的邻边；ctyα=α的邻边α的对边；
secα=斜边α的邻边；cecα+斜边α的对边。
（3）三角函数是超越函数。它超越了自变量的代数运算（加、减、乘、除、乘方、开方），在中学里学习的指数函数：y=ax（a＞0，a≠1），对数函数：y=logax（a＞0，a≠1）也是常见的超越函数。
（4）r、x、y之间的关系式为r=x2+y2＞0。（当x，y同时为0时，r=0不考虑）。
【三角函数的定义域】自变量α的取值范围。
sinα的定义域｛α｜α∈R｝；
cosα的定义域｛α｜α∈R｝；
ctgα的定义域｛α｜α∈R，α≠kπ，k∈Z｝；
tgα的定义域{αα∈R，α≠kπ+π2，k∈Z}；
ctgα的定义域{αα∈R，a≠kπ，k∈Z；
secα的定义域{αα∈R，α≠kπ+π2，k∈Z；
ctgα的定义域{αα∈R，α≠kπ，k∈Z；注意：
（1）r＞0，yr，xr总有意义，故sinα，cosα中α∈R；
（2）当α=kπ+π2时，k∈Z。x=0，rx无意义，故tgα，secα没定义；
（3）当α=kπ时，k∈Z，y=0，xy，ry无意义，故tgα，secα没定义。
【各三角函数值在每个象限的符号】由三角函数定义可知：第一象限中sinα，cosα，tgα，ctgα，secα，cscα都是正值；第二象限中sinα，cscα，是正值，其余为负值；第三象限中tgα，ctgα是正值，其余为负值；第四象限中cosα，secα为正值，其余为负值。
【特殊角的三角函数值】其函数值用同角三角函数关系求得。
说明：（1）0°~90°中0°，30°，45°，60°，90°的正弦值可看成是02，12，32，42。余弦值与正弦值互逆（互为余函数）。
（2）有时还经常用到15°的三角函数值，它可以用30°的半角或特殊角的差为15°（如60°－45°或45°－30°）求得，也可以用平面几何求得。
【同角三角函数的基本关系式】（1）倒数关系：sinα·cscα=1。
cosα·secα＝1。
tgα·ctgα=1。
（2）商数关系：tgα=sinαcosα。
ctgα=cosαsinα。
（3）平方关系：sin2α+cos2α=1。
1+tg2α＝sec2α。
1+ctg2α＝csc2α。
说明：
（1）以上关系是在α的函数有意义时成立的。
（2）这些关系式的表达形式可以恒等变形，比如tgα=sinαcosα可以变为sinα=tgα·cosα；cosα=sinαtgα；sin2α+cos2α=1可变为sin2α=1—cos2α，cos2α=1—sin2α，cosα=±1—sin2α，sinα=±1—cos2α等等。
（3）为了记忆和灵活变形可以用的六边形表示。
（1）对角线上两函数关系是倒数关系；
（2）有阴影部分的三角形上面两函数的平方和等于三角形另一顶点函数的平方；
（3）每一个函数等于相邻两函数的积，或相邻的三个函数按顺时针第一个除以第二个等于第三个的倒数，如sinα÷cosα=tgα；cosα÷ctgα=sinα等。
注意：sin2α=（sinα）2，cos2α=（cosα）2。
【【诱导公式】由任意角化成锐角的公式。公式有五组：
（1）终边相同的角；
sin（k·360°+α）=sinα；
cos（k·360°+α）=cosα；
tg（k·360°+α）=tgα；
ctg（k·360°+α）=ctgα；
sec（k·360°+α）=secα；
csc（k·360°+α）=cscα。
（2）180°+α的角：
sin（180°+α）=—sinα；
cos（180°+α）=—cosα；
tg（180°+α）=tgα；
ctg（180°+α）=ctgα；
sec（180°+α）=—secα；
csc（180°+α）=—cscα。
（3）—α的角：
sin（—α）＝－sinα；
cos（—α）＝cosα；
tg（—α）=－tgα；
ctg（—α）=－ctgα；
sec（－α）＝secα；
csc（α）＝－cscα。
（4）180°－α的角：
sin（180°－α）=sinv；
cos（180°－α）=－cscα；
tg（180°－α）=－tgα；
ctg（180°－α）＝－ctgα；
sec（180°－α）=－secα；
csc（180°－α）＝cscα。
（5）360°－α的角：
sin（360°－α）=－sinα；
cos（360°－α）=cosα；
tg（360°－α）=－tgα；
ctg（360°－α）＝－ctgα；
sec（360°－α）=secα；
csc（360°－α）＝－cscα。
【【用单位圆中的线段表示三角函数值】单位圆是半径为1个长度单位的圆，根据三角函数的定义可知：
