从欧几里得到丢番图之间的几个世纪中，亚历山大一直是文明世界的知识之都，但在这段时期里，该城不断地处于外敌的威胁之下。第一次大攻击发生在公元47年，当时恺撒大帝（JuliusCaesar）企图推翻克娄巴特拉（Cleopatra），放火焚烧了亚历山大舰队。位于港湾附近的图书馆也被累及，成万册图书被毁坏。对数学来说，幸运的是克娄巴特拉很赏识知识的重要性，决心还图书馆昔日的辉煌。马克·安东尼（MarkAntony）认识到图书馆是通向知识心脏的途径，因而进军帕加马城。恺撒大帝（公元前100-前44），罗马统帅、政治家。克娄巴特拉（公元前69-前30），埃及托勒密五朝末代女王。马克·安东尼（公元前约82-前30），古罗马统帅和政治领袖。帕加马，古希腊城市，现为土耳其伊索密尔省贝尔加马镇。——译者这个城市已经开始兴建一座图书馆，并希望会给这个图书馆提供世界上最丰富的藏书，但是安东尼却将全部藏书转移到埃及，恢复了亚历山大的最高地位。
在接下来的四个世纪中，图书馆继续收藏图书直到公元389年它遭受到两次致命打击中的第一次打击为止，这两次打击都起因于宗教的偏见。基督教皇帝狄奥多西（Theodosius）狄奥多西（346-395），东罗马帝国皇帝和西罗马帝国皇帝，立基督教为国教。——译者命令亚历山大的主教狄奥菲卢斯（Theophilus）毁坏一切异教的纪念物。不幸的是，当克娄巴特拉重建和重新充实亚历山大图书馆时，她决定将它放在塞拉皮斯（Serapis）古埃及地下之神。——译者神庙之内，因而对圣坛和圣像的破坏就殃及图书馆。“异教”的学者们曾试图挽救六个世纪积累的知识财富，但是来不及做任何事就被基督教的暴徒们屠杀。向着中世纪愚昧黑暗时代的沉沦开始了。
一些最重要的书籍的珍本幸免于基督教徒的袭击，学者们继续来到亚历山大寻求知识。然后在642年，58一场伊斯兰教的进攻成功地打败了基督教徒。当问及应该如何处置图书馆时，获胜的哈里发奥马尔（CaliphOmar）命令凡是违反《古兰经》的书籍都应销毁，而那些与《古兰经》相符的书籍则是多余的，也必须销毁。那些手稿被用作公共浴室加热炉的燃料，希腊的数学化为烟灰。丢番图的绝大部分着作被毁灭了，这并不令人惊奇。实际上，《算术》中的6卷能设法逃过亚历山大的这一场惨剧倒是一个奇迹。
随后的一千年中，西方的数学处于停滞状态，只有少数的印度和阿拉伯的杰出人物使这门学科继续生存下去。他们复制了幸存下来的希腊手稿中描述的公式，然后他们自己着手重新创造许多遗失的定理。他们也给数学增添了新的成分，包括零这个数。
在现代数学中，零有两个功能。首先，它使我们得以区别52和502这样的数。在一个数的位置代表该数的值的体系中，需要有个记号来确认空着的位置。例如，52表示5倍的10加上2倍的1，而502表示5倍的100加上0倍的10再加上2倍的1，这里0对于消除含糊不清之处是关键的。甚至在公元前30世纪，巴比伦人就已经懂得使用零来避免混淆，而希腊人则采用了他们的思想，使用了类似于我们今天所用的圆形记号。然而，零有着更为微妙和深刻的意义，这种意义在几个世纪以后才被印度的数学家们充分领会。印度人认识到零除了在别的数之间起空位作用外还有它独立的存在性——零本身理所当然地是一个数，59它表示“没有”这个量。于是，“没有”这个抽象概念第一次被赋予一个有形的记号表示。
对当代的读者来说，这似乎是微不足道的一步，但是所有的古希腊哲学家，包括亚里士多德（Aristotle），却都否认零这个记号的深刻意义。亚里士多德辩解说，数零应该是非法的，因为它破坏了其他数的一致性——用零除任何一个普通的数会导致不可理解的结果。到了公元6世纪，印度数学家们不再掩盖这个问题，公元7世纪时的婆罗门笈多（Brahmagupta）是个足智多谋的学者，他把“用零除”作为无穷大的定义。
