四色猜想
四色猜想是世界近代三大数学难题之一。它是由英国的弗南西斯·格思里首先提出的。
1852年格思里从伦敦大学毕业后，来到一家科研单位搞地图着色工作。细心的他发现：在一幅正规地图中，凡是有共同边界的国家，都可以最多只用四种颜色着色，就能把这些国家区别开来。他把这个有趣的现象写信告诉了在大学读书的弟弟。兄弟俩想从数学上加以严密论证，但是二人苦思冥想了很长时间，论证的草稿堆了一大堆，仍然毫无头绪。
弟弟只好请教他的老师、著名数学家德·摩尔根，摩尔根经过研究也没有找到解决这个问题的途径，但也不能否认它。于是他写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。哈密尔顿接到摩尔根的信后，很感兴趣，他决心对四色问题进行论证。但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。于是这个问题便以“四色猜想”的名字留在了近代数学史上。
著名的英国数学家凯利把“四色猜想”通报给伦敦的数学学会会员，征求解答。数学界顿时活跃起来，很多人跃跃欲试，想证明自己的能力。
著名的律师兼数学家肯普宣布证明了四色猜想并提交了论文。紧接着，泰勒两人也提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理。至此，人们以为四色定理的问题已经解决，很少有人过问。然而还有一个数学家赫伍德，并没有放弃对四色问题的研究，他花费了毕生的精力致力于四色研究，前后整整60年。终于在19世纪末，也就是肯普宣布证明了四色定理的11年之后，赫伍德发表文章，指出了肯普证明中的错误。不久，泰勒的证明也被人们否定。四色猜想的论证又陷入不可知的状态。
人们意识到四色猜想并不是那么简单的问题。许多科学家在前辈研究的基础上又开始了四色猜想的证明，美国数学家富兰克林证明了22国以下的地图都可以用四色着色。11年后，有人从22国推进到35国。10年后，有人又证明出39国；随后又推进到了50国。然而，这种证明的推进十分缓慢。
计算机的发明给四色猜想的论证带来了希望。美国数学家阿佩尔与哈肯，在美国伊利诺斯大学的3台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。四色猜想的计算机证明，轰动了世界。虽然四色定理本身没有什么突出的理论价值和实际价值，但是它解决了一个历时一百多年的难题，而且有可能成为数学史上一系列新思维的起点。但是不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们仍在努力地寻找一种简洁明快的书面证明方法，使四色猜想的论证更加完美。我们期待着那一天的到来。
地图上的四种颜色就可以把不同的国家区别出来，看似简单的四色猜想至今却没有人能完全证明，数学问题是多么深奥呀！还有更多有趣的数学问题等待我们去发现。
费马猜想
“费马猜想”通常也叫做“费马大定理”或“费马最后定理”。它是17世纪法国卓越的数学家费马提出的。
费马生于法国，自幼就受到良好的教育。他少年时代，聪明好学、才思敏捷，尤其对数学表现出了极其浓厚的兴趣。
但是由于家庭关系，费马在大学里攻读的是法律，毕业后当上了律师，后来做了官。他业余时间博识广闻、饱览群书，由于他精通数学，因而被誉为“业余数学家之王”。
费马有个“不动笔墨不读书”的习惯，读书时爱在书上勾勾画画，圈点批注，抒发见解与议论。
一天，费马在阅读古希腊大数学家丢番图的《算术》一书时，在书页边的空白处写下了一段话。历史上戏称这个定理叫做“书页边上的定理”，即：
“任何一个数的立方不能分解为两个立方之和；任何一个数的四次幂不能分解为两个四次幂之和；更一般的，除二次幂外，两个数的任何次幂的和都不可能等于第三个具有同次幂的数。”
费尔马的这段笔记，用数学语言表达，就是：形如an＋bn=cn的方程，当n＞2时，不可能有正整数解。这就是有名的“费马大定理”或“费马猜想”。
接着他又写下了附加的评注：“我对此命题有一个十分绝妙的证明，这里空白太小，写不下。”这就是说，费马认为他证明了上面的结论。事实上，人们遍寻费马的手迹，并没有发现这一“绝妙的证明”，而只看到对于n=4的情形的证明。
费马逝世后，由于一直找不到这个猜想的证明，于是引起了许多数学家的兴趣。如莱布尼茨、欧拉、高斯、阿伯尔、狄利克星、柯西以及库莫尔等著名数学家都试证过，均没有得到普遍的证明。
