采用这个方法，很快就可以算出，当队伍人数在１０００与１２００之间时，解答是１１４１（ｔ２＝３）。队伍人数在３９００到４２００之间时，解答是４０８１人（ｔ２＝１０）。
水兵的“特解”方程故事
统观全球流行的水兵服装，其显著特点是：上装有方形披肩，下装裤管肥大。
古代男子流行蓄长发，而水手为了适应海上的漂泊生活，喜欢将长发梳成辫子，并涂油增加美感。谁知油光锃亮的辫梢又常常玷污水手的服装。于是，他们又在自己的肩上披上一块方巾来保洁。这个方法历经数百年的演变后，就成了今天别树一帜的水兵上装款式。
水兵裤裤筒肥大，这同样与他们的海上活动紧密相关。水手们长年在惊涛中拼搏，一旦不慎落水，肥大的裤子将易于挣脱，从而减轻了负重；水手日常冲洗甲板劳作频繁，肥大裤口可以罩住靴子、阻挡水花溅入；也有助于将裤筒翻卷过膝盖。不知从何时开始，这种水兵裤在陆地上也逐渐流传开来，并被人们视为时髦，甚至有意加大尺寸，变成了“喇叭裤”。
水兵们除穿着奇特外，做事也有自己的原则，由于他们长年要在海上度过，所以，养成了善于思考的好习惯，你看，一次海上训练时，有５个水兵带了１只猴子，来到南太平洋的一个荒岛上，在这里，他们做了一个小小恶作剧，从而引出了一个小小的数学难题———他们一行５人刚踏上这个小岛时，发现那里有一大堆椰子，因为长时间的航行，旅途极度劳累，他们一躺下就睡着了。不久，第一名水兵醒来，他把椰子平分为５堆，还剩下一只椰子便丢给猴子吃了，自己私藏起一堆，就翻身睡下。隔了一会儿，第二名、第三名、第四名、第五名水兵先后醒来，各自将这出“戏”（平分成５堆，自己私藏一堆，丢１只椰子给猴子吃）重演了一番。天亮了，大家都心里有数，谁也不说，但为了公平起见，又把剩下的椰子重新分成５堆，大家各取一堆。这时，说也奇怪，正好又多出１只椰子，把它丢给了猴子。你能算出原先一共有多少只椰子吗？
此题存在着无限多解。现只求最小整数解，并探讨解的一般规律。
设Ｎ是最初的椰子数，Ｆ是天亮后最末一次分配时，每名水手所分到的椰子数，于是可列出下列的方程组：
Ｎ＝５Ａ＋１
４Ａ＝５Ｂ＋１
４Ｂ＝５Ｃ＋１
４Ｃ＝５Ｄ＋１
４Ｄ＝５Ｅ＋１
４Ｅ＝５Ｆ＋１
化简后可得：
１０２４Ｎ＝１５６２５Ｆ＋１１５２９
由于椰子数Ｎ曾被连续６次分成５堆，因此如果某数是该方程的一个解，则把此数加上５６（５６＝１５６２５）后，显然仍是方程的解。一般人解不定方程应用题，总是设法求出它的正整数解，可是数理逻辑学家怀特海却想出一个异乎寻常的办法，他先请负整数来帮忙，求出特解之后，再“让位”给正整数。
令Ｆ＝－１，代入方程可求出Ｎ＝－４，既然－４是这个不定方程的一个“特解”，那么－４＋５６仍然是该方程的特解，于是就马上求出了本题的椰子数应该是：
－４＋１５６２５＝１５６２１（只）
怀特海怎么会“领悟”出这种传奇式的解法呢？假定当初有－４只椰子，则在其中硬拿出一只给猴子后，还剩下－４－１＝－５（只），分成五堆，每堆有－１只椰子，私自藏起一堆后，还剩四堆，所以一共仍然是－４只椰子，这正好是回到了没有以前的情况。
设想ｘ是原来的椰子数，ｙ是经过一位水手搞小动作以后的椰子数，则有变换Ｔ（ｘ）＝ｙ，其解析表达式是：
ｙ＝４（ｘ－１）
５
显然，ｘ＝－４时，ｙ＝ｘ，所以－４是这个线性变换的“不动点”。不动点是数学里一个非常重要的概念，其意义已远远超出了题趣。
方程知道火箭炮在哪里
在海湾战争中，出尽风头的美国军队显然对这样的一个事实感到万分羞愧。１９８５年，有几个小偷公然登上了海军“山鹰”号航空母舰，拆卸了Ｆ－１４飞机上的零部件。事情被发现后，美国全国一片哗然，许多人批评说，一些军火库的防护网尽是破洞，报警系统名存实亡。
国际军火商显然知道哪些美国军事装备容易搞到手。美国官员多次截获了出售数以百计的导弹、大炮，甚至直升机的清单。在德国的一个美军基地里，美国官员发现先进的“毒刺”式导弹就随意放在锈迹斑斑的金属箱子中，外面还有“毒刺”式导弹的标记，好像生怕窃贼认不出来似的。
