朗兰兹详述了他未来的计划，并试图说服其他数学家参加到他这个被称为朗兰兹纲领（Langlandsprogramme）的计划之中，齐心协力来证明他的猜想金字塔。似乎没有明确的方法来证明这种不确定的链环，但是如果这个梦想成为现实的话，那么其回报将是巨大无比的：
在某个数学领域中无法解答的任何问题，却可以被转换成另一个领域中相应的问题，而在那里有一整套新武器可以用来对付它。如果仍然难以找到解答，那么可以把问题再转换到另一个数学领域中，继续下去直到它被解决为止。214根据朗兰兹纲领，有一天数学家们将能够解决他们的最深奥、最难对付的问题，办法是带着这些问题周游数学王国的各个风景胜地。
对于应用科学和工程技术，这个纲领也有重要的含义。不管是模拟碰撞的夸克之间的相互作用，还是找出组织通讯网络的最佳方案，解决问题的关键常常是要做数学计算。在一些科学和技术领域中，这些计算是如此地复杂以至于这个领域的进展遭到严重的阻碍。
只要数学家们能证明朗兰兹纲领中的链环猜想，那么就像解决抽象问题一样，也存在解决现实世界问题的捷径。
到了70年代，朗兰兹纲领已经成了对数学的未来的一份蓝图，但这条通向问题解答者的天堂的道路却被一个简单的事实所阻挡，即对于如何证明朗兰兹的任何一个猜想还没有人有任何切实可行的想法。这个纲领中最强有力的猜想仍然是谷山志村猜想，但即使是对它，似乎也无法证明。谷山志村猜想的证明将会是实现朗兰兹纲领的第一步，正因为如此，它成了现代数论中最有价值的猜想之一。
尽管还是个未被证明的猜想，谷山志村猜想依然成百次地在数学论文中被提到，这些论文探究如果它被证明那么会出现些什么结果。这些论文会以一段清楚的防止误解的说明“假定谷山志村猜想是对的……”开始，然后接下去概要叙述对某个未解决问题的解答。
当然，这些结果本身也只能是假设性的，因为它们依赖于谷山志村猜想是对的这个前提。215这些新的假设性的结果反过来又被组合进别的结果中，最后形成了大量的依赖于谷山志村猜想的正确性的数学。这一猜想于是成了一幢新的数学大厦的基石，但是在这一猜想被证明之前这幢大厦是极其脆弱的。
那个时候，安德鲁·怀尔斯是剑桥大学的青年研究人员。他回忆20世纪70年代在数学界中蔓延的那阵惊惶：“我们构造了越来越多的猜想，它们不断地向前方延伸，但如果谷山志村猜想不是真的，那么它们全都会显得滑稽可笑。因此我们必须证明谷山志村猜想，才能证明我们满怀希望地勾勒出来的对未来的整个设计是正确的。”
数学家们已经构造了一座由纸板组成的易倒的房子，他们梦想有一天某个人会给他们的建筑物提供坚实的基础。他们也不得不整天提心吊胆地担心有一天某个人会证明谷山和志村事实上是错的，结果使花了20多年时间所做的研究彻底崩溃。
遗失的链环
1984年秋，一群优秀的数论家聚集在一起参加在德国黑森林州中部的一个小城奥伯沃尔法赫举行的讨论会。他们聚在一起讨论椭圆方程研究中的各种突破性工作，自然也有些演说者会偶尔报告他们在证明谷山志村猜想上所取得的小进展。其中一位演说者——来自萨尔布吕肯的格哈德·弗赖（GerhardFrey）虽然没有对如何216解决这个猜想提供任何新的想法，但是他确实提出了引人注目的论断，即如果有人能证明谷山志村猜想，那么他们也立即能证明费马大定理。
当弗赖站起来准备演讲时，他先写下了费马方程：
xn+yn=zn，这里n＞2。
费马大定理说这个方程不存在整数解，但弗赖则探索如果大定理是错的，即至少有一个解，那么会出现什么结果。弗赖对于他的这个假设的不寻常的解可能是怎样的毫无想法，所以他把这些未知数用字母编号为A，B和C：
AN+BN=CN。
然后弗赖开始“重新安排”这个方程。这是一个严格的数学程序，它改变这个方程的外貌但保持它的完整。通过一系列熟练的复杂的演算，弗赖使具有这个假设解的费马方程变成为：
y2=x3+（AN-BN）x2-ANBN。