具体说来，n=4的情形除了费马本人已有证明外，莱布尼茨和欧拉也给出了它的证明。18世纪60年代，欧拉又证明了n=3时不定方程没有正整数解；还有71岁高龄的老数学家勒尚德和年仅20岁的青年数学家狄利克星均各自证明了当n=5时的费马猜想。
到了19世纪中期，研究“费马猜想”正处于一个高潮之中。法国科学院曾先后两次以两千法郎的奖金进行悬赏征求解答，应征者虽然大有人在，但没有一份解答是正确的。
20世纪初，德国哥延根皇家科学院又将“费马猜想”征求解答，悬赏奖金提高到十万马克，限期一百年。消息传出后，在几年之内，应征者大量涌现，但其论证之方法仍无一正确者。
为了寻求费马大定理的解答，三个多世纪以来，一代又一代的数学家们前赴后继。历史性的转变发生在1993年6月21日至23日这三天，当时在普林斯顿数学系任教的40岁的怀尔斯正在英国剑桥大学举行一次约有40至60人出席的数学会议上，每天做一段演讲，题目是“模形式，椭圆曲线和伽罗华表示”。从题目上看不出他要讲的是费马大定理，但是他演讲的最后一句话是：“这表明费马大定理成立，我的证明完毕。”
怀尔斯的证明引起了数学界的很大关注，他的初稿虽然有少许瑕疵，但是稍后被怀尔斯自己修正过来。纽约时报曾发表了题为“安德鲁·怀尔斯放出数学卫星，350年的古老问题已被攻克”的有关报道。
安德鲁·怀尔斯经过8年的孤军奋战，用130页长的篇幅证明了费马大定理。怀尔斯成为整个数学界的英雄，声望和荣誉接踵而来。1995年，怀尔斯获得瑞典皇家学会颁发的Schock数学奖，1996年，他获得沃尔夫奖，并当选为美国科学院外籍院士。
然而，怀尔斯说：“费马大定理是我一生的理想，我为之奋斗，充满激情……那段特殊漫长的探索已经结束了，我的心已归于平静。”
如果没有那小小的空白，就不会有著名的费马猜想，不会有后人纷繁多样的思索，不会有无数科学家废寝忘食的证明，更不会有从证明过程中无意发现的其他定理。空白，并不一定是残缺。就像我们国画中的留白，有时候，小的空白，也是一种境界。
费马数猜想
费马数最先由费马提出，让我们先从费马说起。
费马，最初从事律师职业，空闲时间钻研数学。时间的多少并不能决定成绩的大小。虽然费马从三十岁才开始认真研究数学，但是他取得的成绩不亚于一流的数学大师。他在几何学、概率论、微积分和数论等众多数学领域里都留下了自己的足迹，尤其在数论方面，奠定了近代数论的基础，被称为“近代数论之父”。
在数学的研究中，费马发现：当n取0、1、2、3、4时，式子22n+1对应的值（3、5、17、257、65537）都是素数。于是费马认为形如22n+1的数都是素数，但是费马没有找到证明的方法。这个猜测就是费马数猜想，并用Fn表示费马数。
费马数猜想是否正确呢？在没有找到推理方法之前，任何人都不能轻易下结论。费马没有证明就凭直觉作出判断，是否太轻率呢？但是不管怎样，费马数的研究还是吸引了很多人。
1732年，即费马死后67年，25岁的欧拉证明了F5是一个合数，从而说明费马的结论是不正确的。此后人们对更多的费马数进行了研究。6年后，卢卡斯改进了欧拉的成果。
这一结论奠定了人们寻找大的费马合数的理论基础。20世纪初，莫瑞汉德与韦斯坦证明F7是合数。接着，这两位数学家利用同样的方法证明F8是合数。20世纪70年代后期，威廉姆找到F3310 的一个因子：5×3313+1，从而证明它是合数。20世纪80年代初，人们找到F9948的一个因子：19×29450+1，从而证明它是合数……
随着电子计算机的发展，计算机成为数学家研究费马数的有力工具。但是，在所知的费马数中竟然没有再添加一个费马素数。迄今为止，费马素数除了被费马本人所证实的那五个外竟然没有再发现一个！如果再不可能发现费马素数，那么费马的猜测将是多么荒唐，费马真的错了吗？
18世纪末，19岁的高斯宣布他发现了正十七边形的尺规作图方法，这个发现不仅震惊了数学界，也给费马数的证明带来了希望。高斯继续研究得出了如下结论：具有素数p条边的正多边形可用尺规作图的必要条件是p为费马数。由于我们现在得到的费马素数只有前五个费马数，那么可用尺规作图完成的正素数边形就只有3、5、17、257、65537。简单地说，能作出奇数边的正多边形数都是这五个费马数的组合。
“数学王子”高斯的结论对费马数的研究产生了历史性突破。此后，人们对费马数的证明重新燃起了兴趣。
借助计算机的帮助，人们得出费马数的许多新发现。如今，人们找到了具有746190位数的费马素因子：3×22478785+1，由此人们得到了截至目前最大的费马合数F2478782。2003年11月1日，有研究成果宣布：一个新的费马素因子1054057×28300+1被发现，这同时意味着又一个费马合数F8293的产生。