盗窃武器的人不仅有一般的小偷，甚至军人和警卫人员也从事盗窃。失窃的武器大到导弹，小到手枪，五花八门。这些盗贼胆大包天的程度使人难以相信。
美军华盛顿一个军火库，夜里丢失了新研制的火箭炮。警察局长派善于运用数学侦察的爱克探长前往军火库侦察。爱克探长先找到当晚看守军火库的值勤士兵，问他们可曾发现什么异常情况。两个士兵回答：“昨天午夜我们听到军火库后面有响动，问口令但没有人回答。正端起枪想转到后面看看，只觉得脑袋上重重地挨了一下，然后就什么也不知道了。”
爱克探长赶忙问：“那在什么时间？”
一个士兵回答：“那时我刚好上厕所回来，看了看表是１点４０分。”
探长看到现场只留下一个人的脚印，脚印一直往北，他掏出本子写下一点什么，然后沿着脚印前进，一直走到北城门口。爱克探长发现盗窃犯是从北城门这儿跑出去的。他向昨晚在这儿值班的两个警卫了解情况，两个警卫低下头说：“我俩都打盹睡着了。”
只见爱克探长又在小本上记下一点什么。他要了一份华盛顿全城的地图，仔细看了一遍，然后在笔记本上开始计算。
突然，爱克探长用手往北一指说：“快去逮捕偷盗火箭炮的人！他现在正在城北３２千米处的快乐旅店里。他的特征是：身高１８米左右，体重约１６０斤，右脚有点跛。”大家围着爱克探长，问他怎么算的。爱克探长淡淡一笑，说：“身高是根据脚印的大小及步子的长短推算的；体重是根据脚印的深浅程度推算的；跛足是根据脚印的形状知道的，这都是一般侦探都知道的常识。”
一名警官问：“你又怎么知道偷武器的人就在城北３２千米的快乐旅店里呢？”
“我首先计算了偷武器的人逃走的速度。他打晕守军火库的士兵是在１点４０分，守北城门的警卫２点醒来刚好看见他，说明他从军火库走到北城门用了２０分钟。从军火库到北城门的距离，从地图上看，是３６千米。”
爱克探长又说：“于是，我设窃贼逃走的速度为每小时ｘ千米。”爱克探长在地上写了一个大大的ｘ说：“已知２０分钟走了３６千米。２０分钟等于１／３小时，这样就可以知道他走了１／３个ｘ千米的距离，恰好等于３６千米，列出方程式就是：
１
３ｘ＝３６，
ｘ＝１０８千米
也就是他每小时的速度是１０８千米。”
大家问：“你又怎么知道他在城北３２千米处的快乐旅店里呢？”
爱克探长说：“他偷火箭炮的时间是晚上１点４０分；戒严令是清晨５点，北面只有一条大路可走，他从１点４０分走到清晨５点，共走了３小时２０分钟，即３小时，在这段时间里他所走的距离，等于从军火库到北城门，又从北城门继续往北走的距离。”
“这段距离是多少呢？”
“这是另一个未知数，用ｙ代表。现在我们设从北城门继续往北走的距离为ｙ。
列出方程式：
１
３×１０８＝ｙ＋３６
ｙ＝３２４千米。
北边大路上，从２０千米到４０千米的距离里，只在３２千米的地方有旅店。５点钟天已经亮了，他不敢再走，必定在那儿藏身。”
正说着，只听得外面一阵马达声响过，几名警察押着一个高个子右脚跛足的中年人走了进来。
杨子荣的方程百鸡宴
《智取威武山》中有一场是杨子荣布置好“百鸡宴”，准备迎接我军、清除匪徒。这“百鸡宴”使人联想起我国１１世纪的数学家谢察微提出的有趣的“百鸡问题”。问题是这样提出的：
公鸡５元钱１只，母鸡３元钱１只，小鸡１元钱３只，如果１００元钱买１００只鸡，问公鸡、母鸡和小鸡各几只？
现在很难考查，当初杨子荣是不是这样去买鸡的？解答：设公鸡ｘ只，母鸡ｙ只，小鸡ｚ只。
ｘ＋ｙ＋ｚ＝１００
列方程：
５ｘ＋３ｙ＋１ｚ＝１００
３
解此联立方程，得ｚ＝１００－ｘ－ｙ
这是一个不定方程，有无数组解。但因鸡的数目只能是正整数，所以可以有４组答案ｘ１＝１２ｙ１＝４ｚ１＝８ｘ２＝８
ｙ２＝１１
ｚ２＝８１
ｘ３＝４
ｙ３＝１８
ｚ３＝７８
ｘ４＝０
ｙ４＝２５ｚ４＝７５
