白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。
行人刁斗风沙暗，公主琵琶幽怨多。
野营万里无城郭，雨雪纷纷连大漠。
胡雁哀鸣夜夜飞，胡儿眼泪双双落。
闻道玉门犹被遮，应将性命逐轻车。
年年战骨埋荒外，空见葡萄入汉家。
这首《古从军行》是唐朝诗人李颀所作，它借汉武帝的旧事，讽喻唐王朝的开边政策。统治者穷兵黩武，连年征战，用无数人的生命作代价，换得的只是一些葡萄之类的东西而已。
这首诗的开头几句，隐含着一个非常有趣的数学问题。在那飞沙走石，雨雪纷纷的大沙漠上，每前进一步都十分困难和艰苦。
如下图，将军从瞭望烽火的山脚下的A点驰向交河边的C点，让战马喝足水之后，再驰向宿营的荒野地B点，只要他不是沿交河前进的，就有一个应该怎样走才能使总的路程最短的问题。
在国外流传着一个被称为“将军饮马”的数学问题，正是这类性质的问题：古希腊的一位将军要从营房A出发到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地参加军事会议。问将军应该怎样走才能使总的路线最短？
这个问题的解法很简单。如上图，从A出发向河岸引垂线，在垂线上取A关于河岸所在直线的对称点A′，连结A′B，设直线A′B与河岸相交于C，则C点就是饮马的地方。这位将军只要从A出发走到C，饮马之后，再由C直走到B，所走的路程就是最短的。
因为，如果将军在河边另外任何一点D饮马，所走的路程就是AD＋DB。但是AD＋DB=A′D＋DB＞A′B=A′C＋CB=AC＋CB。可见，在除C点以外的任何一点D饮马，所走的总路程都会比在C点饮马所走的总路程长。
用同样的方法，可以解决下面的“架桥问题”：在一条河的两岸有两个村庄A、B，现在计划在河上架一座桥把两个村庄连结起来，假定河的两岸平行且桥与河岸垂直，问桥应架在什么地方才能使从A到B的距离最短？
设河岸为对称轴，取A的对称点A′，联结A′B，与另一河岸相交于C，从C向对岸引垂线，垂足为D。那么C、D两点就是两岸架桥的地方，即桥架在线段CD的位置。解决这两个问题都用到了同一方法：取某直线为对称轴，作一些图形关于这条对称轴的对称图形，在几何学中这一方法称为对称变换。也称为镜面反射。通过对称变换，有时能把某些隐含的几何性质清楚地显示出来，因而能帮助我们找到解题的途径。
1978年，北京市有一道有趣的数学竞赛题：如下图，设有一直角MON，试在ON，OM上及∠MON内部各找一点A，B，C，使BC＋CA=l为定长，并且使四边形ACBO的面积最大。
这个题无论用三角法计算或建立直角坐标系用解析几何方法计算，都嫌麻烦。如果利用镜面反射的思想，却很容易得到解答。
将直角MON连同四边形ACBO一起，以OM为对称轴反射为∠MON′，再将图形以NN′为对称轴反射到下半平面。经过两次镜面反射，原图和两次反射所得的图就构成一个八边形ACBDEFGH，它的周长为定值4l。如果这个八边形的面积最大，则因四边形ACBO是八边形的1/4，面积也必为最大。
由等周定理知，在周长一定的八边形中，以正八边形的面积最大，这时它的边长为l/2。所以，当A、C、B为以O为中心，边长为1/2的正八边形在第一象限的三个顶点时，四边形ACBO的面积最大。
现在我们来看所谓许瓦兹最小三角形问题：在锐角三角形ABC内作一个内接△DEF（即三个顶点D、E、F分别在三边BC、CA、AB上），使△DEF的周长为最小。
这个问题虽然是一个数学问题，但却可以利用物理学中的光学原理及镜面反射来研究。设想AB、BC、CA三条边为三面镜子，当△DEF为光线所走的路程时（即光由BC上的D点出发到AC上的E点后，反射到AB上的F点，再反射回BC上的D点），那么光线所走的路程△DEF是最短的。根据光的反射定律：入射角=反射角立即推出，应有∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6。
这样的△DEF称为光线三角形。
现在还需要解决三个问题：
第一，光线三角形是否存在？
第二，光线三角形如果存在，是不是唯一的？
第三，从数学上能否证明光线三角形的周长是所有内接三角形中最小的？
问题一很容易解决。因为如果AD、BE、CF分别是△ABC的三条高线，H是垂心。那么由于∠BDH=∠BFH=90°，所以B、D、H、F四点共圆，从而∠1=∠BHF=∠CHE。又由于∠HDC=∠HEC=90°，所以C、E、H、D四点共圆。从而∠2=∠CHE，即∠1=∠2。类似的可以证明∠3=∠4，∠5=∠6。即△DEF是光线三角形，所以光线三角形是存在的。
问题二则反过来，如果△DEF是光线三角形，那么因为∠4＋∠5＋∠A=180°。所以12（180°-∠DEF）＋12（180°-∠EFD）＋∠A＝180°得180°-12（∠FED＋∠EFD）＋∠A＝180°∠A＝12（∠FED＋∠EFD）＝12（180°-∠EDF）＝∠2从而A、B、D、E四点共圆。同理可证，A、C、D、F四点共圆，B、C、E、F四点共圆。于是有∠EDA=∠EBA=∠FCA=∠FDA，∠ADC=∠EDA＋∠2=∠FCA＋∠1=∠ADB所以，∠ADC=∠ADB=90°即AD为△ABC的BC边上的高，同理BE、CF也是△ABC的高。即D、E、F分别为△ABC的三边上的垂足，这就证明了光线三角形是唯一的。
由于光线三角形唯一存在，而且它的三个顶点恰好是三角形ABC的三边上的垂足，所以又称为垂足三角形。
至于第三个问题，可以这样来考虑：设△DEF是光线三角形，△GHK是△ABC的任一内接三角形。如下图，先以AC为镜面，将△ABC反射到△AB′C；再以B′C为镜面，反射到△A′B′C；第三次以A′B′为镜面，反射到△A′B′C′；第四次以AC′为镜面，反射到△A′B″C′；最后以B″C′为镜面，反射到△A″B″C′。这时，不难看出∠BAB′=2∠BAC，∠A′B′A=2∠ABC所以，若BA与A′B′的延长线相交于O，则有∠BOA′＝180°-∠OAB′-∠OB′A=180°-（180°-∠BAB′）-（180°-∠A′B′A）
=180°-180°＋2∠BAC-180°＋2∠ABC=180°-2∠ACB同理可知，B′A′与A″B″的延长线相交所成的角也等于180°-2∠ACB。由于内错角相等；故AB？瘙綉A″B″。又因A″F′？瘙綉AF，故FF′？瘙綉AA″，同理KK′？瘙綉AA″。从而FF′？瘙綉KK′。
由于△DEF是光线三角形，所以FF′=2×△DEF的周长，而2×△GHK的周长=折线KH…K′≥KK′=FF′所以，光线三角形的周长确实是△ABC的内接三角形中周长最小的一个。
这个问题又称为许瓦兹（1843-1921年）最小三角形问题。它在公路设计等方面有许多应用。
