=1233×4321+4321（1）
1233×4322=1233×（4321+1）
=1233×4321+1233（2）
将最后算式相减：（1）式-（2）式=3088
可知（1）式的积比（2）式的积多3088。
22.速算诀窍
一次，爱因斯坦卧病在床，寂寞难耐。恰有一位朋友前来探望，便要求朋友出道算术题让他想想。朋友随口说：2976×2924=？
岂料爱因斯坦迅即回答：8701824。
朋友十分惊讶。爱因斯坦有速算诀窍吗？
解：爱因斯坦确有速算诀窍。
朋友说的两个数正符合“首同尾补”的特点。在两位数相乘时，遇到这种特殊情况，可按如下速算口诀处理：
首加1与首乘，再乘100要记心。
再加两个数尾积，所求之数便分明。
如：
43×47=（4+1）×4×100+3×7
=2021
朋友出的题目是四位数相乘，也可以类此办理，即，把前两位当作“数首”，后两位当作“数尾”：
2976×2924=（29+1）×29×10000+76×24
=8700000+76×24
其中：
76×24=（50+26）×（50-26）
=502-262
=1824
所以：
8700000+1824=8701824
23.有错没错
四个小朋友做同一道题，但结果各不相同：
①4500÷（15×125）=4500÷1875
=2……750
②4500÷（15×125）=4500÷15÷125
=300÷125=2……50
③4500÷（15×125）=4500÷125÷15
=36÷15=2……6
④4500÷（15×125）=4500÷15÷（25×5）
=300÷25÷5=2……2
后三位同学运用了乘除混合运算的性质：a÷（b×c）=a÷b÷c，检查运算过程没有失误，然而尽管商相同，余数却各有千秋，这是为什么？究竟有错没错？
解：应该说，计算的结果都是正确的。
各题的余数不同，并不表明运算结果不同，因为余数与除数有关。
根据“商不变性质”：“在除法里，被除数和除数都扩大或者都缩小相同的倍数（0除外），商不变”，若在有余数的除法里，当被除数和除数都扩大或缩小相同倍数时，尽管不完全商不变，余数却也相应地扩大或缩小了相同的倍数。
其实，余数是针对除数而言的，各题的除数不一样，因而余数各异。若以分数来表示它们的结果，则四道题的商都是相等的。
24.欲加先减
人们习惯于看到“＋”号，就用加法算，看到“－”号，就用减法算。但是遇到适宜的题目用反向思维，即欲加先减，欲减先加，却更简便快捷。
下列各题你能直接写出结果吗？
A.45+79546+274874+6975222+3778
B.63-37416-287769-3078564-5476
解：如果加数或减数中有一个接近整百、整千……，可以用先减去或先加上这个数，再加上整百、整千……。
A.45+79=45-21+100=124
546+274=546-26+300=820
874+697=874-3+700=1571
5222+3778=5222-222+4000=9000
B.63-37=63-40+3=26
416-287=416-300+13=129
769-307=769-300-7=462
8564-5476=8564-5500+24=3088
25.续数的和
下列各式中，加数有什么特点？你能很快地算出结果吗？
①1+2+3+4+……+199=？
②1+3+5+7+……+37=？
③2+4+6+8+……+28=？
④211+212+213+……+248=？
解：这些算式中，加数的特点是：
第一，各式中的加数都是连续数。
第二，有的算式只是奇数连续数，如②；有的算式只是偶数连续数，如③；有的是从头开始的连续数，如①；有的不是从头开始的连续数，如④。
我们知道：
连续数的和=（首项+尾项）×（项数÷2）
奇数项连续数和=中间项×项数。
其中①是求奇数项连续数的和，共有199项，怎样求它的中间项呢？
中间项=（尾项+1）÷2
因此，这题的和是：
1+2+3+4+……+199=（1+199）÷2×199
=19900
其中②只有奇数连续数相加，总项数减少了一半。所以它的总和也减少一半。尾项是奇数，算式的实有项数是：（尾项+1）÷2。
②1+3+5+……+37
=［（1+37）×（37+1）÷2］÷2
=［38×38÷2］÷2
=722÷2
=361
③2+4+6+8+……+28
=［（2+28）×28÷2］÷2
=［30×28÷2］÷2
=420÷2
=210
其中④，可当作从1开始的连续数相加，得出结果后，再去掉首项前的连续数的和。
④211+212+213+……+248
=（1+248）×（248÷2）-（1+210）×（210÷2）
=249×124-211×105
=30876-22155
=8721
这样的题，也可以先求项数。
项数=［尾项-（首项-1）］÷2
211+212+213+……+248
=（211+248）×［248-（211-1）］÷2
=459×38÷2
=8721
26.逆序数和
一个数的各位数字的倒序所组成的数，叫做这个数的逆序数。
先观察下式：
①13+31=（1+3）×11=44
②26+62=88=（2+6）×11
③57+75=132=（5+7）×11
④82+28=110=（8+2）×11
再看加数是三位数：
⑤234+432=666=（2+4）×111
