南宋杨辉在《详解九章算法》一书中，把“益”、“从”、“除”和“消”，分别改为了“加”与“减”，这就使正负与加减的关系显得更加明确。元代的朱世杰写成了《算学启蒙》一书。在这本着作中，他首次将“正负术”的概念写入书中的《总括》，还提出了正负数的乘法法则。这种研究成果标志着正负数研究迈出了新的步伐。
公元630年，在印度的婆罗摩笈多，小点、圆圈成了表示负数的符号。希腊的数学家丢番图在解一个方程的时候，也运用了负数的概念。这些情况表明，中国人对正负数的认识，与印度相比要早7个世纪，与欧洲相比，则提前了10个世纪之久。
小数的由来
小数点，这个看起来微不足道的符号，是在欧洲文艺复兴时期出现的。但小数这个概念，则是中国人首先提出来的。
自古以来，中国人计算数值时，总是使用十进制计数法，很容易形成十进制分数，即小数。小数的出现，与测量的关系非常大。用尺子量东西，遇到不足一个测量单位的，就需要用更小的单位来表示。这些非常小的单位，是原单位的1/10、1/100、1/1000……汉代的数学家刘歆，在一篇为标准量器所写的铭文中，提到的一个长度已准确到9.5个单位。
魏晋时期，在数学家刘徽的着述中，首次提到了小数。他在计算圆周率的过程中，用到尺、寸、分、厘、毫、秒、忽7个长度单位；对于忽以下更小的单位，他就统称为“微数”。他还记述了一个1.355尺的直径。
其实，数学专着《九章算术》已经谈到平方根和得到的非整数的解，对留有余数的计算结果进行了详细说明。但他并不满足于余数，对一系列的十进制小数位用“微数法”进行表示。
南北朝的数学大师祖冲之，在计算圆周率的过程中，求得直径为1丈的“圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽”，这就是人们常常提到的圆周率。他计算出的圆周率，在3.1415926～3.1415927之间，精确到了小数点后6位。
宋元之际，人们提到小数概念时显得更加明确了。杨辉在《日用算法》一书中，提到了斤两换算的口诀：“一求，隔位六二五；二求，退位一二五。”用现在的话说，1/16等于0.0625，2/16等于0.125。这里的“隔位”、“退位”，已与后世小数点位置的含义相似。
秦九韶曾写有《数术九章》一书，在该着作中，他把单位注在表示整数部分个位的筹码之下。这实际上是世界上最早的小数表示法。
欧洲和阿拉伯国家，长期使用古巴比伦的60进位制。因此，10进制小数在那里受到了限制。15世纪初，中亚有一个名叫阿尔·卡西的数学家，他是外国首位应用小数的人。他在《算术之钥》这部着作中，提出了10进分数与60进分数之间的互换法则。
至于欧洲的数学家，他们直到15世纪末才开始进行小数的研究。1492年，佩洛斯的《算术》一书写成，这部书是欧洲最早提到小数的学术着作。而小数点的使用，是1585年斯特文在《论十进》一书中才明确下来的。
十进制的由来
“满十进一”，指的是数学方面较为重要的“十进位制”。
中国是全球最早发明和使用十进制的国家。在古代中国，以一、二、三、四……这类符号来记数有悠久的历史。至迟在商周之际，中国人已经使用了十进制的计数法。
英国人李约瑟在《中国科学技术史》一书中，高度评价了十进位记数法。他指出：“总的说来，商代的数字系统，是比古巴比伦和古埃及同一时代的字体更为先进，更为科学的。”至迟在公元前3世纪的战国，中国人对十进位制的算筹记数法，已经掌握得非常纯熟了。
在古代，世界上使用十进制的国家并不太多，而十二进制和十六进制在外国则极为盛行。在秦朝以前，中国的度量衡制度并没有得到统一，四进位、六进位、八进位和十进位制都得到应用。
秦始皇统一中国后，制定了统一度量衡制度的法令，以实现四海一家的梦想。到西汉末年，全国通用的新标准在制定后得到贯彻，除“衡”的单位以外，全国已基本上使用十进位制。到了唐朝，衡的单位又多了“钱”这个成员。
1“钱”，就是1/10“两”。人们还发明了“钱”以下的十进制单位，包括“分”、“厘”、“毫”、“丝”、“忽”等。后来，“斤”以上的“均”、“石”两个单位被政府废除，改用“担”这个单位。
可是，“担”、“斤”、“两”这三个单位，都不是十进位制的单位。“担”与“斤”是百进位制，1担等于100斤；“斤”与“两”是十六进位制，1斤等于16两。
除了关于度量衡的实践以外，数学家写下的大量着作中，记载了很多反映十进制的事实。汉代徐岳在《数术记遗》中说：黄帝早就制定规矩，把数分为十等。而在实际的运用中又出现了下数、中数、上数三等的划分。
下数“十十变之”，十万曰亿，十亿曰兆，十兆曰京；中数“万万变之”，万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京；上数“数穷则变”，万万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京。这就是说，万以上的数有各种相异的记数法，如十进、万进等等。
