约翰·海因里希·兰伯特（ＪｏｈａｎｎＨｅｉｎｒｉｃｈＬａｍｂｅｒｔ，１７２８—１７７７）是非欧几何学的先驱。在他的《平行线理论》（１７６６年）一书中，他用与萨凯里类似的方法证明了三个假设，它们分别等价于三角形内角的和小于、等于、大于１８０°的三种情况。他还揭示了球面几何学与其中第三种情况相类似。他推测第一种情况可能与以虚数为半径的球面几何学相对应，以虚数半径代替实数半径导致了后来被称为双曲几何学的公式和定理的产生。在双曲几何学里，人们熟悉的ｓｉｎｘ、ｃｏｓｘ被ｓｉｎｈｘ、ｃｏｓｈｘ所取代。因此，虽然这种想法从现实上看不合情理，但是在数学中却是接近真理的。兰伯特的推测不久之后被验证。
１９世纪初期，所有证明第五公设的尝试都以失败而告终。人们开始意识到非欧几何学确实存在。这里有两位不知名的数学家成为这一领域的新星。
尼古拉斯·伊万诺维奇·罗巴切夫斯基（ＮｉｋｏｌａｓＩｖａｎｏｖｉｃｈＬｏｂａｃｈｅｖｓｋｙ，１７９３—１８５６）出生在俄罗斯一个小官吏的家庭。１１岁时他父亲去世，留下罗巴切夫斯基的母亲和３个孩子，生活拮据。后来他全家移居喀山，孩子们都受到了良好的教育，其中罗巴切夫斯基成绩最突出。１４岁时，他进入了刚刚成立的喀山大学学习。在那里，他接触到了许多来自德国的杰出教授。２１岁时，罗巴切夫斯基成为一名教师，２年后担任教授。作为一个有耐心、有条理又勤奋的人，他受到了同事们的尊重，回报却是让他接替了没有什么收益的管理工作。他担任了学校的图书馆馆长和学校混乱的博物馆馆长。在没有任何助手的情况下，他一个人完成了所有的工作，使得图书馆和博物馆变得井然有序。
１８２５年，政府终于为大学指派了一位专门的督察，后来该督察利用他的政治影响当选为校长。从１８２７年起让罗巴切夫斯基成为学校的校长，他重组了学校的管理队伍，使得教学自由化，建造了学校的基本设施，其中包括天文台的创建。大学是他的一切。１８３０年的霍乱席卷喀山，罗巴切夫斯基命令所有的学生和职员及家属到校园寻找避难场所。由于他实施了严格的卫生条例，６６０人当中只有１６人死亡。尽管他为喀山大学不知疲倦地工作，政府却于１８４６年莫名其妙地解除了他校长和教授的职务。他的同事和朋友向当权者恳求，但还是无济于事。当时他的视力已经很差，可他仍坚持数学研究。他最后的著作是口述的，因为那时他已经完全失明。
１８２６年，罗巴切夫斯基向学校提交了他的第一篇论文（使用了学术界通用的法语）。在论文中，罗巴切夫斯基概述了他的几何思想。这篇题为《关于几何原理》的文章直到３年后才发表在《喀山学报》上。这就是说，１８２９年是罗巴切夫斯基的非欧几何学诞生的年份。在上述文章中，他阐述了第五公设是不可证的，而且通过用另一个公设取代第五公设，建立了新的几何学。他非常欣赏萨凯里和兰伯特的非欧几何学的初期研究。同欧氏几何学一样，非欧几何学具有坚实的逻辑体系。对罗巴切夫斯基自己来说，他所推导的定理与现实普遍认同的概念相抵触，因此他把自己的发现称为“虚几何学”。但这并没有降低他的工作的重要性。１８３５—１８３８年，他用俄语写了《几何新基础》的论文。
１８４０年，他用德文发表了《平行线理论的几何研究》一书。正是由于这本书，高斯向哥廷根科学院推荐了罗巴切夫斯基，罗巴切夫斯基于１８４２年被选为院士。然而高斯却拒绝用文字的形式赞扬他。因此，他的创新思想未能很快被数学界接受，这使罗巴切夫斯基感到非常失望。随之而来的被大学开除和失明更是雪上加霜。１８５５年他用法语和俄语同时出版了他最后的一本书《论几何学》。罗巴切夫斯基———“几何学领域的哥白尼”，死于１８５６年。贝尔特拉米（ＥｕｇｅｎｉｏＢｅｌｔｒａｍｉ，１８３５—１９００）给出了非欧几何学的物理解释，他证明了伪球面满足罗巴切夫斯基几何学，同样也满足兰伯特的早期重要的研究结果。
罗巴切夫斯基的新公设可以解释如下：想象一条无限延长的直线，取直线外一点。欧氏几何学的第五公设表述为，过该点能够且只能作一条与已知直线平行的直线，罗巴切夫斯基认为，过该点可以作多条直线与已知直线平行。这里两条直线平行，意味着两条直线不相交。用数学术语来表示这一公设，会产生奇特但却自相容的几何学。事实上，根据“平行性观点”的不同，存在无穷多个这样的几何学。