在欧洲人放弃对真理的高尚追求的同时，印度人和阿拉伯人却正在将那些从亚历山大的余烬中捡取的知识汇总起来，并以更新更有说服力的语言重新解释它们。除了将零纳入数学词汇外，他们还用现在已被普遍采用的记数系统替代了原始的希腊符号和累赘的罗马数字。这似乎又像是一次没多大价值的、不显眼的进步，但是试一下用DCI乘CLV，你就会领会到这种突破的重要性。用601乘155来完成这一相同的任务做起来要简单得多。任何学科的发展依赖于其交流和表达思想的能力，而后者则又借助于足够细致和灵活的语言。毕达哥拉斯和欧几里得的思想丝毫不会因为他们别扭的表达而减色，但是转译成阿拉伯记号后，它们将会得到蓬勃发展，并产生出更新和更丰富的想法。
公元10世纪时，奥里亚克的法国学者热尔贝（Gerbert）从西班牙的摩尔人那里学会了新的记数系统，通过他在遍布欧洲的教堂和学校中的教师职位，他得以将这种新的系统介绍给西方。60999年他当选为西尔维斯特二世罗马教皇，这个职位使他能进一步促进印度-阿拉伯数字的使用。虽然这个系统的效能使会计结账发生了革命性的变化，并且被商人们迅速采用，但是在激励欧洲数学复苏方面几乎没有起什么作用。
西方数学的重大转折点出现于1453年，当时土耳其人攻占并洗劫了君士坦丁堡。在此前的一段岁月中，亚历山大遭亵渎后幸存下来的手稿已汇集到君士坦丁堡，但是它们又一次受到毁灭的威胁。拜占庭帝国的学者们携带着他们能保存的所有书籍向西方潜逃。躲过了恺撒、狄奥菲卢斯主教、哈里发奥马尔以及这一次土耳其人的劫难之后，几卷珍贵的《算术》终于回归欧洲。丢番图的着作注定要出现在皮埃尔·德·费马的书桌上。
谜的诞生
费马所担任的司法职务占用了他许多时间，但是不管空闲的时间多么少，他全部贡献给数学了。其中部分原因是17世纪时法国不鼓励法官们参加社交活动，理由是朋友和熟人可能有一天会被法庭传唤。与当地居民过分亲密会导致偏袒。由于孤立于图卢兹高层社交界之外，费马得以专心于他的业余爱好。
没有记录表明费马曾受到过哪位数学导师的启示，相反却是一本《算术》成了他的指导者。因为《算术》出现于丢番图的时代，所以它寻求的是通过一系列问题和解答来刻画数的理论。事实上，61丢番图向费马展示的是历经千年所取得的对数学的认识。在其中的一卷中，费马找到了像毕达哥拉斯和欧几里得这类人物所建立的关于数的全部结果。数论自亚历山大的那场野蛮的大火之后一直没有进展，不过费马现在已经准备重新开始研究这个最基础的数学学科。
激励着费马的这本《算术》是梅齐里克（Méziriac）的克劳德·加斯帕·贝切特（ClaudeGasparBachetdeMéziriac）完成的拉丁文译本，据说他是全法国最博学的人。贝切特不仅是杰出的语言学家、诗人和古典学学者，他还喜欢数学谜语。他的第一本出版物就是一本谜语汇编，名为“数字的趣味故事”（ProblemesPlaisansetdélectablesquisefontparlesnombres），其中包括过河问题、倾倒液体问题和几个猜数游戏。所提问题中的一个是关于砝码的问题：
最少需要多少个砝码，可以在一台天平上称出从1千克到40千克之间的任何整数千克的重量？
贝切特有一个巧妙的解法表明只要用4个砝码即可完成这个任务。附录4给出了他的解法。
虽然贝切特在数学方面只是一个浅薄的涉猎者，但是他对数学谜语的兴趣已足以使他能认识到丢番图所列举的问题是高层次的，值得深入研究。他为自己定下了翻译丢番图的着作的任务，并将它出版，以便让希腊的技巧重放异彩。重要的是要认识到大量的古代数学知识已完全被遗忘了。当时，甚至在欧洲最着名的大学中也不讲授较深的数学。只是由于像贝切特这样的一些学者的努力，62才使得这么多的古代数学能如此迅速地复活。1621年贝切特出版了《算术》的拉丁文版，他正在为数学的第二个黄金时代做出贡献。
