围绕着对回文数的研究，数学家们发现，有的回文数不老实，不是明明白白地站在数字的队伍里，而是隐藏在其他数里，经过特殊变换以后才显露真容。比如83，它不是回文数，将它与其倒数相加，83＋38＝121，就变成了回文数121。经过多次验算，数学家提出了一个猜想：任取一个自然数，把它倒过来与原数相加，然后把这个和数再与它的倒数相加，一直重复这个运算，最后总能得到一个回文数。数学家把这个猜想叫做“回数猜想”。
请看：
83：83＋38＝121，经过1步运算就能得到回文数121；
68：68＋86＝154，154＋451＝605，606＋506＝1111，1111是回文数，只需3步运算就能得到；
195：195＋591＝786，786＋687＝1473，1473＋3741＝5214，5214＋4125＝9339，要运算4步，得到的回文数是9339。
是不是所有数经过上述运算都能产生回文数？也就是说，回数猜想是对的还是错的？这个问题至今没有解决。
最初，人们是一个数一个数地去验算。当有人对196进行上述运算时，算了5万步，所处理的数已达到21000位，仍没有获得回文数。人们就猜测，也许196永远也变不成回文数。如果真的是这样，那么“回数猜想”就是错误的。然而，不管你算了多少步，这种运算总没到头，没到头就不能否定，要否定必须给出足够的理由。
后来，人们又发现，在10万个自然数中，有5996个数，不管运算多久，似乎也产生不出回文数，196就是其中最小的一个。但是，不管怎样运算，就是没有人能找出它们产生不了回文数的确凿证据来。所以只能用含糊的词“似乎”来表述。
此路不通。一些数学家就采取另外的方法来研究。他们对既是质数又是回文数的数进行了特别的研究，一方面想看看这些数有什么特性或规律，另一方面也想从中找出证明回数猜想的蛛丝马迹。
通过研究，数学家发现了一些有特殊性质的回文质数。比如19391，把它的5个数字写在一个圆周上，你从其中任一个数开始，不管是顺时针写还是逆时针写，写出来的5位数都是质数。这种回文质数很少。
数学家还发现回文质数除11外必须有奇数个数字。因为每个有偶数个数字的回文数，必然是11的倍数，所以它肯定不是质数。比如125521是一个有6位数字的回文数。判断能被11整除的方法是：一个数所有偶数位数字之和与所有奇数位数字之和的差是11的倍数，那么这个数就能被11整除。125521的奇数位数字是1、5、2，而偶数数字是2、5、1，而偶数位数字是2、2、1，它们和的差是：
（2＋5＋1）－（1＋5＋2）＝0是11的倍数，所以125521可以被11整除，它不是质数。
有些回文数相乘之后，所得乘积还是回文数。例如212×141＝29892。这样的例子还不少：
11×11＝121，22×22＝484．111×111＝12 321，111×121＝13431，111×131＝14 541，121×212＝25 652。
在回文数中平方数是非常多的，比如121＝11（上标2），12 321＝111（上标2），1 234 321＝1 111（上标2）……一直到12 345 678 987 654 321＝111 111111（上标2）。你随意找一些回文数就会发现，平方数所占的比例比较大。
立方数也有类似情况。比如1 311＝11（上标3），1367 631＝111（上标3）等等。
对回文质数的研究虽然取得了一些成绩，发现了一些特性，但是用它们也不能证明“回数猜想”。
“回数猜想”证明不出来，却没有挡住数学家想象的驰骋，他们又大胆地猜想：回文质数有无穷多个；回文质数对（中间的数字是连续的，而其他数字都相等，如30103和30203）也有无穷多对。但是也没有人能证明这些猜想是对的。扑朔迷离的回文质数又给数学家们出了一个难题。
普林斯顿322号
17世纪德国著名科学家开普勒说：“几何学有两个宝藏，一个是勾股定理，一个是黄金分割。”
勾股定理是人类发现的最早的几何定理之一。1955年希腊发行一张邮票，图案是由3个棋盘排列而成。这张邮票是为了纪念2000多年前古希腊数学家毕达哥拉斯发现勾股定理而发行的。邮票中，把下面的正方形分成了25个小正方形，上面两个正方形，一个分成16个小正方形，另一个分成9个小正方形，每个小正方形的面积都相等。
9＋16＝25，也就是说3（上标2）＋4（上标2）＝5（上标2），这是我们熟悉的“勾三股四弦五”。希腊人说勾股定理是毕达哥拉斯发现的，所以叫“毕达哥拉斯定理”。
其实，这个定理不单是毕达哥拉斯发现的，在我国的《周髀算经》一书中，就记载了二千多年前我国周代人测太阳高度时，使用了勾股定理的事实。勾股定理用语言叙述是：“在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。”或说成“勾方加股方等于弦方”。勾股定理的逆定理也是对的，即在一个三角形中，如果有两条边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对应的角必定是直角。这个逆定理也早就被古埃及人发现了，他们利用这个定理来做直角，建造了举世闻名的大金字塔。
古巴比伦与中国、希腊、埃及并称为四大文明古国，但是古巴比伦已经消亡。对古巴比伦人的了解，主要来源于刻在泥板上的楔形文字。他们用木笔将文字和数字刻在泥板上，由于笔画像楔子，所以叫楔形文字。从19世纪开始，考古学家在古巴比伦的遗址上发掘出50万块泥板，几乎世界上一些大的博物馆都有收藏。在这50万块泥板中大约有三百块是专门讲数学的。从这些泥板中我们了解到三千多年前的古巴比伦有很高的数学水平。
哥伦比亚大学普林斯顿收集馆的第322号收藏品，就是一块古巴比伦泥板。这块泥板写于公元前1900年至公元前1600年，距今三千多年了。这块泥板左边掉了一块，右边靠中间有一个很深的缺口，左上角也剥落了一片。通过查验发现，泥板左边破损处有现代胶水的结晶。这表明，这块泥板在挖掘时可能是完整的，后来破了，科学工作者曾试图用胶水把它们黏合在一起，可以后又分开了。碎片也许还在，如果能把碎片找到，一定会引起人们很大的兴趣。
普林斯顿322号上到底是些什么东西？
原来它上面有3列数字，用的是古巴比伦的记数方法。这些数是干什么用的？科学家们不得而知。他们想探出个究竟来。
为了研究方便，数学家把普林斯顿322号上的数全部翻译成阿拉伯数字（见表1）。
表1
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┃ 119 ┃ 169 ┃ 1 ┃
