(3)利用已知一个角的三角函数值,求这个角的其他有关三角函数值的方法,求出所需要的三角函数值,代入原式进行运算。
【反余弦函数】
反余弦函数是y=cosx在x∈[0,π]的反函数,记作x=arccosy。习惯上用x表示自变量,y表示函数,所以写成y=arccosx。它的定义域x∈[-1,1],值域y∈[0,π]。
说明(1)在y=cosx中,当x确定时,y有唯一确定的值与它对应。而当y确定时,x则不确定。为了定义反余弦函数。才限定了[0,π]这个单调区间。
如果在单调区间x∈[2kπ,π+2kπ]和x∈[2kπ-π,2kπ]定义反余弦时可记作y=Arccosx、只有在单调区间才能定义反余弦函数。
(2)cos(arccosx)=x,是有条件的,其中x∈[-1,1],arccosx∈[0,π]。
反余弦函数的图象与余弦在[0,π]的图象对称于y=x。
y=arccosx性质:
(1)在[-1,1]上是减函数;
(2)是非奇非偶函数;它是关于(0,π2)的中心对称;
(3)对于x∈[-1,1],有arccos(-x)=π-arccosx。
【反正切函数】
y=tgx在x∈—π2,π2的反函数。记作y=arctgx,它的定义域是x∈R即(—∞,+∞);值域为—π2,π2(主值区间)。
由定义可推出tg(arctgx)=x。其中x∈(—∞,+∞),arctgx∈—π2,π2。arctgx的主值区间是开区间—π2,π2。
y=arctgx的图象与y=tgx(x∈(—π2,π2))的图象对称于y=x。
反正切函数的性质:
(1)反正切函数y=arctgx在区间(-∞,+∞)上是增函数;
(2)反正切函数是奇函数,有arctg(-x)=-arctgx。
【反余切函数】y=ctgx在x∈(0,π)的反函数,记作y=arcctgx,它的定义域是(-∞,+∞)。值域是(0,π)。
由定义可推出ctg(arcctgx)=x。其中x∈(-∞,+∞),arcctgx∈(0,π)。arcctgx的主值区间是(0,π)开区间。
y=arcctgx的图象与y=ctgx(o<x<π)图象对称于y=x。
反余切函数的性质:
(1)反余切函数y=arcctgx在区间(-∞,+∞)上是减函数。
(2)反余切函数是非奇非偶函数。它的图象与(0,π2)成中心对称。
(3)反余切函数有以下关系:
arcctg(-x)=π-arcctgx,x∈(-∞,+∞)。
【反三角函数值的计算】
对反三角函数值进行三角运算,只要根据定义把反三角函数值看作主值区间内的角(弧度数),就可以按照计算三角函数值的方法进行。这样,有关三角函数的和、差、倍、半等恒变形公式就可以用于反三角函数值的三角运算了。
【三角方程】含有未知角的三角函数的方程叫三角方程。
【最简单的三角方程】sinx=a、cosx=a、tgx=a、ctgx=a称为最简单的三角方程(1)sinx=a的解集|a|<1时,{x|x=2kπ+arcsina,k∈Z}∪
{x|x=(2k+1)π-arcsina,k∈Z},把这个解的并集可合并为{x|x=kπ+(-1)karcsina,k∈Z}。
(2)cosx=a的解集。
(1)当|a|>1时,Φ;
(2)当|a|=1时,{x|x=2kπ+arccosa,k∈Z};
(3)当|a|<1时,{x|x=2kπ±arccosa,k∈Z}。
(3)tgx=a的解集。
{x|x=kπ+arctga,k∈Z}。
(4)ctgx=a的解集。
{x|x=kπ+arcctga,k∈z}。
说明:解三角方程时,解也可不用解集表示。
【形如asinα+bcosα=c的三角方程的解法】
解asinx+bcosx=c一般的步骤是把方程两边都除以a,得sinx+bacosx=ac。令tg=ba代入得sinx+tgcosx=ca。
sinx+sincoscosx=ca。
sinxcos+cosxsin=cacos。
即sin(x+)=cacos。
x+=2kπ+arcsin(cacos)
x+=(2k—1)π—arcsin(cacos)
x—2kπ—+arcsin(cacos)
x=(2k+1)π——arcsin(cacos),k∈Z。
【解三角方程的增根、遗根问题】
方程增根,遗根产生是由于方程变形破坏了方程的同解性,常见现象有:
(1)用含有未知数的式子乘以方程的两边,可能产生增根。
(2)两边平方可能产生增根。
(3)在方程变形过程中,扩大了未知数的取值范围可产生增根。
(4)用含有未知数的式子除方程的两边,可能产生遗根。
