37.欲除先乘（二）
例18÷75=18×4÷3÷100=0.24
120÷375=120×8÷3÷1000=0.32
想一想，这样算的根据是什么？
按照这样方法计算：
21÷7530÷75345÷751200÷75
240375360÷37548÷0.3755400÷3750
解：21÷75=21×4÷3÷100=0.28
30÷75＝30÷3×4÷100=0.4
345÷75=345÷3×4÷100=4.6
1200÷75=1200÷3×4÷100=16
240÷375=240÷3×8÷1000=0.64
360÷375=360÷3×8÷1000=0.96
48÷0.375=48÷3×8＝128
5400÷3750=540÷375=540÷3×8÷1000=1.44
38.找规律（一）
先观察下列各式：
11×99=108922×99=2178
33×99=326744×99=4356
55×99=544566×99=6534
你能从各式中得到启示，直接写出77×99、88×99、99×99三式的积来吗？解：观察六道算式，可发现它们的共同规律是：
①积都是四位数。
②积的千位数字与被乘数的数字相同。
③积的百位数比千位数字小1。
④积的末两位数恰是被乘数与100间的补数。根据这个规律，我们便写出三式的积了：
77×99=7623
88×99＝8712
99×99=9801
39.找规律（二）
先观察下列算式：
①75×99=7425
75×999=74925
75×9999=749925
②47×99=4653
47×999=46953
47×9999=469953
③28×99=2772
28×999=27972
28×9999=279972
你能否从上列各式得到启示，直接写出下列各式的积：
38×9929×99968×999981×99999
解：从上式发现，它们的共同规律是：
①一个两位数与99相乘，积的前两位数比被乘数少1，积的后两位数是被乘数补数。
②乘数比99位数增加几个9，则在原积中间增写几个9。
所以上列各式的积可直接写出：
38×99=3762
29×999＝28971
68×9999＝679932
81×99999＝8099919
40.怪题之谜
美国的贝克顿市，有个古怪的石匠，叫托马斯。他生活的时代约在200年前。后来，人们发现他在一所房子的墙壁上刻了一道古怪的数学题：世上竟有这样的题，从数字和为45的一个数里，减去另一个数字和也是45的数，只有当差的数字和也是45时，这道题才算解对了。
这道题使当地的居民伤透了脑筋，许多数学爱好者也苦思不解。后来，有人发现1～9九个自然数的和恰是45，便恍然大悟，终于解开了这个谜团。
你能知道这是一个什么样的减法式子么？
解：人们经过多次反复地研究尝试，发现九个依次排列由大到小的阿拉伯数字，减去它的逆序数，恰好符合题目要求。
后来又发现，减数中的0放在不同的数位所构成的算式也都符合要求。
如：9876543210-1023456789=8853086421
9876543210-1203456789=8673086421
……
移动被减数中的0，构成的算式，仍然符合要求。
如：9087654321-1023456789=8064197532
9876504321-1203456789=8673047532
……
不仅如此，把0～9十个数字顺序打乱，分别组成被减数、减数，一些式子也符合要求。
如：4579036218-2814675039=1764361179
1954328760-1796435208=157893552
……
当然，其中有一些仅被减数、减数的数字和是45，而得出的差数字和却不是45，这样的题，就不符合要求了。
不论怎样，一个看似古怪难解的问题，经过人们的刻苦钻研，竟然一下子找到了那么多的解答方法，真是“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”了！
41.二进制
二进制的长处是适用于机器。将十进制的数输入机器后被转化为二进制，最后再“翻译”成十进制显示出来。
那么十进制和二进制是怎样互相转换的？比如十进制的85，要转换为二进制是多少？
解：把十进制的整数转化成二进制就显然不同了，如，整数1，在二进制中仍是1，2在二进制中便是10，3便是11。4便是200。因此，将十进制整数转换为二进制，只要将这个整数逐次用2去除，一直除到商等于0为止，然后把每次除得的余数倒排起来，便可以了。
例如把十进制的85，转化为二进制：
（85）10=（1010101）2
其中，号“10”表示十进制，号“2”表示二进制。上式表示十进制中的85等于二进制中的1010101。
那么，怎样将二进制再转换成十进制记数呢？
我们知道，若将十进制转换为二进制，如1010101可表示为：