由杨子荣布置好的“百鸡宴”可以看出，英雄杨子荣有勇更有谋，遗憾的是，英雄牺牲后，人们还不知道他家真正的地址。杨子荣所在部队的干部战士只知他是胶东人，不知道具体地址，也不知他有杨宗贵这个名字。杨子荣自参军后没给家写过信，家里也无法与部队联系。部队虽曾派人查询过他的家乡，均无结果。杨子荣参军后，村里曾把他家按军属优抚。后来有人从东北回来说，在下城子一带看到杨子荣穿着皮袄，戴着皮帽，匪里匪气的，加上他不给家里写信，村里就当匪属对待，地也不给代耕了。妻子许万亮受了不少连累，全国解放后仍没有子荣的信，终因忧思成疾，于１９５２年秋离开人间。临终前她拿着结婚时子荣给买的一把梳子，流着泪说：杨子荣不会当土匪。直到１９７３年，原牡丹江二团副政委、《林海雪原》的作者曲波，找到１９４６年６月团里战斗模范的一张合影，把杨子荣的形象翻拍放大，根据找到的一点线索，寄往牟平县民政局，带到峡河村让人辨认，这才找到了英雄的家。１９９１年，牟平县在杨子荣参军的县城边小庙旁修建了杨子荣纪念馆，县城中心“杨子荣广场”塑有雕像，基座上镌刻着“杨子荣”三个大字。
传令兵通信中的一元二次方程
传令兵通信，作为部队最常见的人工通信方式，在近距离通信中，显得方便快捷。但在长距离或稍长距离通信中，人工通信就显现出它的致命弱点来，最大的问题就是通信时效低。如从下面正在行军的一支大部队中传令兵传递信息的速度就可看出这点。
假设有这样一支大军，首尾长达５０英里，大军以匀速向前推进时，一个传令兵从队伍的最后面，骑着快马向前疾驶，传达一个紧急命令。任务完成后，他马不停蹄，立即回到他的原来位置。说来也巧，他返回原位时，大军正好向前推进了５０英里。试问：传令兵一共走了多少路？
如果这支部队停止不动，显然他向前走了５０英里，又向后走了同样的距离，但由于大军在向前推进，因此他走到队伍前端肯定不止５０英里，而返回时所走的路要比５０英里少，因为队伍是朝着他迎面而来的。求解本题时，当然要假定传令兵始终是按匀速运动的。
更困难的问题是，假设有一支庞大的、排成方阵的军队，长与宽都达５０英里，以匀速向前推进了５０英里。一位传令兵开始出发时处在方阵后沿的中心位置上，他绕着整个队伍环行一圈，最后回到了出发点。假设传令兵的速度保持不变，他走完全部路程，返回原位时，这支部队也正好完成了推进５０英里的任务。试问：传令兵一共走了多少路？
设整个队伍的长度为１，大军向前推进这一长度的所需时间也等于１，由此可见大军行进的速度也是１。设ｘ为传令兵所走的路程，当然这也就是他的速度。他在向前疾驶时，他与前进中的部队的相对速度为ｘ－１；而在返回途中，相对速度则是ｘ＋１。前进也好，返回也好，每段路程都是１（相对于这支大军而言），而这两段路程是在单位时间内完成的，从而我们可以得到下列方程：
１
１
＝０。
ｘ－１＋ｘ＋１＝１。
此方程经过整理、化简后，可得一元二次方程：ｘ２－２ｘ－１由此求出ｘ的正根为１＋槡２。我们将它乘以５０，即可得出最后的答数１２０７英里。换句话说，传令兵所走过的路程等于大军的长度再加上该长度的槡２倍。
问题的第二部分也可以用类似方法去求解。这时，传令兵与行进中的军队的相对速度分别为：他在前进时为ｘ－１，返回时为ｘ＋１，向两边走时为ｘ２－１。（他从哪里开始对问题是没有影响的，因此为了简单起见，我们不妨认为他的出发点是在方阵后沿的角上，而不是在后沿的中央。）同前面一样，每段路程对这支大军而言都是１，由于他在单位时间里走完了四段路，于是我们得以列出下面的方程：
１
１
２
ｘ－１＋ｘ＋１＋槡
经整理后，此方程是一个一元四次方程：ｘ４－４ｘ３－２ｘ２＋４ｘ＋５＝０。
满足问题各项条件的解只有一个，即ｘ＝４１８１１２。再乘以５０，就得到最后的答数。
二赖子用方程吃白饭