高斯没有对罗巴切夫斯基的工作给以充分的肯定，他的理由可能是想对他的朋友Ｆ鲍耶显示自己的公正。Ｆ鲍耶的儿子Ｊ鲍耶（ＪａｎｏｓＢｏｌｙａｉ，１８０２—１８６０）与罗巴切夫斯基同时创建了非欧几何学。Ｆ鲍耶是匈牙利乡村的数学教师，并致力于证明第五公设。当他的儿子继续他本人的工作时，他对儿子能否成功感到绝望，因此写信给儿子说：“我恳求你看在上帝的面上，放弃这一研究，不要逞一时之快。它会浪费你的时间，夺取你的健康、你内心的平静和你的幸福。”然而Ｊ鲍耶却反而被父亲的这封信所激励，继续他的研究。于１８２９年得到了实质上与罗巴切夫斯基一样的结论。
Ｊ鲍耶创建了他称为“空间的绝对科学”的非欧几何学，并附在父亲老鲍耶的一本书中发表。这一成果于１８２９年得到。这正是罗巴切夫斯基发表论文的同一年。但是，这一成果直到１８３２年才出版。由于他的文章只是作为一本普通数学书的附录，很容易被世人忽视。好在Ｆ鲍耶是高斯的朋友，Ｆ鲍耶把这一附录寄给了高斯。高斯的回应是，对Ｊ鲍耶的工作给以肯定，但是回避公开支持他的研究。原因是赞扬Ｊ鲍耶就会被人认为是赞扬他自己，因为几年前他本人也有过同样的想法。这对Ｊ鲍耶是一个重大打击，也毁了他的一生。他害怕自己的研究被人抄袭，拒绝发表其他任何内容。
高斯不愿意承认罗巴切夫斯基和Ｊ鲍耶二人的工作，这显得有些无理。是的，高斯对这些问题确实曾有过一些想法，但没有事实证明他曾经探索过非欧几何学的本质。如果这样的数学大家能伸出帮助之手，就能挽救Ｊ鲍耶的研究生涯和罗巴切夫斯基的身体健康。高斯本人是从不同的观点考虑这一问题的，当观察一个曲面上的直线时，他得到“一个曲面的曲率与它所用的度量相关”的结论，他证明了曲率与曲面所在空间无关。曲率是与曲面上三角形内角和相关的内在性质，由此可见，这与非欧几何学显然类似。
由于持续了２０００多年的第五公设的神话被打破，欧氏几何学的大厦濒临坍塌。虽然欧氏几何学在逻辑上是首尾一致的体系，但它现在只是许多几何学中的一种，因此对它是否是宇宙空间本身的几何学也产生了疑问。由于我们无法从外部了解我们生活的宇宙空间，作为观察宇宙空间的真实几何学的方法，对宇宙空间的内在性质的研究变得越来越重要，几何学面临陷入杂乱无章的危险。这时，一位数学家俯瞰整个几何学，给出了几何学是什么以全新定义。
伯恩哈德·黎曼（ＢｅｒｎｈａｒｄＲｉｅｍａｎｎ，１８２６—１８６６）是一位普通牧师的儿子，但他在柏林和哥廷根受到了良好的教育，１８５４年成为哥廷根大学的讲师。哥廷根大学要求本校的每位新讲师写一篇就职论文。黎曼的这篇论文是数学史上最引人注目的一篇就职论文。他的题为《关于几何基础的假设》的就职论文，用最通俗的语言阐述了把几何学构建为一门学科。这与欧几里得的尺规法完全不同。黎曼定义几何学为关于流形的一门学科。流形是带有坐标系以及定义了两点间最短距离度量公式的任意维的有界或无界空间（包括无穷维空间）。在三维欧氏几何空间，度量公式由ｄｓ２＝ｄｘ２＋ｄｙ２＋ｄｚ２给出。这一公式是毕达哥斯定理的微分等价物。这些流形是空间本身，不带外部参考系。这样，任何空间的曲率完全由该流形的内在性质确定。对于黎曼来说，几何本质上是由一个ｎ维有序数组的集合与该集合上特定的规则组成。他关于空间的观念推广到几乎不占地方，而变量间的任意关系，都可认为是“空间”。对不带度量的系统的研究，称为拓扑学的数学分支，它研究空间中区域如何彼此相连。
黎曼发明了现在被所有数学家使用的数学工具。平时慎重的高斯第一次对别人的工作大加赞赏。在黎曼扩展的几何观点下，欧氏几何学就是曲率为零的几何学，罗巴切夫斯基的几何学是曲率为－１的几何学，而球面几何学是曲率为１的几何学。虽然黎曼可以看成是新时代的欧几里得，但是人们总是把他的名字与一种非常特殊的几何学联系起来，这一几何学把平面解释为球面的映象。后来黎曼开始研究理论物理。他的度量曲率空间的一般研究，为广义相对论铺平了道路。我们生活的空间不再是欧氏空间，但是我们现在已经有了探索宇宙的真正几何性质的数学工具。
