【教学目标】
一、掌握一元二次不等式的解法；
二、知道一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组；三、了解简单的分式不等式的解法；
四、能利用二次函数与一元二次方程来求解一元二次不等式，理解它们三者之间的内在联系；五、能够进行较简单的分类讨论，借助于数轴的直观，求解简单的含字母的一元二次不等式；六、通过利用二次函数的图像来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学思想；七、 通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辨证的世界观。
【教学建议】
一、教材分析
知识结构
一元一次方程、一元一次
不等式与一次函数的关系一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系一元二次不等式的解法简单的分式不等式的解法
二、重点、难点分析
重点是一元二次不等式的解法；
难点是弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系。
①用图像法解一元二次不等式
在教材中对一元二次不等式的解集的求法是从一元一次不等式与一元一次方程、一次函数之间关系中引出的，是从函数图像上结合方程的解得出解集的求法的，所以在讲解一元二次不等式的解法是也是从函数图像出发来讲解的。
用图像法来解一元二次不等式涉及知识点较多，需联系前面所学的一元二次方程、二次函数的知识，然而有的学生这些知识并未掌握牢固；再者要深刻挖掘它们之间的联系，从中寻求一元二次不等式的解法。这比单纯数形结合要求的水平更高，何况相对一部分学生不适合用数形结合法。对于这部分学生来讲数与形是割裂的，没能真正和谐统一在一起，这是其认识及理解水平造成的。
②认识方程、函数、不等式三者之间的关系
在本节中，难点是对一元二次不等式解法的理解与认识，也就是二次函数与二次方程、二次不等式三者之间的关系。
二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0 ）是研究自变量y与x之间的对应关系，也就是研究自变量变化过程中函数y的变化过程及变化趋势的，显然方程与不等式的解集是二次函数自变量变化过程中的某种特殊情况。二次方程的解就是自变量变为何值时，函数值y=0的这一情况。而二次不等式的解集是自变量变化过程中何时函数值y＞0与y＜0的这一情况，二次方程ax2＋bx＋c=0的解对研究函数变化是十分重要的。由于两根x1、x2是函数值由正变负或由负变为正的分界点，也是不等式解区间的端点，正是三者之间的相互联系，我们才知道二次函数与二次方程与二次不等式解集的密切联系。学习过程中，只有搞清三者联系，才能正确认识与理解二次不等式的解法，才能解决由此产生的各种变式的问题。
三、教法建议
（1）注意从两个不同角度去解一元二次不等式。
本节对于可分解的一元二次不等式给出了两种解法。第一种方法是结合该一元二次不等式所对应的二次函数图像给出的，第二种方法是将原不等式转化求与它同解的不等式组的并集去解决，应该向学生说明教材中介绍这两种方法的意图。
①第一种方法意在全面讨论，得出一般的一元二次不等式解集，它适用于任何一元二次不等式。
②第二种方法意在说明对于形如x-ax-b＞0的分式不等式，可化为与它同解的一元二次不等式（x-a）（x-b）＞0去解，而后者在前面已经讨论得十分清楚，它是化归思想的集中体现，即化分式不等式为一元二次不等式，化一元二次不等式为一元一次不等式组去解的思想方法，它介绍了一种更为一般的方法，即把二次或二次以上的不等式化为一次或低次不等式的方法，为解较复杂不等式，特别是高次不等式提供了依据。
然而真正用这种方法去解一元二次不等式不仅较第一种方法复杂繁琐，而且局限于可因式分解的一元二次不等式，这一点应该向学生突出强调。
这种方法重在思想，而并非实用，解题中不宜提倡。因为在全面掌握第一种方法后，再用第二种方法去解题，在某种程度上意味着倒退。
（2）建议对函数的对应值表以低调处理，而突出强调函数图像本身。
教科书中为了让学生领悟一元一次（或二次）不等式与相应方程、函数间的关系，不仅给出了函数的图像，还给出了函数的对应值表，希望学生结合函数的对应值表，在确定函数图像与x轴交点横坐标的同时，发觉它便是对应方程的根，在得出不等式解集时也借助于对应值表。
尤其是可以用对应值表给学习较差的学生解释随x的变化，y的变化趋势，使学生有牢靠真实的感觉，然而不应过分强调。
①因为此处一元二次不等式解集的得出是数形结合法运用的典型范例，除极少数学生外，对于绝大多数学生，必须要求他们对于这种方法有深刻的认识与体会，必须牵着他们走，让他像当初学习平面几何时识图一样，去识函数的图像，从图像上真正把握其内在本质的性质，自己找出不等式解集所对应的区间，而不是迁就他的认识水平，给他对应值表这根拐杖，那样他的水平将永远无法提高。
②再看此处所给的对应值表与画函数的图像，有一点脱节，在初三，学生已知道一次函数的图像是一条直线，确定一条直线有两点就足够了，并且为了把握住图像与两轴的相对位置，一般建议学生选取与两轴的交点对于二次函数，学生已学习它的性质，熟知图像的大致形状，对于例题中的二次函数y=x2-x-6只要找出相应关键点，即函数的顶点，及与x 轴、y轴的交点，就可描点、连线，得出它大致的图像。这些在初中已作过严格的训练，画图像只要关键点把握准即可，我们是利用它来解不等式，并不是要它本身，因而也没有必要精益求精地把图像画得十分精确。
【教学设计示例】
教学目标：
（1）掌握一元二次不等式的解法；
（2）知道一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组；（3）了解简单的分式不等式的解法；