在世界范围，印度使用十进位制也很早，但与中国相比则晚了1000年。在欧洲，法国是使用十进位最早的国家。1799年，政府规定将十进制度量衡单位作为正式的计量单位。1840年，法国在全国统一使用十进制。但中国在这方面，比法国提前了2000年。
二进制的由来
17世纪时，莱布尼茨在哲学和数学两方面都取得了巨大成绩。他很赞成二进位制，认为二进制算术具有深刻的理论逻辑意义。他在给中国传教的布维特信中说，推行二进制算术，能对传教事业起到促进作用。
没想到，布维特却回信说，他已在中国着作《易经》中见到了二进制算术，据说《易经》在中国已有3000年的历史了。莱布尼茨看到信后非常惊异。于是，他发表了一篇论文，认为是中国人发明了二进制算术。
当时，布维特所看到的《易经》，是邵雍在11世纪编辑的版本。尽管64卦确实包括两条直线，但在布维特之前，并没有人把这当做二进制算术。
而在日后，二进制算术已成为计算机技术中的一个关键环节。在20世纪，二进制无人不知。1932年，温·威廉斯正在剑桥卡文迪许实验室从事研究工作。他设计了一种用来数粒子的高速电子计数器。这种计数器是把数目存储在一个“二进制的刻度盘上”。
1938年，法国计算机专家库菲格纳尔提出，可以将二进制算术用于计算机技术之中。几乎与此同时，衣阿华州立大学的物理学家亚塔纳索夫，正在研究如何在电子方程计算机上运用二进制的原理，他向毛奇利描述了他的机器。
后来，毛奇利在宾夕法尼亚大学穆尔电气工程学院工作，并被分配到一个研究小组进行研究。这个小组为现代的通用数字电子计算机提出了最早的设计方案。
后来，纽曼在宾夕法尼亚研究小组的总结报告中说：“虽然按十进制制造数字计算机，符合长期以来形成的传统，但我们很想按二进制来设计我们的设备。”从此以后，二进制算术真的成为计算机语言。
有人指出，没有二进制，就不会出现今天的电子计算机。
阿拉伯数字的由来
要进行商品交换，就需要数数。在古代，一个农民如果仅仅与自己的家人一起生活，从自己耕种的土地和周围的大自然中收获，也许就不需要计量。但他如果碰到另外一个农民，而这个农民所种的庄稼与他的不一样，他们就会有交换的需要。更多的人之间，各自有自己的产品，交换、计数就显得更加有必要了。
早期的人类智力不发达，和儿童一样。他们数起数来，有时会扳起手指头来计数。可以说，人类最早的计算器就是手指头。
随着人类文明的进步，像人们喜欢用文字记录语言一样，人们对数字符号也有同样的需要。于是，各种算术系统在全球各地迅速得到应用。
人们所说的阿拉伯数字，是在2500年前出现的，它的发明其实应归功于印度人。后来，欧洲人从阿拉伯人那里学到了这些数字，就以为它的发明者是阿拉伯人。
在公元前3世纪的阿索卡的佛像雕刻中，数字1、4和6已经出现。而在100年后的纳纳加特纪念碑上，人们又发现了2、4、6、7和9这些数字。大约在2世纪，除8以外的所有的阿拉伯数字都出现在书籍中。而数字0则是从中国传到印度的。
在印度境外，美索不达米亚人最先使用阿拉伯数字。公元650年，美索不达米亚主教塞波克特写下了一份笔记，该笔记就准确地提到了印度数字的确切的资料，只是没有提到0。到8世纪末，阿拉伯帝国的巴格达地区成功地翻译出印度的天文表，阿拉伯学者才知道这些数字及其含义。
公元825年，一个名叫花刺子模的学者写了一本《论数字》的小书。300年后，巴思的阿德拉德将其译成拉丁文。只是能读懂拉丁文的欧洲人不多，所以这部着作并没产生多大影响。
人们在西班牙发现了公元976年的手稿。这份手稿说明，在那个时期，欧洲人才了解了阿拉伯数字。
其实，不管阿拉伯数字到底是哪一国的产物，它对整个人类社会的重要影响是不言自明的。甚至，阿拉伯数字实际上成为人类最通用的语言。
加速器的由来
在居里夫人成功地发现了镭之后，近半个世纪对原子的研究，都没有出现新的进展。那个时候，人们缺乏倍数足够大的显微镜来观察原子，更不用说观察比原子更小的核子了。
早在1919年，英国物理学家卢瑟福就产生了一个重要的科学设想：用氦核对氮原子进行攻击，使若干氮原子转变成氧原子。1932年，英国物理学家查德威克发现了中子，科学家们非常兴奋，于是信心百倍地参与到这个新领域之中。
1931年，为加利福尼亚大学服务的劳伦斯教授通过不懈努力，设计出一种“回旋加速器”。这台机器虽然不大，直径连12厘米都不到，但内部却极为精密。它沿环形轨道加速原子核的粒子，最多能把粒子加速到125万电子伏。
从原理上说，加速器与小孩儿荡秋千非常相似，它的运转由于不断推动而加快速度。在粒子加速器中，粒子在两个强的电磁极之间通过，电磁极对粒子施加推力，一直到最高速度，这就意味着能量得到很大增加。
最后，当粒子束的能量达到理想程度时，就用磁场使它偏折，对靶子材料中的原子核进行轰击。从射入粒子与原子核碰撞的情况，可以获知有关物质结构的许多情况。整个“加速”、“轰击”过程，可以拍成照片，作为科学工作者分析的材料。
人们通过速度、质量、电荷和别的特性，能够看出轨迹照片。这就为科学家正确分析原子、核子、中子提供了技术上的条件。
