一、设置情境
（通过讲评上一节课课后作业中出现的问题，复习利用“三个二次”间的关系求解一元二次不等式的主要操作过程。）
上节课我们只讨论了二次项系数a＞0的一元二次不等式的求解问题。肯定有同学会问，那么二次项系数a＜0的一元二次不等式如何来求解？咱们班上有谁能解答这个疑问呢？
二、探索研究
（学生议论纷纷。有的说仍然利用二次函数的图像，有的说将二次项的系数变为正数后再求解……教师分别请持上述见解的学生代表进一步说明各自的见解。）
生甲：只要将课本第39页上表中的二次函数图像作关于x轴翻转变成开口向下的抛物线，再根据所得的图像便可求得二次项系数a＜0的一元二次不等式的解集。
生乙：我觉得先在不等式两边同乘以－1，将二次项系数变为正数后，直接运用上节课所学的方法求解就可以了。
师：首先，这两种见解都是合乎逻辑和可行的。不过按前一见解来操作的话，同学们则需再记住一张类似于第39页上的表格中的各结论。这不但加重了记忆负担，而且两表中的结论容易搞混导致错误。而按后一种见解来操作时则不存在这个问题，请同学们阅读第19页例4。
（待学生阅读完毕，教师再简要讲解一遍。）
知识运用与解题研究。
由此例可知，对于二次项系数的一元二次不等式是将其通过同解变形化为一元二次不等式来求解的，因此只要掌握了上一节课所学过的方法，我们就能求解任意一个一元二次不等式了，请同学们求解以下两不等式。（选两位程度中等的学生演板）
（1）14-4x2≥x（2）-x2-2x＋8≥0
（分别为课本P21习题1.5中1大题（2）、（4）两小题。教师讲评两位同学的解答，注意纠正表述方面存在的问题。）
可化为一元一次不等式组来求解的不等式。
目前我们熟悉了利用“三个二次”间的关系求解一元二次不等式的方法虽然对任意一元二次不等式都适用，但具体操作起来还是让我们感到有点麻烦。故在求解形如（x-a）（x-b）＜0（或＞0）的一元二次不等式时则根据（有理数）乘（除）运算的“符号法则”化为同学们更加熟悉的一元一次不等式组来求解。现在请同学们阅读课本P20上关于不等式（x＋4）（x-1）＜0求解的内容并思考：原不等式的解集为什么是两个一次不等式组解集的并集？（待学生阅读完毕，请一程度较好，表达能力较强的学生回答该问题。）
答：因为满足不等式组x＋4＞0
x-1＜0或x＋4＜0
x-1＞0的x都能使原不等式（x＋4）（x-1）＜0成立，且反过来也是对的，故原不等式的解集是两个一元二次不等式组解集的并集。
这个回答说明了原不等式的解集A与两个一次不等式组解集的并集B是互为子集的关系，故它们必相等。现在请同学们求解以下各不等式。（调三位程度各异的学生演板。教师巡视，重点关注程度较差的学生）。
（1）（x＋2）（x-3）＞0 [P20练习中第1大题］（2）x（x-2）＜0[P20练习中第1大题］（3）（x-a）（x-b）＞0（a＞b）[P20练习中第2大题］（老师扼要讲评三位同学的解答。尤其要注意纠正表述方面存在的问题。然后讲解P21例5）。
例5 解不等式x-3x＋7＜0
因为（有理数）积与商运算的“符号法则”是一致的，故求解此类不等式时，也可像求解 （x-a）（x-b）＜0（或＞0）之类的不等式一样，将其化为一元一次不等式组来求解。具体解答过程如下。
解：（略）
现在请同学们完成课本P21练习中第3、4两大题。
（等学生完成后教师给出答案，如有学生对不上答案，由其本人追查原因，自行纠正。）
训练三：用“符号法则”解不等式的复式训练。
（通过多媒体或其他载体给出下列各题）
1.不等式x＋1x＋2≤0与（x＋1）（x＋2）≤0 的解集相同，此说法对吗？
2.解下列不等式：
（1）2x-155x＋2≤0 [课本P22第8大题（2）小题］（2）3x-22x≥1[补充题］
（3）（x-1）（x2-3x＋2）＜0 [课本P43第4大题（1）小题］（4）x-1（x-2）（x-3）＞0[课本P43第5大题（1）小题］（5）-x2＋2x＋2≤-12 [补充题］（每题均先由学生说出解题思路，教师扼要板书求解过程）
参考答案