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┃ 3 367 ┃ 4 825（11 521）┃ 2 ┃
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┃ 4 601 ┃ 6 649 ┃ 3 ┃
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┃ 12709 ┃ 18 541 ┃ 4 ┃
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┃ 65 ┃ 97 ┃ 5 ┃
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┃ 319 ┃ 481 ┃ 6 ┃
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┃ 2 291 ┃ 3 541 ┃ 7 ┃
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┃ 799 ┃ 1 249 ┃ 8 ┃
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┃ 481（541） ┃ 769 ┃ 9 ┃
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┃ 4 961 ┃ 8 161 ┃ 10 ┃
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┃ 45 ┃ 75 ┃ 11 ┃
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┃ 1 679 ┃ 2 929 ┃ 12 ┃
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┃ 161（25 921）┃ 289 ┃ 13 ┃
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┃ 1771 ┃ 3 229 ┃ 14 ┃
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┃ 56 ┃ 106（53） ┃ 15 ┃
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再看这些数，很明显靠右边的那一列是用来表示行数的。而另外两列数，好像杂乱无章，没什么意义。古巴比伦人写这些数到底要说明什么？毫无边际地从杂乱的数中找规律太难了。
数学家不甘心，经过认真研究以后，惊喜地发现：两列中的对应数字，恰好都是边长为整数的直角三角形的斜边和一条直角边，只有4个例外。数学家对4个例外数进行了修正，表1中把原来不正确的数字写在括号里了。
这是解开普林斯顿322号之谜的巨大发现。
数学家再接再厉，又利用勾股定理，假定普林顿322号给出的是直角边b和斜边c，算出另一条直角边a来。并列了一个相应的表（见表2）。
表2
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┃ a b c ┃ u ┃ v ┃
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┃ 120 119 169 ┃ 12 ┃ 5 ┃
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┃ 3 456 3 367 4 825 ┃ 64 ┃ 27 ┃
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┃ 4 800 4 601 6 649 ┃ 75 ┃ 32 ┃
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┃ 13 500 12 709 18 541 ┃ 125 ┃ 54 ┃
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┃ 72 65 97 ┃ 9 ┃ 4 ┃
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┃ 360 319 481 ┃ 20 ┃ 9 ┃
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┃ 2 700 2 291 3 541 ┃ 54 ┃ 25 ┃
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┃ 960 799 1 249 ┃ 32 ┃ 15 ┃
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┃ 600 481 769 ┃ 25 ┃ 12 ┃
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┃ 6 480 4961 8 161 ┃ 81 ┃ 40 ┃
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┃ 60 45 75 ┃ 2 ┃ 1 ┃
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┃ 2 400 16．79 2 929 ┃ 48 ┃ 25 ┃
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┃ 240 161 289 ┃ 15 ┃ 8 ┃
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┃ 2 700 1 771 3229 ┃ 50 ┃ 27 ┃
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┃ 90 56 106 ┃ 9 ┃ 5 ┃
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数学家进一步研究发现，表中所列的勾股数，除第十一行的60、45、75；第十五行的90、56、106外，都是素勾股数。
什么是素勾股数呢？
