然而，使毕达哥拉斯扬名的是毕达哥拉斯定理。如上所述，这一定理实际上自古就已为人们所知。人们认为毕达哥拉斯是从埃及人那里学到了这一定理的。而实际上，希腊文献多次提及他们的几何知识来源于埃及。但是不幸的是，我们没有关于毕达哥拉斯定理的相应埃及文献。亚里士多德认为毕达哥拉斯学派首先证明了２的平方根是无理数。从毕达哥拉斯定理可得到，如果一个等腰直角三角形的直角边的长度为１，则斜边长度为槡２。按希腊数学的描述，毕达哥拉斯学派试图把直角边为单位长度的直角三角形的斜边与直角边的比，即槡２∶１，表示成整数的比，就像（３，４，５）这样的直角三角形那样。结果却恰恰相反，证明了这个值不能表示成整数的比。这一斜边和单位直角边被称为是不可比的。也就是说，用等刻度直尺不能丈量这个比。由于给定的单位直角边是有理数，所以相应的斜边是无理数。历史学家第欧根尼说，这一事实是毕达哥拉斯学派的成员发现的。他就是（梅塔蓬图姆的）希帕索斯。毕达哥拉斯学派的其他成员把他带到海上扔进了海里。因为他破坏了毕达哥拉斯学派的信条———即毕达哥拉斯学派的关于所有事物都可以由整数及整数的比来表示。人们现在认为这一传说值得怀疑。但是可公度与不可公度间的关系以及有理数与无理数间的关系，对数学曾起过非常重要的作用。实际上，直到两千年后，人们才使用有理数来定义无理数。
希腊人给出了毕达哥拉斯定理的一个巧妙的证明。该证明记载在欧几里得《几何原本》第１卷末尾。它的证明方法是非常通用的几何证明方法———使用一系列构造方法，分别把以两个直角边的长度为边长的两个正方形转换成两个长方形，这两个长方形合在一起构成以斜边的长度为边长的正方形。这一证明中没有用到任何数值，而且证明特有的“风车”图在后来的许多欧亚文明的数学中出现。的确，正如普罗克洛斯所评注的那样：“我在钦佩发现这一定理的发现者的同时，对《几何原本》的作者更加感到惊奇。”总之，我们仍在使用毕达哥拉斯作为这一定理的名字，而毕达哥拉斯数学宇宙观的魅力永存。
几何之父———欧几里得
古希腊数学家、几何学奠基人欧几里得一生的细节鲜为人知，无人知道他的出生及去世的日期，甚至他出生何处也无法确定。只知道大约公元前３００年他在埃及的亚历山大当过教师。他的著作《几何原本》１３卷，是世界上最早的公理化数学著作。欧几里得的伟大贡献在于他总结整理了前人的生产经验和研究成果，并作了全面的系统阐述，对公理和公设作了适当的选择，然后仔细地将这些定理做了安排，使每一个定理与以前的定理在逻辑上前后一致。从公理和公设出发，用演绎法叙述了平面几何、立体几何的许多成果以及大量代数和数论的内容。全书结构科学、严谨，思想家们公认其完整的演绎推理结构是十分杰出的典范。《几何原本》后来被翻译成多种文字，在全世界刊行了上千种不同版本，以后各个时代的思想家、科学家都接受了欧几里得的传统。《几何原本》是中国最早翻译的西方自然科学的著作。早在明朝末年，中国著名的科学家徐光启等人曾将前六卷译为汉文，在当时的知识分子之间广为流传。除《几何原本》外，欧几里得还著有《数据》《图形分割》《数学的结构》《光学之书》
《反射光学之书》等。
数学力量———阿基米德