(5)如方程变形缩小了定义域,可能产生遗根。
【解三角形】已知三角形的三个元素(至少有一个边)求其他元素叫解三角形,三角形的元素指它的边和角。
【正弦定理】在一个三角形中,各边和它所对角的正弦比相等。
asinA=bsinB=csinC=2R。
(2R是ABC外接圆的直径)。
说明:定理可以变形如ab=sinAsinB,a=2R·sinA,………
【余弦定理】三角形任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
a2=b2+c2-2bccosA;
b2=a2+c2-2accosB;
c2=a2+b2-2abcosC。
说明:(1)定理经常变形,如cosA=b2+c2—a22bc,cosB=a2+c2—b22ac,cosC=a2+b2—c2ab等。
(2)当有一个直角的三角形时,如∠C=90°这时c2=a2+b2-2ab·cos90°=a2+b2。可见勾股定理是余弦定理的特例。
【射影定理】
在直角三角形中,斜边上的高等于两直角边在斜边上射影的比例中项;每条直角边平方等于斜边和它在斜边上射影的乘积,ABC中∠C=90°。CD⊥AB。a,b,c为边,h为斜边上的高,b’、a’为b、a在斜边C上的射影。h2=a’b’;a2=a’c;b2=b’c。即h2=abcosAcosB;a2=accosB;b2=bcosA。
【三角形面积的求法】常用的有:
(1)S=12bhb=12aha=12chc,
ha、hb、hc为a、b、c边上的高。
(2)S=12absinC=12acsinB=12bsinA。
(3)=s(s—a)(s—b)(s—c),
这个公式称为海伦公式。
例试证明海伦公式=s(s—a)(s—b)(s—c)
s=12(a+b+c)
证=12absinC。(0°<C<180°)
=12ab1—cos2C=12ab(1—cosC)(1+cosC)
12ab(1+a2+b2—c22ab)(1—a2+b2—c22ab)
=ab2(a+b)2—c22ab·c2—(a2—b2)2ab。
=ab2(a+b+c)(a+b—c)(a+c—b)(c—a+b)4a2b2。
=ab2·2ab·(a+b+c)(a+b—c)(a+c—b)(c—a+b)=14。
(a+b+c)(a+b—c)(a+c—b)(c—a+b)
令2s=a+b+c,s=12(a+b+c)
a+b—c=2s—2c=2(s—c)
a+b—c=2s—2b=2(s—b)
b+c—a=2s—2a=2(s—a)代上式=142s·2(s—a)·2(s—b)·2(s—c)
=s(s—a)(s—b)(s—c)。
说明:已知三角形三边,求面积用它较为直接。
【直角三角形的解法】(1)解的主要根据:
(1)两锐角互余:当C=90°时,A+B=90°
(2)勾股定理:∠C=90°,a2+b2=c2。
(3)锐角三角函数定义。
(2)典型题:已知。
(1)斜边、锐角;(2)斜边、直角边;(3)直角边、锐角;(4)两直角边。
【正弦定理】
asinA=bsinB=csinc。
【余弦定理】
a2=b2+c2—2bccosAcosA=b2+c2—a22bc;
b2=c2+a2—2cacosBcosB=c2+a2—b22ca;
c2=a2+b2—2abcosCcosC=a2+b2—c22ab。
【斜三角形的解法】
(1)解法主要根据:
(1)三角形内角和A+B+C=180°;
(2)正弦定理;
(3)余弦定理。
(2)典型题的解法:
(1)已知两边一夹角解三角形,先用余弦定理;
(2)已知三边解三角形,先用余弦定理;
(3)已知两角一边解三角形,先用正弦定理;
(4)已知两边一对角,解三角形,先用正弦定理,它的解,情况如下表:
A>90°A=90°A<90°
a>b一解一解一解。
a=b无解无解一解。
a<b无解无解。
a>bsinA无解。
a=bsinA一解。
a<bsinA无解。
【测量中常用的角】
(1)方向角由两个地理方向中间所夹锐角度数所表示。如东40°北,南30°东等。
一般只用两个相邻的方向,角度不超过90°,角的方向和叙述的方向一致。
东北,西南,西北,东南是指在两个方向间夹着45°角。
(2)方位角由北做为起始边,顺时针所成的角,如方位角150°,即指东60°南的位置。
(3)仰角当视线在水平线上方时,由视线和水平线所成的角叫仰角。
(4)俯角当视线在水平线下方时,由视线和水平线所成的角叫俯角。
(5)视角由一点出发的两条视线所夹的角叫视角,一般这两条视线过被观察物的两端点。