【教学目标】
使学生理解排列的意义，并且能在理解题意的基础上，识别出排列问题，并能用“树形图”写出一个排列中所有的排列。
【教具准备】投影胶片或多媒体的幻灯片。
【教学过程·第一课时】
一、设置情境
看下面的问题：
问题1从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？
这个问题，就是从甲、乙、丙3名同学中选出2名，按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的顺序排列，求一共有多少种不同排法的问题。
二、探索研究
解决这个问题需分2个步骤。第1步，确定参加上午活动的同学，从3人中任选1人有3种方法；第2步，确定参加下午活动的同学，只能从余下的2人中选，有2种方法，根据分步计数原理，共有3×2＝6
种不同的方法。
如图所示为所有的排列。（出示投影）
我们把上面问题中被取的对象叫做元素。于是所提出的问题就是从3个不同的元素中任取2个，按照一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法。
我们再看下面的问题：
问题2从a、b、c、d这四个字母中，取出3个按照顺序排成一列，共有多少种不同的排法？
解决这个问题，需分3个步骤：
第1步，先确定左边的字母，在4个字母中任取1个，有4种方法；第2步，确定中间的字母，从余下的3个字母中去取，有3种方法；第3步，确定右边的字母，只能从余下的2个字母中去取，有2种方法。
根据分步计数原理，共有4×3×2＝24种不同的排法，如图所示。（出示投影）
由此可以写出所有的排列（出示投影）：
abcabdacbacd
adbadcbacbad
bcabcdbdabdc
cabcadcbacbd
cdacdbdabdac
dbadbcdcadcb
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
教师指出：我们所研究的排列问题，是不同元素的排列，这里既没有重复元素，也没有重复抽取相同的元素。
排列的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列”。“一定顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志。
根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同。也就是说，如果两个排列所含的元素不完全一样，那么就可以肯定是不同的排列；如果两个排列所含的元素完全一样，但摆的顺序不同，那么也是不同的排列。
上面定义的排列里，如果m＜n，这样的排列（也就是只选一部分元素作排列），叫做选排列；如果m＝n，这样的排列（也就是取出所有元素作排列），叫做全排列。
例题写出从a、b、c三个元素中取出两个元素的全部排列。
为了使写出的排列既不重复又不遗漏，教师应介绍一般的方法。
解：所有排列是abacbcbacacb
教师指出：在问题2中，先画“图”，再写出所有排列的方法——“树形图”法，可以保证有条不紊、不重不漏地写出一个排列问题中所有的排列。
三、演练反馈
1．下列问题中哪些是排列问题？如果是在题后括号内打“√”，否则打“×”。
（1）20位同学互通一封信，问共通多少封信？
（2）20位同学互通一次电话，问共通多少次？
（3）20位同学互相握一次手，问共握手多少次？
（4）从e，π，5，7，10五个数中任意取出2个数作为对数的底数与真数，问共有几种不同的对数值？
（5）以圆上的10个点为端点，共可作多少条弦？
（6）以圆上的10个点为起点，且过其中另一个点的射线共可作多少条？
2．在A、B、C、D四位候选人中，选举正、副班长各一人，共有几种不同的选法？写出所有可能的选举结果。
参考答案
1．略。
2．解：选举过程可以分为两个步骤。第1步选正班长，4人中任何一人可以当选，有4种选法；第2步选副班长，余下的3人中任一人都可以当选，有3种选法。根据分步计数原理，不同的选法有4×3＝12（种）。
其选举结果是：
ABACADBCBDCD
BACADACBDBDC
四、总结提炼
排列问题，是取出m个元素后，还要按一定的顺序排成一列，取出同样的m个元素，只要排列顺序不同，就视为完成这件事的两种不同的方法（两个不同的排列）。
由排列的定义可知，排列与元素的顺序有关，也就是说与位置有关的问题才能归结为排列问题。当元素较少时，可以根据排列的意义写出所有的排列。
五、布置作业
课本P94 1．
六、板书设计
排列（一）
（一）设置情境
问题1
问题2
（二）排列的概念
（三）例题分析
例题
（四）练习
（五）小结
第二课时
【教学目标】