古希腊数学家和物理学家阿基米德，出生于西西里岛的叙拉古一贵族家庭，自幼勤奋好学，曾到埃及亚历山大跟从欧几里得的学生柯农，学习哲学、数学、天文学、物理学等方面的知识。返回叙拉古以后，专事研究。他在继承欧几里得学术的基础上，将数学紧紧地和力学、机械学研究结合在一起，不仅利用力学的方法解决数学问题，而且还用数学方法研究力学和其他实际问题。他著有《论圆量》和《论球体与圆锥体》，计算出圆周率的上限为２２／７，下限为２２３／７１，得出计算球体、圆柱体和其他更复杂球体的体积、表面积和周长的公式。他使用的“穷竭法”，为现代积分计算奠定了基础。在物理学方面，他是力学和流体力学的奠基人，发现了杠杆原理和后来以阿基米德定律命名的浮力原理；他把理论运用于实践，发明了杠杆、滑轮和螺旋等机械。阿基米德将当时的数学和物理学推向了一个新的高度。他是一个热忱的爱国者，当他的祖国遭罗马进攻时，他设计出可以吊起敌舰的巨型回旋起重机和大型投石机，曾重创罗马军。公元前２１２年，罗马军统帅在攻陷叙拉古城之后，召请阿基米德，他要求士兵容他做完几何题再去，被一士兵挥剑砍死，时年７５岁。阿基米德对科学事业的伟大贡献是永存的。后世数学家尊他为数学之神，并且认为，任何一张列出有史以来３位最伟大的数学家的名单中，必定有他，另外两位通常是牛顿和高斯，而且往往把阿基米德置在首位。
我思故我在的笛卡儿
１５９６年，笛卡儿出生于法国西南部的拉·爱伊城的一个贵族家里。父亲是布列塔尼议会的议员，读过很多书，尤其精通自然科学和哲学。笛卡儿刚生下来特别瘦，两岁的时候，母亲又去世了，小笛卡儿的身体更加孱弱了。父亲十分心疼小笛卡儿，只要有空便陪他玩。笛卡儿稍大一点时，父亲便教他认字，他特别聪明，总是能很快地掌握父亲教给的知识。慢慢地笛卡儿认的字多了，他便开始找书看。父亲的书房里有很多书，小笛卡儿不管理解不理解都拿来看。他对自然科学特别感兴趣，有一次，父亲见他拿着一本很深奥的数学论著在认真地读，感觉很好奇，便问他从书上学到了什么。小笛卡儿高兴地告诉父亲：“爸爸，我发现书上的图形很多，我在看它们到底是怎么回事呢？”看到小笛卡儿这么爱读书，父亲便买回了许多儿童书籍让他看。不过笛卡儿不太喜欢父亲特意为他买回家的书，他更喜欢大人看的书籍。
８岁的时候，笛卡儿该上学了。父亲为他选择了当时欧洲著名的教会学校———拉夫雷士公学校。这所学校教学水平高、纪律严格。由于笛卡儿身体比较差，所以父亲便请求学校对小笛卡儿要特别照顾一些。学校校长特许他不必到学校上早读，但好学上进的笛卡儿却并没有因此而偷懒，他每天都早早起床，利用这一段时间阅读哲学、数学、文学和历史等多方面的课外书籍。正是在这段时间，笛卡儿对数学和哲学产生了浓厚的兴趣。
笛卡儿在拉夫雷士公学校读了８年书，他的成绩特别好，１６１２年以优异的成绩考入了普瓦蒂埃大学攻读法学。在大学里笛卡儿如饥似渴地读书。他每天除了上课就是在图书馆，他对什么都感兴趣，几乎读遍了图书馆的所有书籍。笛卡儿尤其爱看数学和哲学方面的书。他喜欢研究数学，经常为了算一道题而忘记吃饭。大学期间他在数学方面就有了很多自己的见解。１６１６年，笛卡儿获得了法学博士学位。毕业后他先是到巴黎做了一段律师。这期间他认识了巴黎上流社会中许多人，还结交了当时法国不少有名的数学家。笛卡儿经常和这些数学家在一起探讨数学，这段时间里他积累了大量的数学知识。渐渐地，笛卡儿厌倦了巴黎灯红酒绿的生活，于是他辞去了律师职务，躲在巴黎僻静的市郊专心研究数学和哲学。
１６１８年，欧洲爆发了战争。１６２０年笛卡儿参军了。在军队中笛卡儿没有放弃对数学的研究，一有空他便思考数学问题，研究数学几乎成了他生活中最大的乐趣。他经常一边吃饭一边进行数学演算，周围的人都笑他是“数学痴”。１６２６年，笛卡儿随军来到荷兰，一天他在街上看到当地政府贴出的一张征求数学难题解法的布告。笛卡儿站着看了一会便将难题解答了出来。于是，他将答案告诉了有关部门，并因此受到了奖励。