⑥357+753=1110=（3+7）×111
⑦741+147=888=（7+1）×111
⑧369+963=1332=（3+9）×111
想想看，逆序数求和有什么规律？
解：从①～④可知：任何一个个位数不为0的两位数与它的逆序数的和，是这个数数字和的11倍。
从⑤～⑧组成算式的各数看，它们都不是任意数字，而是相邻数字间差是相等的。具备这种特点的数，与它的逆序数的和，等于它百位数字与个位数字和的111倍。
自己编几道题做做看，说不定你还能有新的发现呢！
27.100多几
两个因数，如果都比100多几，通过运算，可以推导出简便运算方法。
如：
115×102=（100+15）×（100+2）
=（100+15）×100+（100+15）×2
=100×100+15×100+100×2+15×2
=（100+15+2）×100+15×2
=（115+2）×100+15×2
=11730
根据推导你能找到简便运算的方法吗？
为了便于总结法则，可以给两个因数规定名称：
而后，请计算：112×104107×103114×105106×107
解：根据115×102=（115+2）×100+15×2，可知：积的百位以前数是“首数加上尾数尾”，积的十位、个位上的数是两个因数的尾数积。即：首数加上尾数尾，紧挨再写两尾积。
所以：
112×104=（112+4）×100+12×4=11648
107×103=（107+3）×100+7×3=11021
114×105=（114+5）×100+14×5=11970
106×107=（106+7）×100+6×7=11342
28.100少几
求比100少几的两个数相乘的简便方法是：
首数减去尾数补，紧挨再写补数积。
便如：
请你运用这个简便方法计算下列各题：
98×9489×9896×92996×998990×996
解：98×94=（98-6）×100+2×6=9212
89×98=（89-2）×100+11×2=8722
96×92=（96-8）×100+4×8=8832
996×998=（996-2）×1000+4×2=994008
990×996=（990-4）×1000+10×4=986040
29.一多一少
两数相乘，其中一个因数大于100，另一个因数小于100，但与100都比较接近。这样的两个数相乘，有没有简便方法呢？
举个例子，通过运算，推导一下再看吧：
104×98=（100+4）×（100-2）
=（100+4）×100-（100＋4）×2
=100×100+4×100-100×2-4×2
=（100+4-2）×100-4×2
=（104-2）×100-4×2
=10200-8
=10192
观察：
即：首数减去尾数补，紧挨再写首数的尾数与尾数的补数积。
据此，请快速求出下式各题的结果：
112×89116×94107×93
994×10081002×998
解：112×89=（112-11）×100-12×11
=10100-132
=9968
116×94=（116-6）×100-16×6
=11000-96
=10904
107×93=（107-7）×100-7×7
=10000-49
=9951
994×1008=1008×994
=（1008-6）×1000-8×6
=1002000-48
=1001952
1002×998=（1002-2）×1000-2×2
=1000000-4
=999996
30.50多几
两个因数都比50多几，有三种情况。计算它们的积，也有简便方法。
两个因数都是奇数或都是偶数：
用这两个数与50的差的乘积，作积的右段数。积若是一位数，要在数前补个0；用较大的一个因数加上较小的一个因数与50的差的一半，作积的左段数，而后两段相接，即得。
如：54×52=2808
积的右段数：（54-50）×（52-50）=4×2=8补0为：08
积的左段数：（54+2）÷2=56÷2=28
两段相接，得积：2808
两个因数一奇一偶，算法稍有不同：
如：57×52=2964
积的右段：（57-50）×（52-50）=7×2=14
14+50=64
积的左段：（57+2）÷2=59÷2=29（只取整数）
两段相接，得积：2964
按照上面介绍的方法，下列各题，你能迅速写出结果吗？
56×5254×5558×5456×5359×59
解：56×52=（56+2）÷2×100+（56-50）×（52-50）=291254×55=297058×54=313256×53=296859×59=3481
31.500多几
两个因数都比500多几，它们的类型和算法与因数是50多几的很相似。
如：521×511=266231
积的右段：（521-500）×（511-500）=21×11=231
积的左段：（521+11）÷2=532÷2=266
两段相接：266231
如果因数是一奇一偶两个数，如：
512×507=259584
积的右段：（512-500）×（507-500）=12×7=84用0补足为三位=084，再加500，500+084=584
积的左段：（512+7）÷2=519÷2=259（只取整数）
两段相接：259584
按照上述方法，直接写出下式结果：
515×517512×510514×513
518×516514×511503×504