《算术》中载有100多个问题，丢番图对每一个问题都给出了详细的解答。这种认真的做法从来不是费马的习惯。费马对于为后代写一本教科书不感兴趣：他只是想通过自己解出问题来得到自我满足。在研究丢番图的问题和解答时，他会受到激励去思索和解决一些其他相关的、更微妙的问题。费马会草草写下一些必要的东西证明他已明白解法，然后他就不再费神写出证明的剩余部分。他往往会把他的充满灵气的注记丢进垃圾箱中，然后匆忙地转向下一个问题。对我们来说幸运的是，贝切特的《算术》这本书的每一页都留有宽大的书边空白，有时候费马会匆忙地在这些书边空白上写下推理和评注。对于一代代的数学家们来说，这些书边空白上的注记（尽管不太详细）成了费马最杰出的一些计算的非常宝贵的记录。
费马的一个发现涉及所谓的“亲和数”（amicablenumber），它们与2000年前使毕达哥拉斯着迷的完满数密切相关。亲和数是一对数，其中每一个数是另一个数的因数之和。毕达哥拉斯学派得到过非平凡的发现，即220和284是亲和数。220的因数是1，2，4，5，10，11，20，22，44，55，110，它们的和是284;另一方面，284的因数是1，2，4，71，142，它们的和是220。
这一对数220和284被认为是友谊的象征。马丁·加德纳（MartinGardner）的书《数学魔术》（MathematicalMagic）63中谈到过中世纪出售的一种护身符，这种护身符上刻有这两个数字，其理由是佩戴这种护身符能促进爱情。有一种习俗，就是在一只水果上刻下220这个数字，在另一只水果上刻下284，然后将第一只吃下，将第二只送给所爱的人吃。有个阿拉伯数字占卦家将此作为一种数学催欲剂记录备案。早期的神学家注意到在《创世记》中雅各给以扫以扫（Esau），基督教《圣经》故事人物，与雅各（Jacob）是孪生兄弟。——译者220只山羊。他们相信山羊的数目（一对亲和数中的一个）表达了雅各对以扫的挚爱之情。
直到1636年费马发现17296和18416这对数之前，尚未有别的亲和数被确认。虽然这不能算是深刻的发现，但它显示了费马对数的熟悉程度以及他喜欢摆弄数的癖好。费马掀起了一阵寻找亲和数的热潮。笛卡尔发现了第3对（9363584和9437056），欧拉接着列举了62对亲和数。奇怪的是他们都忽略了一对小得多的亲和数。1866年，60岁的意大利人尼科洛·帕格尼尼（NicolòPaganini）发现了这一对亲和数1184和1210。
在20世纪，数学家们把这个思想做了进一步的推广，扩大到寻找所谓的“可交往”数（sociablenumber），即由3个或更多的数形成的一个闭循环的数。例如，五元数组（12496，14288，15472，14536，14264）中，第一个数的因数加起来等于第二个数，第二个数的因数加起来等于第三个数，第三个数的因数加起来等于第四个数，第四个数的因数加起来等于第五个数，而第五个数的因数加起来等于第一个数。
虽然发现一对新的亲和数使费马有了点名气，但是他的声望真正被承认则是由于一系列的数学挑战。例如，费马注意到26被夹在25和27之间，其中的一个是平方数（25=52=5×5），而另一个是立方数（27=33=3×3×3）。他寻找其他的夹在一个平方数和一个立方数之间的数都没有成功，64于是他怀疑26可能是唯一的这种数。经过几天的发奋努力后，他设法构造了一个精妙的论证，无可怀疑地证明了26确实是唯一的夹在一个平方数和一个立方数之间的数。他逐步进行的逻辑证明表明，不存在别的数满足这个要求。