之后，笛卡儿离开了军队，专心进行数学研究。当时在数学上占主导地位的是欧几里得的几何学和代数学。几何学与代数学还是两个完全独立的学科。笛卡儿想，如果能用直观的几何图表表示出抽象的代数方程，那数学计算就方便多了。于是他决定找出一种能够将几何与代数有机结合起来的工具。他进行了许多探索，做了大量的演算，但一直没有结果。由于总是熬夜进行研究，本来就身体不好的笛卡儿病倒了。这一天，笛卡儿躺在床上养病，他突然看到屋顶角上的一张蜘蛛网，有一只蜘蛛停在网的正中。笛卡儿突然有了灵感，如果将蜘蛛看成一个点，蜘蛛网线看成几何上的线那会怎样呢？笛卡儿顿时来了精神，他忘了自己正在生病，下床就开始演算了起来。就这样在蜘蛛网的启发下，笛卡儿创建了直角坐标系，改变了古希腊以来代数与几何分离的局面，开创了解析几何新时代，为世界近代数学做出了重大贡献。
此外，笛卡儿在物理学、生物学、哲学方面也有许多贡献，他的哲学著作《方法谈》在世界哲学史上有着深远的影响。
欧拉的数学生命
瑞士数学家里昂纳得·欧拉一生发表论文、专著达８８６部，是极富成就、历史上著述最多的数学家。欧拉１３岁入读巴塞尔大学，１５岁大学毕业，１６岁获得硕士学位，１９岁开始发表文章，并获得巴黎科学院奖金。１７２５年在丹尼尔·伯努利的推荐下他到俄国讲学，任彼得堡科学院院士。１７４１年赴德国科学院工作了２５年后应俄国沙皇礼聘重回彼得堡，直至逝世。
欧拉是１８世纪、也是数学史上最杰出的数学家之一，在几乎所有数学的最重要分支中，都有他开创性的贡献。至今每个数学部门都可以看到欧拉的名字，也经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。欧拉最大的功绩是扩展了微积分的领域，为微分几何及分析学的一些重要分支（如无穷级数、微分方程等）的产生与发展奠定了基础。他还把数学研究渗透到几乎整个物理领域。
欧拉２８岁时因工作过度致使右眼失明。年近６０岁时另一只眼睛也逐渐失明。双目失明并没有使他停止研究和创作，他口述自己的研究让别人替他记录，凭借惊人的记忆力和想象力，顽强而艰苦地进行探索，直到他生命的最后一刻还在计算天王星的轨道。他留给后人丰富的科学遗产，被科学史学家们列为人类有史以来贡献最大的四位数学家（阿基米德、牛顿、欧拉、高斯）之一。他的书通俗易懂，很多数学家就是被他的书所吸引，走上数学之路的。
１＋２＋３＋…＋１００＝？高斯的奇迹
数学老师上课时出了一道算术题：１＋２＋３＋…＋１００＝？老师刚把算题写完，一个小男孩儿立刻回答：“５０５０。”一时让老师惊诧不已。这个１０岁男孩儿叫高斯。卡尔·弗里德里希·高斯，德国数学家、物理学家和天文学家，近代数学的奠基人之一，生于德意志不伦瑞克一个贫苦家庭，幼年便表现出极高的数学才能。当时数学界流传一个设想：“正多边形的边数如果是大于５的质数，这个正多边形就不可能用尺规做出。”高斯却用尺规做出了正１７边形，立刻轰动了数学界，这年高斯１９岁。哥廷根大学毕业后，他因证明代数基本定理获赫尔姆施泰特大学数学博士学位，并长期担任哥廷根大学教授兼任哥廷根天文学台台长。
高斯的数学成就遍及各个领域。早期研究数论，成果收入在《算术研究》中。他在超几何级数、复变函数论、统计数学、椭圆函数论等方面都有开创性贡献。他的曲面论是近代微分几何的开端，并奠定了这一学科发展的基本方向。高斯才华横溢，不仅在数学方面成就显著，在物理学、天文学、测地学方面也有显赫贡献。他与德国物理学家韦伯一道建立了电磁学中的高斯单位制，用自己的行星轨道计算法和最小二乘法，算出各行星的轨道，并在晚年写出《天体运动论》。
高斯的成就深刻地影响了当时的学术界。因为他在数学方面的成就卓著实在无人匹敌，所以在数学界被誉为“数学王子”和“数学巨人”；人们用他的名字来命名磁感应强度的单位；为纪念他，他的出生地被改名为高斯堡，在柏林、哥廷根都建有他的纪念碑。