当然，费马数的研究还在继续。
费马数猜想几经波折，终于被高斯证明费马的猜想是可以实现的。世间本没有什么不可能，只要我们齐心协力，只要我们努力去做，任何困难都能解决。
哥德巴赫猜想
哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一，最先由哥德巴赫提出。
哥德巴赫生于德国哥尼斯堡，从小受到良好的教育。他是一位业余的数学爱好者，闲暇之余喜欢研究数学，因此结交了许多数学家，而且经常与他们通信往来。
18世纪中期的一天，他给好友——俄国彼得堡的大数学家欧拉写了一封信。信中提出这样两个问题：第一，是否每个大于4的偶数都能表示为两个奇质数之和？如6=3+3，14=3+11等。第二，是否每个大于7的奇数都能表示3个奇质数之和？如9=3+3+3，15=3+5+7等。欧拉在回信中说，他相信这个猜想是正确的，虽然他不能给出证明，这就是著名的哥德巴赫猜想。它是数论中的一个著名问题。从此，这道数学难题引起了几乎所有数学家的注意。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望而不可即的“明珠”。
哥德巴赫猜想的第一个问题又叫奇数的猜想，第二个问题又叫偶数的猜想。实际上第一个问题的正确解法可以推出第二个问题的正确解法，因为每个大于7的奇数显然可以表示为一个大于4的偶数与3的和。
哥德巴赫猜想引起了成千上万的数学家对它的兴趣，人们很想摘到这颗“明珠”。然而，近200年过去了，没有人证明它。直到20世纪20年代，对于偶数猜想，才有人开始向它靠近。从1920年到1937年，外国和中国的一些数学家先后证明了“7 + 7”“6 + 6”“5 + 7”，“4 + 9”，“3 + 15”和“2 + 366”等命题。 哥德巴赫猜想的论证进展缓慢，但是已有了一定的成果，这使得后人一直没有放弃努力。
1937年，苏联数学家维诺格拉多夫利用他独创的“三角和”方法证明了每个充分大的奇数可以表示为3个奇质数之和，基本上解决了第二个问题，但是第一个问题仍未完全解决。由于问题实在太困难了，数学家们开始研究较弱的命题：每个充分大的偶数可以表示为质因数个数分别为m、n的两个自然数之和，简记为“m+n”。
这个迂回战术又给科学家们以很大的帮助。20世纪三四十年代科学家们又证明了“5 + 5”，“4 + 4”“1 + c”，其中c是一很大的自然数。1956年，中国的王元证明了“3+4”。1957年，中国的王元先后证明了“3+3”和“2+3”。1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了“1+5”，中国的王元证明了“1+4”。中国的学者对哥德巴赫猜想的证明作出了巨大的贡献，这是有目共睹的。
1965年，苏联的布赫夕太勃和小维诺格拉多夫，以及意大利的朋比利证明了“1+3”。
1966年，中国的陈景润证明了“1+2”。这一结果被称为“陈氏定理”，至今仍是最好的结果。陈景润的杰出成就不仅使他得到广泛赞誉，也显示了以陈景润为代表的一大批中国数学家的实力和他们不畏艰险、坚持不懈的精神。至此，中国在哥德巴赫猜想的证明上处于领先地位，得到了世界数学界的认可。
现在，还有“1+1”的证明没有解决。谁能攻克“1+1”这个难题呢？让我们拭目以待。
提出问题，而后解决问题。找出疑难，然后攻克它，科学就是这样一步一步越走越远。
黎曼猜想
黎曼猜想、庞加莱猜想、霍奇猜想、波奇和斯温纳顿―戴尔猜想、纳威厄―斯托克斯方程、杨―米尔理论、P对NP问题被称为21世纪七大数学难题。
美国克雷数学研究所将它们设为“千年大奖问题”，每个难题悬赏100万美元征求证明。
据专家们说，黎曼假设一旦被攻克，将对加密学有帮助。其余的难题一旦破解，将会给航天、物理等领域带来突破性进展，并会开辟全新的数学研究领域。
我们先来说说黎曼。黎曼1826年出生于德国，父亲是一位牧师。他小的时候喜欢历史，对古代战争故事很感兴趣。当他接触了数学后，马上被数学吸引，常常出一些数学题给他的姐妹弟弟做。在学校里，他的数学成绩非常突出。他学得很快，已经超越老师所讲的内容，于是他开始向老师借阅更多的数学著作来读。有一次，他向老师借了《数论》，不到一个星期就还回来了。老师惊奇地问：“你都读懂了吗？”黎曼回答说：“这本书很奇妙，我都懂了。”后来他再没有碰过这本书。毕业时，老师从《数论》中出了几道题考他，他居然答得非常好。
大学里，黎曼学的是哲学和神学，因为父亲希望他成为神学家。但是，黎曼对数学的热爱有增无减，他选读了数学的课程，后来又转到柏林大学专门学习数学。