进一步理解排列的意义，掌握排列数的概念及其计算公式与推导过程，并能应用。
【教具准备】直尺与投影胶片。
【教学过程】
一、设置情境
上节课我们做了这样一道作业题：写出从5个元素a，b，c，d，e中任取2个元素的所有排列。
解决办法是先画“树形图”，再由此写出所有的排列，共20个。
若把这题改为：写出从5个元素。a，b，c，d，e中任取4个元素的所有排列，结果如何呢？
方法同上，共120个，数字较大，排列写起来挺“烦”，若再把这题改为：写出从8个元素a，b，c，d，e，f，g，h中任取4个元素的所有排列，结果又如何呢？
方法仍然照用，但数字将更大，写起来更“啰嗦”。
师问：研究一个排列问题，往往只需知道所有排列的个数而无需一一写出所有的排列，那么能否不通过-一写出所有的排列而直接“得”出所有排列的个数呢？这节课我们就来共同探讨这个问题：排列数及其公式。
二、探索研究
1．排列数的定义
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作Amn。
教师应当指出，注意区别“一个排列”与“排列数”的不同：“一个排列”是指“从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列”，不是数；“排列数”是指“从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数”，是一个数。因此符号分只代表排列数，而不表示具体的排列。
2．排列数公式
求排列数Amn可以这样来考虑：先求排列数A2n，阅读教材第90页相关内容，再思考解决Amn。
假定有排好顺序的m个空位，从n个不同元素a1，a2，…，an中任意取m个去填，一个空位填一个元素，每一种填法就对应着一个排列；反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到。因此，所有不同填法的种数就是排列数Amn。
第一位第二位第三位第m位
↑↑↑↑
nn-1n-2n-m＋1
填空可以分为m个步骤：
第1步，第一位可以从n个元素中任选一个填上，共有n种填法；第2步，第二位只能从余下的n－1个元素中任选一个填上，共有n－1种填法；第3步，第三位只能从余下的n－2个元素中任选一个填上，共有n－2种填法；……
第m步，第m位只能从余下的n－（m－1）个元素中任选一个填上，共有n－m＋1种填法。
根据分步计数原理，全部填满m个空位共有n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）种填法。
于是得到公式Amn=n（n-1）（n-2）…（n-m＋1）。
这里m、n∈N＋，且m＜n，这个公式叫做排列数公式。它有以下三个特点：（1）第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1。
（2）最后一个因数是n－m＋1。
（3）共有m个因数。
当m＝n时，Amn=n（n-1）（n-2）…2·1=n！。
正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示。
注意：①阶乘符号“！”借用于标点符号，表示感叹，意味着随着n的不断增大，n！的值增加的令人惊奇的快。这个符号很形象、很贴切。
②排列数公式的推导是“构造”框图来解决的，框图是一种简单的数学建模，学习时要引起重视。
因此，排列数公式还可以写成Amn=n！（n-m）！
为了使上面的公式在m＝n时也能成立，我们规定0！=1.
一般情况下，第一个公式常用于计算；第二个公式是常用于证明。
3．例题
计算
（1）A316（2）A66（3）A46
解：（1）A316=16×15×14=3360
（2）A66=6！=720
（3）A46=6×5×4×3=360
三、演练反馈
1．解方程A32x=100A2x.
（由一名学生板演后，教师讲评有关排列数方程的解法）
2．证明：Amn＋1=Amn＋mAm-1n。
3．计算从5个元素a，b，c，d，e中任取4个元素的排列数。
参考答案
1．解：原方程可化为
2x（2x-1）（2x-2）=100x（x-1）
∵x≠0且x≠1
∴2x-1=25
解得x=13
经检验x=13是原方程的根。
2．证明：右边=n！（n-m）！＋m×n！（n-m＋1）！
=（n-m＋1）＋m×n！（n-m＋1）！
=（n＋1）n！（n-m＋1）！=（n＋1）！[（n＋1）-m］=Amn＋1=左边
即原式得证。
3．解：A45=5×4×3×2=120
四、总结提炼
排列数的计算与以前学过的计算不同，它是用分步计数原理推导的，要掌握其特点，并注意两个公式的适用范围。同时要掌握公式的推导方法。
五、布置作业
课本P95练习2，3，4.