解：515×517=（515+17）÷2×1000+（515-500）×（517-500）=266255512×510=261120514×513=263682518×516=267288514×511=262654503×504=253512
32.500少几
两个因数都比500稍小，快算方法略有变化。
例如：496×492=244032
积的右段：（500-496）×（500-492）=4×8=32
不足三位在数前补0，即：032。式中的500作被减数了！
两段相接得积：244032
如果是一奇一偶两个因数，例如：
493×496=244528
积的右段：（500-493）×（500-496）=4×7=28
需再加500，即：
28+50=528
积的左段：（493-4）÷2=489÷2=244（只取整数）
或（496-7）÷2=244（只取整数）
两段相接得积：244528
按照上面的方法，你能直接写出下式结果吗？
496×498497×495493×498497×499
解：496×498=（496-2）÷2×1000+（500-496）×（500-498）=247008
497×495=246015493×498=245514
497×499=248003
33.与667乘
先观察下列各式：
667×3=2001
667×6=4002=2001×2
667×9=6003=2001×3
667×12=8004=2001×4
你能不用计算，直接写出下式结果吗？
667×24667×36667×4
667×7667×81667×132
解：根据667×3=2001这个乘式，只要因数667不变，则乘数3扩大几倍，它们的积也扩大相同的倍数。因此，只要看乘数是3的多少倍，直接将2001也扩大相同的倍数，便是乘积了。
乘数不是3的倍数，可以把它转化为3的倍数加上零头数。
667×24=2001×8=16008
667×36=2001×12=24012
667×4=667×（3+1）=2001＋667=2668
667×7＝667×（6＋1）＝4002＋667＝4669
667×81=2001×27=54027
667×132=2001×44=88044
34.欲乘先除（一）
遇到因数是5、25、125、375、625……根据积的变化规律，先除再乘较为简。
如：乘数是5：
38×5＝38×（10÷2）＝38÷2×10＝190
48×5＝48÷2×10＝240
乘数是25：
77×25=77÷4×100=1925
乘数是125：
56×125=56÷8×1000=7000
乘数是625：
4.8×625＝4.8÷16×10000＝3000
按照这种方法，请你直接写出下式结果：
76×584×5442×537.6×5
36×258.4×2516×2672×125
40.88×125
解：76×5=380（76÷2×100）
84×5=420（84÷2×10）
442×5=2210（442÷2×10）
37.6×5=188（37.6÷2×10）
36×25=900（36÷4×100）
8.4×25=210（8.4÷4×100）
16×26=41616×［（25+1）=16×25＋16］
72×125＝9000（72÷8×1000）
40.88×125=5110（40.88÷8×1000）
35.欲乘先除（二）
例：56×75=56÷4×3×100
=4200
想一想，算式的根据是什么？
下面各题，你能一眼看出结果吗？
24×7536×756.4×754.8×7.5
64×37540×3750.88×37502.48×375
16×8754.8×875
解：24×75=1800＝（24÷4×3×100）
36×75＝2700＝（36÷4×3×100）
6.4×75＝480＝（6.4÷4×3×100）
4.8×7.5＝36＝（4.8×7.5＝48×75÷100）
64×375＝24000＝（64÷8×3×1000）
40×375＝15000＝（40÷8×3×1000）
0.88×3750=3300＝（0.88×3750=8.8×375）
2.48×375＝930＝（2.48×375＝248×375÷100）
16×875=14000＝（16÷8×7×1000）
4.8×875=4200＝（4.8×875=48×875÷10）
36.欲除先乘（一）
遇到有些除法，根据商不变性质，先乘后除倒显得简便、快捷。
如：除数为5：
230÷5＝230×2÷10＝46
除数为25：
23400÷25＝23400×4÷100＝936
除数为125：
1270÷125＝1270×8÷1000＝10.16
除数为625：
50÷625＝50×16÷10000＝0.08
按照这样的方法，快速计算：
13052.6÷542÷0.052100÷25
12÷258÷0.2530000÷625500÷625
1100÷625
解：130÷5=130×2÷10=26
2.6÷5＝0.26×2＝0.52
42÷0.05＝420÷0.5＝420×2＝840
2100÷25＝2100×4÷100=84
12÷25＝12×4÷100＝0.48
8÷0.25＝8×4＝32
30000÷625＝30000×16÷10000＝48
500÷625=500×16÷10000=0.8
1100÷625=1100×16÷10000=1.76