sinα=yr=y=MP；cosα=xr=x=OM；过单位圆与x轴正半轴交点Ax轴的垂线与α角的终边（或延长线）交于T时，tgα=yx=ATOA=AT（MOP∽AOT）；sec=α=rx=OTOA；规定OT与α终边相同为正，相反为负。过单位圆与y轴正半轴交点B作y轴的垂线与α角的终边（或与延长线），交于S时，ctgα=xy=BSOB=BS；cscα=ry=OSOB=OS。（MOP∽BOS）。规定OS与α终相同为正，相反为负。MP，OM，AT，BS，OT，OS这些有向线段叫做角α的正弦线、余弦线、正切线、余切线、正割线、余割线，统称三角函数线。
说明：利用三角函数线可以直观地看出各三角函数值的变化及有关的性质。如当α=90°时，AT线与α的终边平行，所以不存在线段AT，或称之为AT无穷大。（直线AT可无限延伸）。同样余切在α=k·180°（k∈Z）时BS也成为直线（无穷大）。
【【正弦函数的图象和性质】y=sinx中以x的任一值与它对应的y值作（x，y）在直角坐标系中，作出y=sinx的图形叫正弦函数的图象。因为x是任意实数，所以正弦函数的图象是无限的。
y=sinx有以下性质：
（1）定义域x∈R；
（2）值域｜y｜≤1即｜sinx｜≤1（－1≤sinx≤1）；
（3）y=sinx是奇函数，即sin（－x）=－sinx图象对称于原点；
（4）y=sinx是周期函数，它的周期为2kπ（k∈Z且k≠0），最小正周期T=2π；
（5）y=sinx在［—π2+2kπ］（k∈Z）上，都从—1增大到1，是增函数；在［π2+2kπ，3π22kπ］（k∈Z）上，都从1减少到—1，是减函数，即y=sinx的单调间是［—π2+2kπ，π2+2kπ］（递增）。和［π2+2kπ，3π2+2kπ］（递减）。说明：（1）y=sinx的图象是一条无限曲线。正弦函数的图象也叫正弦曲线。
（2）y=sinx的最小正周期是T=2π，作它的图象时一般至少要一个周期。比如0~2π，—π2~3π2，—π~π，—π6~11π6，……，至于起点选在何处无防，但中间相隔为2π；
（3）一般作y=sinx的图像可采用“五点法”。（五个特殊点，它们是图象与x轴的交点和极大、极小点）如（0，0）、（π2，1）（π、0）、（3π2，—1）、（2π，0）；
（4）y=sinx的极点是：当x=π2+2kπ（k∈Z）时，sinx有极大值y=1；当x=—π2+2kπ（k∈Z）时，sinx有极小值y=—1。
【余弦函数的图象和性质】
在y=cosx中，以x的任一值与它对应的y值作为（x，y）在直角坐标系中，作出y=cosx的图形叫余弦函数的图象，也叫余弦曲线。因为x为意实数，所以余弦函数的图象是一条无限曲线。
y=cosx有以下性质：
（1）定义域∈R；
（2）值域｜y｜≤1即｜cosx｜≤1（－1≤cosx≤1）；
（3）y=cosx是偶函数，即cos（－x）=cosx，图象对称于y轴；
（4）y=cosx是周期函数。它的周期为2kπ（k∈Z且k≠0），最小正周期T=2π；
（5）y=cosx在［2kπ，π+2kπ］（k∈Z）上，都从1减小到－1，是减函数；［π+2kπ，2π+2kπ］上，都从－1增大到1，是增函数。即y=cosx的单调区间是［2kπ，π+2kπ］（递减）和［π+2kπ，2π+2kπ］（递增）。
说明：（1）y=cosx的最小正周期T=2π，作它的图象一般至少一个周期，比如0~2π，或中间相差2π的任意两个x的值。
（2）作y=cosx的图象可采用“五点法”，（五个特殊点，它们是图象与x轴的交点和极大、极小点）如（0，1）、（π2，0）、（π，—1）、（3π2，0）、（2π，1）。
（3）y=cosx的极值是当x=2kπ（k∈Z）时，cosx有极大值y=1；当x=π+2kπ（k∈Z）时，cosx极大值y=－1。
（4）y=sin（x+π2）=cosxy=sin（x+π2）的图像即为y=cosx的图像。y=sin（x+π2）与y=sinx的图象是相差π2的图形。即y=sin（x+）是y=sinx的图象左右移动而成。当＞0时，向左移；＜0时，向左移。
（5）y=Asin（ωx+）的图象可变为y=Asinω（x+ω），它的T=2πω，可由y=Asinωx向左、右移动ω个单位得到，而A是影响值域的因素。因此可知，y=Asin（ωx+）的图象可由ω确定周期，ω确定起点，A确定值域。
【正切函数的图象和性质】在y=tgx中以x的任一使tgx有意义的值与它对应的y值作为（x，y），在直角坐标系中，作出y=tgx的图形，叫正切函数的图象，也叫正切曲线。它是由相互平行的直线，x=π2+kπ（k∈z）隔开的无穷多支曲线所组成的。
y=tgx的性质：
（1）定义域x≠π2+kπ（k∈Z）。
（2）值域y∈R当x→π2+2kπ，k∈Z时，y→∞；当x→—π2+2kπ，（k∈Z）时，y→—∞。
（3）y=tgx是奇函数即tg（－x）=－tgx。图象对称于原点。
（4）y=tgx是周期函数。周期kπ，（k∈Z且k≠0）最小正周期T=π。
（5）y=tgx在每一个开区间（—π2+kπ，π2+kπ），k∈Z内都是增函数。