1.不对。同x=-2时前者无意义而后者却能成立，所以它们的解集是不同的。
2.（1）x-52＜x≤152
（2）原不等式可化为：3x-22x≥0，即x-22x≥0
解集为｛x|x＜0或x≥2｝。
（3）原不等式可化为（x-1）2（x-2）＜0（x-1）2≠0
x-2＜0
解集为｛x|x＜2但x≠1｝
（4）原不等式可化为
x-1＞0
（x-2）（x-3）＞0或x-1＜0
（x-2）（x-3）＜0
解集为｛x|1＜x＜2或x＞3｝
（5）原不等式可化为：x2-2x＋2-12≥02x2-x-62（x＋2）≥02x2-x-6≥0
x＋2＞0 或2x2-x-6≤0
x＋2＜0（分母≠0）
解集为｛x|x≥2｝
三、总结提炼
这节课我们重点讲解了利用（有理数）乘除法的符号法则求解左式为若干一次因式的积或商而右式为0的不等式。值得注意的是，这一方法对符合上述形状的高次不等式也是有效的，同学们应掌握好这一方法。
四、布置作业
（课本P22中2（2）、（4）；4；5；6）
五、板书设计
1.5一元二次不等式
[训练一］求解二次项系数a＜0的一元二次不等式课堂练习（调板）
（1）14-4X2≥x
（2）-x2-2x＋8≥0
[训练二］可化为一元一次不等式组来求解的不等式特征：左式为若干一次因式的积或商，右式为0
[训练三］用“符号法则”解不等式的变式训练（有关题目通过多媒体或其他载体给出）
题1
题2
【习题精选】
一、填空题
1.不等式x2＋3x＋a＞0的解集是｛x|x＜-2，或x＞-1｝ ，则实数a的值为。
2.已知两个圆的半径分别为2和3，圆心距d满足d2-6d＋5＜0，则这两个圆的位置关系是。
3.不等式2≤x2-2x＜8的整数解集是。
二、解答题
1.已知A=｛x∈R|x2-5x-14＜0｝，B=｛x∈R|x=y-2，y∈A｝ 求A∩B。
2.不等式axx-1＜1的解集为｛x|x＜1，或x＞2｝ ，求实数a的值。
参考答案
一、填空题
1.2 2.相交3.｛-1，3｝
二、解答题
1.｛x|-2＜x＜5｝
2.a=12提示：原不等式可化为（a-1）x＋1x-1＜0，由已知条件，得11-a=2
【典型例题】
例1解不等式2x2＋ax＋2＞0。
分析：在不等式的一次项系数中含字母，判别式的符号不能确定，需要讨论来解决。
解：△=a2-16
当△＞ 0，即a＞4或a＜-4时，
x|x＞-a＋a2-164或＜-a-a2-164
当△=0，即a=±4时，｛x|x∈R，且x≠±1｝当△＜0，即-4＜a＜4时，｛x∈R｝
说明：这是较常见的带字母的一元二次不等式，在解题时，注意分类讨论的思想。
例2解不等式x2-（a2＋a）x＋a3＞0（a为参数）
分析：这是一个含有字母的一元二次不等式，在解题时要注意对字母的讨论。
解：原不等式可化为（x-a）（x-a2）＞0
若a＞a2，则a2-a＜0，即0＜a＜1 ，原不等式的解集为｛x|x＜a2或x＞a｝；若a＜a2，即a＜0或a ＞1，则原不等式的解集为｛x|x＜a或x＞a2｝；若a=a2，即a=0或a=1，则原不等式的解集为｛x∈R|x≠0且x≠1｝；因此，当0≤a≤1时，原不等式的解集为 ｛x|x＜a2或x＞a｝；当a ＜0或a＞1 时，原不等式的解集为｛x|x＜a或x＞a2。
说明：此题是带字母问题，要涉及到分类讨论问题。讨论中又涉及到解二次不等式，所用到的知识比较多，条理也要求必须清楚，才能正确解决此题。
例3已知不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为x|-12＜x＜13，求 a、b 的值。
分析：此不等式带有两个字母，但不是求解集，而是给出了解集，求字母的值。这就需要逆向思维，根据解集来找相对应的二次方程的解，结合二次函数的图像判断二次项系数的符号等等。
解：方法一：
显然a＜0，由（x＋12）（x-13）＜0，得6x2＋x-1＜0，变形得-12x2-2x＋2＞0，所以a=-12，b=-2。
方法二：
x=-12与x=13是方程ax2＋bx＋2=0的两根，故有-12＋13=ab
