伽利略决定“冲淡重力”，使小球在光滑斜面上滚动，以便在较小加速度的情况下进行测量，如上图所示。斜面越陡，球滚得越快，当斜面与地面相垂直的极限情况下，小球就自由下落。物体沿光滑斜面的运动同自由落体运动一样，都是初速度为零的匀加速运动。伽利略用从一个大容器底部附近打开的小口流出的水量来测量时间，记录小球在相等的时间间隔内在斜面上的位置。在初速度为零的情况下，从起点开始，伽利略通过测量发现小球在相等的时间间隔内所通过的距离，彼此成1∶3∶5∶7…的比例关系。于是，伽利略断定，从起点开始，小球在斜面上通过的距离与其时间的平方成正比，速度应与时间的一次方成正比。这样，伽利略得到了距离与时间的正确关系，也得到了落体运动的正确规律。伽利略在1632年出版的《关于托勒密和哥白尼两个世界体系的对话》中记载了这一过程。现摘录如下。
在加速运动中，速度是不断增大的，你不可能把连续增大的速度等级（即速度数值，以下同）分成任何确定的数目，因为速度每时每刻都在变化，这些数目总是无限多。所以我们最好画一个三角形ABC（如下图）。
速度与时间的关系
把表示时间的AC边随意分成许多等分AD，DE，EF，FG，GC。再过D，E，F，G，C等点做AC的垂线DH，EJ，FK，GL，CB，分别代表各相应的速度等级。设A点是静止的，从这点开始，物体在AD时间内获得的速度等级是DH。速度不断增加，并且在相等的时间内增加的速度数值相等，对应C时刻的速度等级是CB，所以直线AB就表明速度与时问的关系。为了确定在AC这段时间内通过的距离，可以设想，如果物体以速度CB做匀速直线运动，则理应等于CB边与AC边的乘积，即图中矩形ACBM的面积。与此相应，从A点升抬的距离等于三角形ACB的面积，即应等于矩形ACBM的面积的一半。用公式表示则为υ=ats=12at2，其中，a为加速度。对于自由落体运动，用重力加速度g代替上面的加速度a，就得到自由落体运动的规律。这样，通过斜面实验，伽利略就得到了匀加速运动的运动规律。
伽利略进一步分析，如果物体从A点开始沿光滑斜面AB下滑，如下图所示。
惯性定律用图
物体的速度将越来越快。若物体以在B点获得的速度沿光滑斜面BC向上运动，其速度将越来越慢，但最终能达到C点，因为A，C位于相同的高度h上。如果换成另一光滑斜面BD，由于D，C，A位于同一高度h上，所以物体仍能从B点到达D点，但其所需的时间要比BC斜面的要长。斜面长度越长，返回到与A点同一高度所需的时间也就越长。在极限情况下，若物体从B点沿光滑水平面BE运动，则物体将以相等的速度运动下去，一直到无限远处。通过这样的分析，伽利略实际上已经得到了惯性定律（即牛顿第一运动定律）。
伽利略在分析总结得到上述规律所用的方法时说：“我先用数字来演算，然后用手和眼（即实验）来检验，如果得出相同的答案，这个答案一般就是正确的。”伽利略开辟了一套新的科学研究方法——实验方法和数学方法相结合，即将观察与实验、物理思想与数学工具结合起来的方法，这种方法一直到今天还证明具有强大的生命力。
伽利略在力学领域中的另一个重要贡献是关于运动合成的观念。在分析（忽略空气阻力的）抛射体运动中，伽利略用水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动两种运动的合成来表示。在1632年出版的《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》（简称《两大体系的对话》）中，伽利略阐述了他的运动合成思想以及著名的力学相对性原理。现把部分内容摘录如下：“……如果你从塔顶上同时让一只死鸟和一只活鸟落下，死鸟的情况将与石块一样，即首先要跟随普遍存在的地球周日运动，同时又要像石块那样做降落运动。但是如果让活鸟落下，什么东西能妨碍它（它始终都随地球做周日运动）不靠自己的翅膀想飞多高就飞多高呢？因为鸟儿是有生命的，它能够用自己的气力反抗地上物体本来就有的运动。而鸟儿所特有的这种新的运动，我们并没有参与进去，所以对我们来说必定是可以明显看得出的。简单地说，鸟儿飞的结果和我们向世界任何地点抛射物体不同的地方，无非只在于抛射体是靠外界的投射人桌运动，而鸟儿是靠内部的因素来运动。