（1010101）2=1×26+0×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1
=64+0＋16+0＋4＋0＋1
=85
只是十进制中的两位数，由二进制转换时便非常繁琐，倘是数千、数万甚至更大的数，其复杂程度便可想而知了。
怎么办？要是有一种机器来代替人工该多好！
是的，电子计算机就是干这种工作的，而且它的工作效率快得惊人，即便是位数繁多的数，它也能霎时之间得出结果。
42.八卦图
计算机的发明在当时震动了世界整个科学界。计算机的原理是二进制。据说，在研制计算机过程中，研制者曾碰上一个百思不解的难题，正在此时，一个中国朋友给他寄去了八卦图。
所谓八卦就是中国一部古代经典《易经》中的八种符号。研制者接到这个八卦图如获至宝，头脑豁然开朗，于是很快攻克难关，将具有划时代意义的计算机创造了出来。
你知道，这是受了什么启示？
解：八卦的基本符号只有两种，古人称之为“阴”和“阳”，利用阴和阳可以组成八卦，变化出64卦。
二进制也只有两个字码：0和1。
将这两种符号用在电器上，只要通“—”和断“——”两种状态就可以了，这样就大大简化了设备。
由于受到这样的启示，计算机便很快发明出来了。
计算机使用的是二进制，进行数的运算也很便捷。如加法和乘法口诀都只有三条：
加法：0＋0=0
1+0=0+1=1
乘法：0×0＝0
1×0=0×1=0
1×1=1
这与十进制中加、乘各有55个口诀相比，实在是太简捷了！
43.退瓶换水
暑假中，宁宁、尧尧等五个同学结伴到花果山旅游。他们走得又累又渴，便到商店买了一扎（10瓶）汽水。喝完后，营业员说，空瓶她们收回，要钱也行，换汽水3瓶换1瓶也可以。宁宁说：“全部换汽水！”结果，把换来的汽水喝了，空瓶又换了汽水。最后一只空瓶也没留下，你知道他们一共喝了多少瓶汽水吗？
解：这道题如果用普通的换来换去的办法也能求得结果，但是太麻烦，如果数量大，换的次数多了，很容易出错。
巧妙的思维方法是将它“分割压缩”，大题化小，寻找规律。
可以这么想：要先向营业员借1瓶，再买2瓶，喝完后，正好是3只空瓶，把空瓶都交给营业员，就正好互不欠账了。
这么一想，买2瓶汽水就可以喝到3瓶了。
因此，买一扎10瓶汽水，再加上退瓶后换来的汽水，共可以喝到：
解法1：10＋10÷2
=10＋5
=15（瓶）
解法2：3×（10÷2）
=3×5
=15（瓶）
44.龄乘积
芳芳、丽丽、倩倩三个同学年龄都依次相差1岁，一个比一个大。三个人年龄相乘得出的积是504。她们三人年龄各是多大？
解：从题中“年龄依次相差1，一个比一个大”。可断定：三人的年龄是三个连续的整数。
“三个连续数的积是504，求这三个数”。把题目变换成这样叙述，就便于思考了。
既然504是三个连续数的积，那么504的质因数必然包含这三个数的全部质因数。
思路只要进入这个阶段，这道看似很难的问题，便容易解决了。
只要将504分解成质因数相乘的形式，再设法把质因素的积分成三个连续数，便可以了。
经过分析，将质因数作下面的分组，便符合要求：
504=（2×2×2）×（3×3）×7
=8×9×7
=7×8×9
即：芳芳7岁、丽丽8岁、倩倩9岁。
45.长度
有一条大鲨鱼，它的身长等于头长加上尾长，它的尾长又等于身长的一半加上头长。已经知道这条鲨鱼头长3米。你能算出这条鲨鱼的全长是多少吗？
解：题中鲨鱼的头长已知是3米，身长=头长+尾长，尾长=头长+身长一半。
只要求出尾长，则身长可求，因此，求鲨鱼的尾长是解题的关键！
这道题趣在只告知鲨鱼的头长，身长尾长都不知，却要我们求出鲨鱼的全长来。初看似乎无从下手，但是画出示意图后，便暴露出了解题的关键。
尾长的求法，可作如下推导：
尾长=头长+身长÷2
=头长+（头长+尾长）÷2
2尾长=2头长+头长+尾长（等式两端都×2）
尾长=3头长
=3×3
=9（米）
全长=头长+身长+尾长
=3＋（3＋9）＋9
=3+12＋9
=24（米）46.桶重量
哥哥是个汽车驾驶员，小明经常看到他拿着油桶直接向车内加油，便问：“哥哥，每次加多少机油，有数吗？”哥哥说：“咋能没数呢！瞧，我这桶连油一共重七千克，现在油已用去一半了，连桶还有四千克。”
“桶里净油是多少，还是不知呀！”小明又问。
哥哥笑了笑说：“真是个书呆子！一算不就知道了！”
小明不再问了，他用心地思考着。一会儿，真的算出来了，连油桶的重量都知道了。
哥哥听了他的答案后，高兴得连连叫好：“不是书呆子，是洋学生。”
你知道小明是怎么算的吗？
解：连桶共重7千克，现在只剩下4千克了，那么用去多少油呢？
7-4=3（千克）这3千克就是油的一半，全部油便是：
（7－4）×2=3×2
=6（千克）
桶重便是：7－6=1（千克）
还可先求桶的重量：
4×2－7=1（千克）
再求油的重量：
7－1=6（千克）47.阶梯级数
科学家爱因斯坦做过这样的问题：