六、板书设计
排列（二）
（一）设置情境
问题
（二）排列数及其公式
（三）例题与练习
例题
练习
（四）小结
第三课时
【教学目标】
能把一些简单问题中的具体的计算“个数”问题转化为排列，以及排列数的计算，从而解决一些简单的排列问题。
【教学过程】
一、设置增境
问题1什么叫做排列？
问题2什么叫做排列数？排列数的公式是怎样的？
（由一名学生回答，教师纠正，引入新课。）
我们已经从分析具体的例子出发，得到了排列的概念，推导出了排列数的公式，具备了一定的计算能力，就是说掌握了有关排列的一些基础知识。那么，如何运用这些知识来解关于排列的简单应用题呢？
二、探索研究
例1某年全国足球甲级（A组）联赛共有14个队参加，每队都要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？
分析：很明显，这个问题可以归结为排列问题来解，任何2队间进行一次主场比赛和一次客场比赛，对应于从14个元素中任取2个元素的一个排列，因此总共进行的比赛场次数等于排列数A214。
解：A214=14×13=182（场）
答：共进行了182场比赛。
教师归纳。（投影出示）
在解排列应用题时，先要认真审题，看这个问题能不能归结为排列问题来解，如果能够的话，再考虑在这个问题里：（1）n个不同元素是指什么？
（2）m个元素是指什么？
（3）从n个不同元素中取出m个元素的每一种排列，对应着什么事情？
要充分利用“位置”或框图进行分析，这样比较直观，容易理解。
例2（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人1本，共有多少种不同送法？（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人1本，共有多少种不同的送法？
解：（1）从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个元素中任取3个元素的一个排列，因此不同的送法种数是：A35=5×4×3=60
（2）由于有5种不同的书，送给每个同学的书都有5种不同的方法，因此送给3名同学每人1本书的不同方法的种数是5×5×5=125
答：略。
（教师点评这两道题的区别。）
例3某信号共用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？
解：如果把3面旗看成3个元素，则从3个元素中每次取出1个、2个或3个元素的一个排列对应一种信号。
于是，用1面旗表示的信号有A13种，用2面旗表示的信号有A23种，用3面旗表示的信号有A33种。根据分类计数原理，所求信号的种数是：A13＋A23＋A33＝15
教师点评：解排列应用题时，要注意分类计数原理与分步计数原理的运用。
三、演练反馈
1．4辆公交车，有4位司机，4位售票员，每辆车上配一位司机和一位售票员，问有多少种不同的搭配方案？
2．由数字1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字的正整数？
3．20位同学互通一封信，那么通信的次数是多少？
参考答案
1．提示：A44A44=576种
2．提示：A16＋A26＋A36＋A46＋A56＋A66=1956个3．提示：A220=380次
四、总结提炼
排列问题与元素的位置有关，解排列应用题时可从元素或位置出发去分析，结合框图去排列，同时注意分类计数原理与分步计数原理的运用。
五、布置作业
1．课本P95练习5，6。
2．从4种蔬菜品种中选出3种分别种在不同土质的3块土地上进行试验，共有多少种不同的种植方法？
六、板书设计
排列（三）
（一）设置情境
问题1
问题2
（二）例题与练习
例1
例2
例3
练习
（三）小结
第四课时
【教学目标】
能初步掌握有限制条件的排列问题的解法。
【教学过程】
一、设置情境
从上一节课的简单应用题的解法中可以知道，一个问题是否为排列问题，关键是看与元素的顺序是否有关，在计算中除运用排列数公式外，还要结合分类计数原理与分步计数原理。
在实际中有些问题往往比较复杂，给出了一定的限制条件，如下面的问题：6个队员排成一列进行操练，其中新队员甲不能站排头，也不能站排尾，问有多少种不同的站法？
像这样的问题，需要在正确理解题意的前提下，细致地分析与考察可能的情况，进行恰当的算法设计。
二、探索研究
对上个问题可进行如下分析：
分析1：要使甲不在排头和排尾，可先让甲在中间4个位置中任选1个位置，有A14种站法；然后对其余5人在另外5个位置上作全排列有A55种站法。根据分步计数原理，共有站法A14·A55=480（种）
分析2：由于甲不站排头和排尾，这两个位置只能在其余5个人中，选2个人站，有A25种站法；对于中间的四个位置，4个人有A44种站法。根据分步计数原理，共有站法A25·A44=480（种）
分析3：若对甲没有限制条件，共有A66种站法，这里面包含下面三种情况：（1）甲在排头；（2）甲在排尾；（3）甲不在排头，也不在排尾。