为了最终证明上面引述的这全部实验毫无价值，我以为现在是要明确指出如何严格验证这一切的方便的时候了。设想把你和你的朋友关在一只大船的舱板下，最大的房间里，里面招来一些蚊子、苍蝇以及诸如此类有翅膀的小动物。再拿一只盛满水的大桶，里面放一些鱼；再把一只瓶子吊起来，让它可以一滴一滴地把水滴出来，滴入下面放着的另一只窄颈瓶子中。于是，船在静止不动时，我们看到这些有翅膀的小动物如何以同样的速度飞向房间各处；看到鱼如何毫无差别地向各个方向游动；又看到滴水如何全部落到下面所放的瓶子中。而当你把什么东西扔向你的朋友时，只要他和你的距离保持一定，你向某个方向扔时不必比向另一个方向要用更大的力。如果你在跳远，你向各个方面会跳得同样远。尽管看到这一切细节，但是没有人怀疑。如果船上情况不变，当船以任意速度运动时这一切应当照样发生。只要这运动是均匀的，不在任何方向发生摇摆，你不能辨别得出上述这一切结果有丝毫变化，也不能靠其中任何一个结果来推断船是在运动还是静止不动。这种等价关系产生的原因是，船的运动是船中一切事物也包括空气在内所共有的；我的意思是假定这些事物都被关在房间里，但是，如果这些东西是处在甲板上敞开的空气里，不一定完全随船一起运动，则在上述某些结果中，就会看到多少可以觉察的差别了。毫无疑问，烟会像空气一样落在船的后面，如果苍蝇和蚊子与船相隔一段距离，它们也会受空气的阻碍，而不能随船一起运动；但如就在附近，则因为船本身乃是一种弯曲的结构，会带着靠它最近的部分空气一起走，苍蝇和蚊子就会毫不费力地、毫无困难地跟着船一起运动了。”
这段话的意思是，在封闭的船舱中做任何力学实验都不可能发现一只船是停泊在岸边还是以恒定的速度行驶在海上。换句话说，不能通过力学实验来判定参考系是处于静止状态或是匀速直线运动状态；任何惯性参考系都是等价的，自然界不存在绝对静止的参考系。以上说法称为“伽利略相对性原理”。1905年，爱因斯坦将伽利略相对性原理加以推广，成为狭义相对论的基本原理之一。
（三）伽利略与天文学
1609年7月，伽利略听说荷兰的一位眼镜工人发明了供人玩赏的望远镜。经过认真思考之后，伽利略利用风琴管和凸凹透镜各一片制成了一具望远镜，其放大率达到33倍。用这具自制的望远镜，伽利略发现了月球表面的环形山、土星的光环、木星的卫星以及太阳黑子等，开辟了天文学的新天地。
1610年3月，伽利略出版了《星空信使》一书，在整个欧洲引起了轰动。1610年秋天，伽利略辞去了大学中的职务，担任宫廷首席数学家和哲学家的闲职，以便有更加充裕的时间致力于科学研究工作。
由于《星空信使》的内容为哥白尼的日心说提供了证据，1615年，教会中与伽利略敌对的人联合起来攻击伽利略，控告他违反基督教义。1616年，教皇保罗五世下达了残酷的“1616年禁令”，禁止伽利略以口头或文字形式传授或捍卫日心说。
此后几年，伽利略一方面争取教皇解除“1616年禁令”，一方面继续他的科学研究工作。1632年出版《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》一书。
书中以三人对话的形式，阐述伽利略的科学思想。但是，该书出版后仅6个月，罗马教皇便下令停止出售，认为伽利略公然违背“1616年禁令”。
1632年秋天，教皇又发出了要伽利略到罗马宗教裁判所接受审判的指令。年近7旬又体弱多病的伽利略被迫在寒冬季节抱病前往罗马。
1633年6月22日，宗教裁判所判处伽利略终身监禁，后来又改为在家软禁。在软禁期间，伽利略又用对话体裁，将他最成熟的科学思想和科研成果撰写成《关于两门新科学的对话与数学证明对话集》一书，并于1638年在荷兰莱顿出版。由于身体虚弱，伽利略曾多次要求外出治病，均未获得教会批准。1637年伽利略双目失明，1642年1月8日逝世，享年78岁。
伽利略的一生，是向神学和亚里士多德的教条框框作斗争的一生。伽利略敢于向传统的权威思想挑战，倡导数学与实验相结合的研究方法，在科学上取得了辉煌的成就。从伽利略在1615年写给克利斯廷娜公爵夫人的一封信中可以看出他重视实验的思想。信中说：“我要请求这些聪明的神父们认真考虑一下臆测性的原理和由实验证实了的原理二者之间的区别。要知道，做实验工作的教授们的主张并不是只凭主观愿望来决定的。”
伽利略的数学与实验相结合的研究方法，一般说来分三个步骤：①先提取出从现象中获得的直观认识的主要部分，用最简单的数学形式表示出来，以建立量的概念；②再将此数学形式加以推导整理，得到另一个易于实验证实的数量关系；③然后通过实验来证实这种数量关系。对落体运动规律的研究，是这种方法的最好的说明。伽利略不仅得到了落体运动规律，还得到了惯性概念和惯性定律。牛顿在《自然哲学的数学原理》一书中高度评价了伽利略对第一、第二运动定律所做的开创性工作。
爱因斯坦说过：“伽利略的发现以及他所应用的科学推理方法，是人类思想史上最伟大的成就之一，标志着物理学的开端。”
1979年，梵蒂冈教皇J·保罗二世代表罗马教廷为伽利略平反昭雪，认为教廷在三百多年前审判迫害伽利略是严重的错误。这表明教廷最终承认了伽利略的主张——宗教不应该干预科学。
伽利略在人类思想解放和文明发展的过程中做出了巨大贡献，他是科学革命的先驱，很多人称他为“近代科学之父”。尽管遭到教会迫害，但他始终孜孜不倦地追求真理，这种精神难能可贵，令人钦佩。