（-12）×13=ca，解得a=-12
b=-2（此处注意韦达定理的应用）。
评析：由二次函数y=ax2＋bx＋2的图像可知，当-12＜x＜13时，y＞0，即抛物线的开口向下，且与x轴两交点的横坐标是-12和13，也就是说一元二次方程ax2＋bx＋2=0的两个根为x1=-12，x2=13，因此由方程根与系数的关系可求出a，b的值。显然，二次不等式的解集是由二次函数结合二次方程求得；反之，也可由二次不等式的解集确定二次函数图像和二次方程的实根，本题的求解过程，正是根据三者之间的内在联系。
例4不等式（a2-1）x2-（a-1）x-1＜0的解是全体实数，求实数a的取值范围。
分析：此题应就所给不等式是一次还是二次进行分类讨论，针对二次的情形应结合二次函数的图像，知此时应有a2-1＜0且△＜0 ，特别要强调此时△＜0 。
解：若a=1，不等式为-1＜0，其解集为｛x∈R｝。
若a=-1，不等式为2x-1＜0，其解集显然不是全体实数，故a=-1不符合条件。
若a≠±1，不等式为二次不等式，有
a2-1＜0
△=（a-1）2＋4（a2-1）＜0
解得-1＜a＜1
-35＜a＜1
即-35＜a＜1
综上得-35＜a≤1
说明：解含有字母的一元二次不等式要根据字母范围进行讨论，当二次系数含有字母时，应首先考虑其值是否为零。
例5当k为何值时，关于x的方程x2-kx-k＋3=0的两根分别在落在0和1，1和2之间。
分析：实系数一元二次方程ax2＋bx＋c=0若有二实根，则此二根即为二次函数y=ax2＋bx＋c的图像与x轴的交点的横坐标。如图所示，本题相应的二次函数图像与x轴的交点应位于区间（0，1）和（1，2）内。于是，可由 x=0，1，2时的函数值的正负情况确定k的范围。
解：设 y=x2-kx-k＋3，它的图像为开口向上的抛物线，依题意，抛物线与x轴的两个交点分别在区间（0，1）和（1，2）内，如图所示。因此必须满足如下条件：当x=0时，y=-k＋3＞0
当x=1时，y=-2k＋4＜0
当x=2时，y=7-3K＞0
即3-k＞0
4-2k＜0
7-3k＞0
解此不等式组得2＜k＜73
所以当2＜k＜73时，方程x2-kx-k＋3＋0的两根分别在区间（0，1）和（1，2）内。
证明：此题涉及到利用函数图像来判断特殊值的符号，要让学生注意到在根的两侧的函数值符号相反。
例6已知A=｛x|x2＋（p＋2）x＋1=0，x∈R｝，且A∩R＋= ，（R＋=｛x|x∈R，且x＞0｝），求实数P的取值范围。
解：由A∩R＋=知，关于x的二次方程x2＋（p＋2）x＋1=0无正根。
（1）若方程无实根：
△=（p＋2）2-4＜0，得-4＜p＜0；（2）若方程有实根x1，x2，但无正根；此时由 △≥0，得p≤-4 或p≥0，而由韦达定理x1＋x2=-（p＋2）
x1x2=1
由x1·x2=1知两根均为正或均为负，由条件显然须x1＜0 ，x2＜0，于是-（p＋2）＜0，∴p＞-2
因此p≥0
由上述的（1），（2）得p的取值范围是p＞-4
注：要注意B=的可能性，否则会“缩小”解的范围，特别对于的存在，初学者往往容易忽略。
例7解关于a的不等式：（x-2）（ax-2）＞0
分析：由于字母系数a的影响，不等式可以是一次的，也可以是二次的，在二次的情况下，二次项系数a可正、可负，且对应二次方程的两个根2，2a的大小也受a的影响，这些都应予以考虑。
解：当a=0时，原不等式化为x-2＜0，其解集为｛x|x＜2｝；当a＜0时，有2＞2a ，原不等式化为（x-2）（x-2a）＜0，其解集为x|2a＜x＜2；当0＜a＜1时，2＜2a 。原不等式化为 （x-2）（x-2a）＞0，其解集是x|x＜2或x＞2a；当a=1时，原不等式化为（x-2）2＞0 ，其解集是｛x∈R|x≠2｝；
当a＞1时，原不等式化为（x-2）（x-2a）＞0 ，其解集是x|x＜2a或x＞2。
说明：对于二次项系数含有字母的不等式，一定要注意对二次项系数讨论，分为一元一次不等式和一元二次不等式两种情况。