虽然这种重新安排似乎与原来的方程非常地不同，但它是假设有解的直接结果。也就是说，如果（注意这是一个大假设）费马方程有一个解，即如果费马大定理是错的，那么这个重新排列得到的方程也一定存在。起初，弗赖的听众并未对他的重新排列特别留神，但接着，他指出这个新方程事实上是一个椭圆方程，尽管它相当复杂和古怪。217椭圆方程的形式为：
y2=x3+ax2+bx+c，但如果我们令a=AN-BN，b=0，c=-ANBN，则很容易理解弗赖方程的椭圆性质。
通过将费马方程转变为一个椭圆方程，弗赖将费马大定理和谷山志村猜想联系了起来。然后，弗赖向他的听众指出，他的由费马方程的一个解做出的椭圆方程是非常稀奇古怪的。事实上，弗赖声称他的椭圆方程是如此不可思议以至于它的存在产生的影响将毁灭谷山志村猜想。
记住弗赖的椭圆方程只不过是一个虚拟的方程，它的存在是以费马大定理是错的这个事实为条件的。然而，如果弗赖的椭圆方程确实存在，那么它是如此地古怪以至于它似乎不可能与一个模形式相关。但是谷山志村猜想断言每一个椭圆方程必定与一个模形式相关。于是，弗赖方程的存在就否定了谷山志村猜想。
换言之，弗赖的推理如下：
（1）当（且仅当）费马大定理是错的，弗赖的椭圆方程存在。
（2）弗赖的椭圆方程是如此地古怪以致它绝不可能被模形式化。
（3）谷山志村断言每一个椭圆方程必定可以模形式化。
（4）因而，谷山志村猜想必定是错的!
另一种选择，218也是更重要的，弗赖能够反方向进行他的推理：
（1）如果谷山志村猜想能被证明是对的，那么每一个椭圆方程必定可以模形式化。
（2）如果每一个椭圆方程必定可以模形式化，那么弗赖的椭圆方程就不可能存在。
（3）如果弗赖的椭圆方程不存在，那么费马方程不能有解。
（4）因而费马大定理是对的!
格哈德·弗赖最终得到了戏剧性的结论：费马大定理的真实性将是谷山志村猜想一经证明之后的直接结果。弗赖断言，如果数学家能证明谷山志村猜想，那么他们将自动地证明了费马大定理。几百年来第一次，世界上最坚硬的数学问题看起来变得脆弱了。根据弗赖的说法，证明谷山志村猜想是证明费马大定理的唯一障碍。
虽然弗赖的杰出见解给听众们以深刻的印象，但他们也因他的逻辑中的一个初级错误而愣住了。除了弗赖本人之外，演讲厅里的几乎每一个人都觉察到了这一点。这个错误似乎并不严重，不过由于它的存在，弗赖的工作是不完全的。谁能首先纠正这个错误，谁就赢得将费马和谷山志村联系起来的荣誉。
弗赖的听众们冲出演讲厅，奔向复印室。219一个报告的重要性常常可以从等待复印讲稿的队伍的长短得出结论。一旦他们拿到一份完整的弗赖的论证纲要，他们就回到各自的研究所，开始设法填补这个缺陷。
弗赖的论证依赖于这个事实：他的从费马方程导出的椭圆方程是如此地古怪以致它不可能模形式化。他的工作是不完全的，因为他并没有十分清楚地证明他的椭圆方程是足够古怪的。只有当某人能证明弗赖的椭圆方程有绝对的古怪性，那么谷山志村猜想的证明才会隐含着费马大定理的证明。
起初，数学家们相信证明弗赖的椭圆方程的古怪性应该是相当常规的。乍看之下，弗赖的错误似乎是初级的，并且当时在奥伯沃尔法赫的每个人都认为弥补它将只是一场看谁能最快地改组代数的比赛。人们期待的是几天之内会有人发出一个电子邮件，描述他们已经如何证明了弗赖的椭圆方程的真正的古怪性。
一个星期过去了，没有这种电子邮件出现。几个月过去了，期望着的一场疯狂的数学冲刺正在变成一场马拉松长跑。仿佛费马依然在嘲弄和折磨着他的后继者。弗赖概要地叙述了一种诱人的证明费马大定理的策略，但甚至连初等的第一步，即证明弗赖假设的椭圆方程不能模形式化，也难住了全世界的数学家们。
为了证明一个椭圆方程不能模形式化，数学家们正在寻找与第四章中描述的那些不变量相类似的不变量。扭结不变量可以证明一个扭结不能转变成另一个扭结，洛伊德的智力游戏中的不变量可以证明他的14-15游戏盘不可能变换到正确的排列。如果数论家们能发现一个适当的不变量来刻画弗赖的椭圆方程，那么他们能证明：不管对它做什么变换，它永远不能变换成一个模形式。