二赖子是乡亲们给起的外号。由于此人一贯耍赖，为人不正直，在乡邻中口碑不好，没有人愿意理他。可自从日本鬼子来了以后，二赖子甘当汉奸，身板也硬了起来，昔日的赖性又重犯了。但他这个汉奸顶多只能称之为“蠢汉”。有一天，二赖子身边带着有数的钱，来到一个小饭馆。一进门，他便高声吆喝道：
“张老四，给我上点可口的饭菜，今天晚上老子要给皇军带路，伺候不好我，小心皇军找你算账！”饭馆老板表面上答应着，心里暗暗骂道：“呸，王八羔子，看你还能逞能几天！”二赖子本不想付钱，便耍赖道：“张老四，你先借我一点钱，数目不多，就和我身上带的钱一样多。”饭馆老板不想和这个无赖纠缠下去，便借给了他。二赖子借了与他身边所带同样数目的钱，然后花掉１元钱，吃了一顿饭。第二顿，他又带着剩余的钱，来到另一个饭馆，又向老板借了与身上相同数目的钱，又花掉１元钱。第三顿，到了第三家饭馆，又借了与身边同样多的钱，又花掉了１元钱。这时身边已分文没有了。他一共吃了３顿饭，虽然张老板知道他身上有多少钱，但当时他不敢说出来。
１９４５年，爱好世界和平的人民迎来了人间的春天，中国人民也从侵略者的铁蹄下解放出来，二赖子得到了应有的惩罚。在欢庆胜利的喜筵上，三位老板聚到一起，不约而同地谈起了二赖子借钱蹭饭的事。张老板告诉其他两位老板：二赖子身上只带了８角７分５厘。你知道张老板是怎样算出来的吗？
设二赖子原来带有ｘ元。
从第一家饭馆出来剩下的钱为：ｘ＋ｘ－１
从第二家饭馆出来剩下的钱为：２（ｘ＋ｘ－１）－１从第三家饭馆出来己分文不剩了，于是：２［２（ｘ＋ｘ－１）－１］－１＝０求解此方程，求得：
ｘ＝０８７５元
即原来二赖子身边只带８角７分５厘，却骗了３顿饭。
福尔摩斯算小孩数量
大侦探福尔摩斯是英国小说家柯南道尔笔下的大英雄，他与他的助手华生医生一起，侦破了许多谜案，成为世界著名的大侦探家。
一天，福尔摩斯在华生家中做客，两人站在开着窗户的客厅里聊天，从庭园中传来一群孩子的笑声。于是，福尔摩斯问：
“你家有多少孩子？”
华生回答说：“那些孩子不全是我的。那是我和弟弟、妹妹、叔叔四家人的。但我的孩子最多，弟弟次之，妹妹更其次，叔叔的孩子最少。他们不能按九人一队凑满两队。但四家孩子数的积恰好等于我们房子的门牌号码，而这个数您是知道的。”
福尔摩斯听了很有兴趣，他说：“让我试试把每家的孩子数算出来。”经过一番计算，福尔摩斯又问：“解这个题，已知数据还不够。能告诉我，叔叔的孩子是一个呢？还是不止一个？”华生做了回答，但回答的内容我们不知道。
福尔摩斯果然算出了正确的答案。你能算出门牌号码和每一家的孩子数吗？
让我们看看福尔摩斯是怎么做的。根据华生给定的条件，我们知道：
（１）由于凑不满每队９人的两队，可见孩子总数少于１８个。
（２）四家的孩子数各不相同。假如叔叔家有３个孩子，则妹妹家至少有４个，弟弟家至少有５个，华生家至少有６个，那么四家孩子总数有３＋４＋５＋６＝１８个，与（１）有了矛盾，所以叔叔家的孩子数只可能是１个或２个。
（３）如果叔叔家有２个孩子，那么各家孩子数可能是这样七种情况：
孩子数
他们的和
他们的积
２、３、４、５
１４
１２０
２、３、４、６
１５
１４４
２、３、４、７
１６
１６８
２、３、４、８
１７
１９２
２、３、５、６
１６
１８０
２、３、５、７
１７
２１０
２、４、５、６
１７
２４０
（４）如果叔叔家有１个孩子，那么各家孩子数可能是下面四种情况（只考虑积不小于１２０）。
孩子数
他们的和
他们的积
１、３、５、８
１７
１２０
１、３、６、７
１７
１２６
１、４、５、６
１６
１２０
１、４、５、７
１７
１４０
从（３）和（４）的分析可知门牌号肯定是１２０。所以四家孩子数的可能情况为下面三种：
２、３、４、５１、３、５、８１、４、５、６如果叔叔家孩子数只有１人，那么就有两种答案，解就不能确定了。现在福尔摩斯能回答得一点不差，看来四家孩子数必定是“叔叔家２个，妹妹家３个，弟弟家４个，华生家５个”。
寻觅五次方程