（4）能利用二次函数与一元二次方程来求解一元二次不等式，理解它们三者之间的内在联系；（5）能够进行较简单的分类讨论，借助于数轴的直观，求解简单的含字母的一元二次不等式；（6）通过利用二次函数的图像来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学思想；（7）通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辨证的世界观。
教学重点：一元二次不等式的解法。
教学难点：弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系。
教与学过程设计：
第一课时
一、设置情境
问题：
①解方程3x＋2=0
②作函数y=3x＋2=0的图像
③解不等式3x＋2＞0
置疑：在解决上述三问题的基础上分析，一元一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系。能通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集吗？
回答：函数图像与x轴的交点横坐标为方程的根，不等式3x＋2＞0的解集为函数图像落在x轴上方部分对应的横坐标。能通过多媒体或其他载体给出下列表格。扼要讲解怎样通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集。注意色彩或彩色粉笔的运用。
a＞0a＜0一次函数
y=ax＋b（a≠0）
的图像
一元一次方程
ax＋b=0的解集xx=-baxx=-ba一元一次不等式
ax＋b＞0的解集xx＞-baxx＜-ba一元一次不等式
ax＋b＜0的解集xx＜-baxx＞-ba在这里我们发现一元一次方程，一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系。利用这种联系（集中反映在相应一次函数的图像上），我们可以快速准确地求出一元一次不等式的解集，类似，我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来，讨论找到其求解方法呢？
二、探索与研究
我们现在就结合不等式x2-x-6＞0的求解来试一试。（师生共同活动用“特殊点法”而非课本上的“列表描点”的方法作出y=x2-x-6的图像，然后请一位程度中下的同学写出相应一元二次方程及一元二次不等式的解集。）
答：方程x2-x-6=0的解集为｛x|x=-2或x=3｝不等式x2-x-6＞0的解集为｛x|x＜-2或x＞3｝置疑：哪位同学还能写出x2-x-6＜0的解法？（请一程度差的同学回答）
答：不等式x2-x-6＞0的解集为｛x|-2＜x＜3｝我们通过二次函数y=x2-x-6的图像，不仅求得了开始上课时我们还不知如何求解的那个第（5）小题x2-x-6＞0的解集，还求出了x2-x-6＜6的解集，可见利用二次函数的图像来解一元二次不等式是个十分有效的方法。
下面我们再对一般的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0与ax2＋bx＋c＜0来进行讨论。为简便起见，暂只考虑a＞0的情形。请同学们思考下列问题：如果相应的一元二次方程ax2＋bx＋c=0分别有两实根、唯一实根、无实根的话，其对应的二次函数y=ax2＋bx＋c（a＞0）的图像与x轴的位置关系如何？（提问程度较好的学生）
答：二次函数y=ax2＋bx＋c的图像开口向上且分别与x轴交于两点，一点及无交点。
现在请同学们观察表中的二次函数图，并写出相应一元二次不等式的解集。（通过多媒体或其他载体给出以下表格）
△=b2-4ac△＞0△＝0△＜0
二次函数
y=ax2＋bx＋c
（a＞0）的图像
ax2＋bx＋c=0
的根x1x2=-b±△2ax1=x2=-b2aax2＋bx＋c＞0
的解集ax2＋bx＋c＜0
的解集
答：ax2＋bx＋c＞0的解集依次是｛x|x＜x1或x＞x2｝，xxx∈R但x≠-b2a；Rax2＋bx＋c＜0 的解集依次是｛x1|x1＜x＜x2｝；；。
它是我们今后求解一元二次不等式的主要工具。应尽快将表中的结果记住。其关键就是抓住相应二次函数y=ax2＋bx＋c（a＞0）的图像。
课本第19页上的例1、例2、例3，它们均是求解二次项系数a＞0的一元二次不等式，却都没有给出相应二次函数的图像。其解答过程虽很简练，却不太直观。现在我们在课本预留的位置上分别给它们补上相应二次函数图像。
三、演练反馈
1.解下列不等式：
（1）3x2-7x＋2＜0 （2）-6x2-x＋2≤0
（3）4x2＋4x＋1＜0 （4）x2-3x＋5＞0
2.若代数式6x2＋x-2的值恒取非负实数，则实数x的取值范围是。
3.解不等式：
（1）9x2＋6x＋1＞0
（2）x2-（a＋1a）＋1＜0（a≠0，a∈R）
参考答案
1.（1）x13＜x＜2
（2）xx≥12或x≤-23；（3）；（4）R2.xx≥12或x≤-23
3.（1）xx≠-13
（2）当a＞1或-1＜a＜0时，x1a＜x＜a，当a=±1时，当0＜a＜1或a＜-1时，x1a＜x＜a。
四、总结提炼
这节课我们学习了二次项系数a＞0的一元二次不等式的解法，其关键是抓住相应二次函数的图像与x轴的交点，再对照课本第39页上表格中的结论给出所求一元二次不等式的解集。
五、课时作业
（P20．练习等3、4两题）
六、板书设计
1.5一元二次不等式解法（一）
1.一元二次方程，一元一次不等式及一元一次函数间关系（有关结论以表格的形式通过多媒体或其他载体给出）
2.“三个二次”间的关系（有关结论以表格的形式通过多媒体或其他载体给出）3.讲解例题例1
例2
例3
4.课堂练习（学生演板）
第二课时