一条长长的阶梯，如果你每步跨2阶，那么最后余1阶；如果每步跨3阶，那么最后剩下2阶；如果每步跨5阶，最后剩4阶；如果每步跨6阶，最后剩5阶；只有当你每步跨7阶时，才正好走完，一阶也不剩。问这条阶梯最少有多少阶？
解：这个题目换一种说法，就是：一条长阶梯，它的阶数被2除余1，被3除余2，被5除余4，被6除余5，被7能整除，求至少有多少阶？
这样，把题目压缩简化了，可以方便思考。题中共有5个条件，可以分两步解决。
第一步，根据“阶数被2除余1，被3除余2，被5除余4，被6除余5”这四个条件，可知只要在阶数上加1，就是2、3、5、6四个数的倍数了。2、3、5、6的最小公倍是：30。
所以29=30-1是满足这四个条件的最小自然数。
第二步，第五个条件是“能够被7整除”，29显然不能满足这个条件。
怎样才能满足这个条件呢？用29作基数，连续加上2、3、5、6的最小公倍30，便可得到：29＋30=5959＋30=8989＋30=119……得出的和，经过计算，如果能被7整除了，那么答案便找到了。这里119÷7=17已经符合目标了，便不必再加下去。119便是台阶的最小数目。
48.蜻蜓、蛛蛛、蝉
生物小组一次到野外采集生物标本，他们共捉到蜻蜓、蜘蛛、蝉三种小动物共18只。他们算了一下，共有118条腿和20对翅膀。大家知道蜘蛛是8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。你能算出这三种小虫各是多少只吗？
解：初看这个题目很复杂，似乎无从着手。
可先把条件疏理清楚：
假定18只都是蜘蛛，那么应共有腿：
8×18=144（条）
实际只有118条腿，多了144-118=26（条）腿。为什么会多呢？因为每只蜘蛛比每只蜻蜓或蝉都多2条腿。把蜻蜓和蝉也当作蜘蛛计算了。这样，就有26÷2=13（只）都当作蜘蛛了。从而蜘蛛的只数可求：
18-13=5（只）
下一步再来算蜻蜓和蝉各是几只。
假如13只都是蜻蜓，每只蜻蜓2对翅膀，共有13×2=26（对）翅膀。实际只有20对翅膀，多了26-20=6（对）翅膀，为什么会多呢？因为蜻蜓是2对翅膀，蝉只有1对翅膀，把蝉当蜻蜓有1只就多2-1=1（对）翅膀。说明有6只蝉也当作蜻蜓了！实际蜻蜓只有13-6=7（只）。
列成综合式是：
（18×8-118）÷（8-6）
=（144-118）÷2
＝26÷2
=13（只）蜻蜓和蝉的只数
18-13=5（只）蜘蛛的只数
（13×2-20）÷（2-1）＝（26-20）÷1
＝6÷1
=6蝉的只数
13-6=7（只）蜻蜓的只数
49.剩余问题
有一篮鸡蛋，5个5个数余1，6个6个数余3，7个7个数余5。这篮鸡蛋至少有多少个？
解：这道题实质就是“求被5除余1，被6除余3，被7除余5的最小自然数是多少？”
我们可以用“层层剥笋”的方法来解决它。
第一步先满足“被5除余1”的条件：用1连续加上5的得数都符合，6、11、16、21、26……在计算过程中，要使得数满足第二个条件“被6除余3”，即停止。21÷6=3……3便不再加下去了。
第二步，用21这个数再连续加上5和6的最小公倍数30，直到和能满足第三个条件：被7除余5。
21＋30=5151＋30=8181＋30=111
111＋30=141141＋30=171171+30=201
好了，201÷7=28……5符合第三个条件了，便停止再加。所以，至少有201个鸡蛋。
验算一下：
201÷5=40……1
201÷6＝33……3
201÷7＝28……550.行程问题
休息日弟弟和妈妈一同去姥姥家。他们走了1小时后，哥哥发现带给姥姥的礼品忘在家里。便立刻带上礼品去追。可爱的小花狗，也跟着飞奔而去。它追上弟弟后，又立即返回到哥哥这里，再返回追弟弟，就这样，不停地在哥哥和弟弟之间跑来跑去，直到兄弟俩相遇了。如果弟弟每小时行2千米，哥哥每小时行6千米，小花狗的时速是16千米，你能算出在哥哥追上弟弟时，小花狗一共跑了多少千米？
解：表面看，这题很难：小花狗在兄弟俩之间往返不停地跑动，兄弟俩之间的距离又是逐渐地缩短，又没有告诉小花狗一共跑了多少趟，小花狗跑的路程怎么求呀？
如果思路误入这个歧途，问题便难解了。
我们应该这么想：
已经告知了小花狗的速度是16千米/小时，只要知道时间，便可求出小花狗共跑了多少路程。
哥哥追上弟弟所用的时间，就是小花狗跑的时间。因为从哥哥出发时，它就一直没停往返于哥哥和弟弟之间。
思考到这一步，便容易解决了。
哥哥与弟弟的速度差是：
6-2=4（千米）
即每经过1小时，哥哥便可追上弟弟4千米。
弟弟先出发1小时，哥哥追上他需用：
2÷4=0.5（小时）
即哥哥用半小时，便可追上弟弟。
小花狗在这半个小时中，一直不停地往返奔跑，它每小时速度是16千米，那么0.5小时它跑了多少路程呢？
16×0.5=8（千米）
成综合算式是：
16×［2÷（6-2）］＝16×［2÷4］
=16×0.5
=8（公里）
一个看似难解的问题，竟是这么简单！