在那些辛勤地证明和221完成谷山志村猜想和费马大定理之间的联系的人当中，有一位是加利福尼亚大学伯克利分校的教授肯·里贝特。自从目睹了奥伯沃尔法赫的演讲之后，里贝特一直痴迷于尝试证明弗赖的椭圆方程太古怪以致不能模形式化这一点。经过18个月的努力，他和其他所有人一样没有得到任何结果。后来，在1986年的夏天，里贝特的同事巴里·梅休尔教授访问伯克利并出席国际数学家大会。这两位朋友因为到斯特拉达咖啡店喝卡布奇诺咖啡而碰巧遇到，并开始谈论一些不走运的人和事，抱怨起数学的现状来。
渐渐地他们开始谈论起关于各种各样的企图证明弗赖的椭圆方程的古怪性的最新消息，里贝特开始解释他一直在探索的试验性策略。
这种方法模模糊糊地似乎有点前途，但他还只能证明它的非常小的一部分。他回忆说：“我与巴里坐在一起，告诉他我正在做的事。我提到了我已经证明了非常特殊的情形，但是我不知道下一步该做什么将它推广以得到整个证明。”
梅休尔教授一边啜饮着他的卡布奇诺咖啡，一边听着里贝特的想法。突然，他停止了啜饮，怀疑地凝视着肯：“难道你还不明白？
你已经完成了它!你还需要做的一切只是加上一些M结构的γ0，然后再做一遍你的论证，这就行了。它会给出你所需要的一切。”
里贝特看着梅休尔，再看看他的咖啡，又回头看梅休尔。这是里贝特数学生涯中最重要的时刻。他十分细致地回忆起这个时刻：
“我说，你是绝对正确的，当然，我怎么会不明白这一点。我完全惊呆了，因为我从未想到过添加额外的M结构的γ0，听上去如此简单。”
应该注意到，222虽然加上M结构的γ0对于肯·里贝特听起来很简单，但它是逻辑上深奥的一步，世界上只有少数的数学家能在随便喝一杯咖啡的时间里想出这一步。
里贝特事后说：“它是我一直在思念着的关键的要素，却原来它一直就在我面前凝视着我。我高兴得像上了天似的漫步回到我的住所，满脑子想着：天啊!这难道真是对的吗？我完全被迷住了，我坐下来，开始在笔记本上飞速地写起来。大约一个小时或两个小时后，我已经写完了一切，确信我已掌握了关键的步骤，并且它与其余部分完全协调一致。我通读了我的论证，然后对自己说，对，这绝对行得通。国际数学家大会当然有成千的数学家参加，我有点随便地对几个人提到我已经证明了谷山志村猜想隐含费马大定理。这消息像野火般传了开来，立刻一大群人都知道了，他们向我跑来并问我：‘你已经证明弗赖的椭圆方程不能模形式化，这确确实实是真的吗？’我不得不考虑一分钟，然后，突然地，我叫道：是的，我已经证明了。”
费马大定理现在已经不可摆脱地与谷山志村猜想联系在一起了，如果有人能证明每一个椭圆方程是模形式，那么这就隐含费马方程无解，于是立即证明了费马大定理。
三个半世纪以来，费马大定理一直是孤立的问题，一个在数学的边缘上使人好奇的、无法解答的谜。现在，肯·里贝特在格哈德·弗赖的启示下已经把它带到重要的舞台上来了。17世纪的最重要的问题与20世纪最有意义的问题结合在一起，一个在历史上和感情上极为重要的问题与一个可能引起现代数学革命的猜想联结在一起了。223事实上，现在数学家能通过采用矛盾的策略来征服费马大定理。为了证明费马大定理成立，数学家可以在开始时假设它不成立。费马大定理不成立意味着谷山志村猜想不成立。然而，如果谷山志村猜想能被证实，那么这将与费马大定理不成立矛盾，也就是说，大定理必须是成立的。
弗赖已经清楚地规定了人们面前的任务。如果数学家能首先证明谷山志村猜想，那么他们就自动地证明了费马大定理。起初，希望重又燃起，但接着事情的真相逐渐明朗。30年来数学家们一直试图证明谷山志村猜想，但都失败了。为什么他们现在会取得进展呢？怀疑论者相信现在连一丁点儿证明谷山志村猜想的希望都消失了。他们的逻辑是，任何可能导致解决费马大定理的事情根据定义是根本不可能实现的。
甚至连已经做出了关键的突破性工作的肯·里贝特也很悲观：
“绝大多数人相信谷山志村猜想是完全无法接近的，我是其中的一个。我没有真的费神去试图证明它，我甚至没有想到过要去试一下。安德鲁·怀尔斯大概是地球上敢大胆梦想可以实际上证明这个猜想的极少数几个人之一。”
