甲在排头有A55种站法；甲在排尾有A55种站法，这都不符合题设条件，从总数中减去这两种情况的排列数即得所求的站法数，共有A66-2A55=480（种）
教师点评（出示投影）：上面的方法是解应用题中比较常用的三种方法，要好好理解。同时，一般地对于有限制条件的排列应用题，可以有两种不同的计算方法：
（1）直接计算法
排列问题的限制条件一般表现为：某些元素不能在某个（或某些）位置、某个（或某些）位置只能放某些元素，因此进行算法设计时，常优先处理这些特殊要求。便有了：先处理特殊元素或先处理特殊位置的方法。本题的方法一就是先处理特殊“新队员甲”，方法二则是先处理特殊位置“排头”、“排尾”。这些统称为“特殊元素（位置）优先考虑法”。
（2）间接计算法
先不考虑限制条件，把所有的排列种数算出，再从中减去全部不符合条件的排列数，间接得出符合条件的排列种数。这种方法也称为“去杂法”。在去杂时，特别注意要不重复，不遗漏（去尽）。
两者的繁简相差无几，有时相差很大，这时只要选择比较简捷的一种即可。
例题5个人站成一排：
（1）共有多少种不同的排法？
（2）其中甲必须站在中间有多少种不同排法？
（3）其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？
（4）其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？
（5）其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法？
（6）其中甲不站排头，乙不站排尾有多少种不同的排法？
解：（1）由于没有条件限制，5个人可作全排列，共有A55=120种排法。
（2）由于甲的位置已确定，其余4人可任意排列，有A44=24种排法。
（3）因为甲、乙两人必须相邻，可视甲、乙在一起为一个元素与其他3人有A44种排法，而甲、乙又有A22种排法，根据分步计数原理共有A22·A44=48种排法。
（4）甲、乙两人外的其余3人有A33种排法，要使甲、乙不相邻只有排在他们的空档位置，有A24种排法，所以共有A33·A24=72种排法；或总的排法减去相邻的排法，即A55-A22·A44=72种排法。
（5）甲、乙两人不站排头和排尾，则这两个位置可从其余3人中选2人来站有A23种排法，剩下的人有A33种排法，共有A23·33=36种排法。
（6）甲站排头有A44种排法，乙站排尾有44种排法，但两种情况都包含了“甲站排头，乙站排尾”的情况，有A33种排法，故共有A55-2A44＋A33=78种排法。
教师点评：本题所涉及的限制条件，如“某元素必须在某个位置”“某元素不在某个位置”“某几个元素相邻”“某几个元素不相邻”等具有一般的意义，要很好体会。
三、演练反馈
1．某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、体育、音乐六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，一共有多少种不同的排法？
（由一名学生板演，其他学生补充解法，教师讲评）
2．在7名运动员中选出4名组成接力队，参加4×100米接力赛，那么甲、乙两人都不跑中间两棒的安排方法有多少种？
（由一名学生板演后，教师讲评）
3．有标号为1，2，3，4，5的五个红球和标号为1，2的两个白球，将这七个球排成一排，使两端都是红球。
（1）如果每个白球的两边都是红球有多少种排法？
（2）如果1号红球和1号白球相邻排在一起有多少种排法？
（3）同时满足上述两个条件的排法有多少种？
（学生思考后，教师讲解）
参考答案
1．分析1：“第一节不排体育，最后一节不排数学”可分为以下几种情况：①体育、数学都既不排在第一节也不排在最后一节，这时的体育、数学有A24种排法，其他的课有A44种排法，所以有A24·A44种排法。
②数学排在第一节，但体育不排在最后一节，有4A44种排法。
③体育排在最后一节，数学不排第一节，有4 A44种排法。
④数学排在第一节，体育排在最后一节，有A44种排法。
因此一共有A24·A44＋4A44＋4A44＋A44＝21A44＝504种排法。
分析2：如果没有限制条件，可以有A66种排法，其中不符合条件的排法有：①数学排在最后一节有A55种；②体育排在第一节有A55种。但这两种情况都包含了“体育排在第一节同时数学排在最后一节”这种情况，而这种情况的排法有A44种。因此，符合条件的排法为A66－2A55＋A44＝21A44＝504（种）
注意：这里去杂时，必须加上多去的A44。
2．解：可将接力队分为“甲、乙两人都不在内”“甲、乙两人只有一人在内”“甲、乙两人都在内”三种情况：①“甲、乙两人都不在内”有A45种方法。
②“甲、乙两人只有一人在内”有A12A12A35种方法。
③“甲、乙两人都在内”有A22A25种方法。
因此，共有A45＋A12A12A35＋A22A25=400种安排方法。
3．解：（1）红球的排法有A55种，要使白球两边都是红球，只有插红球的空档位置，有A24种方法，所以共有排法A55A24（种）
（2）可分为两种情况：1号红球在两端时，其余4个红球有A44种排法，这时1号白球只有1种排法，2号白球有A14种排法，这种情况有2A14A44种排法；1号红球在中间三个位置时，两端的红球有A24种排法，中间3个红球有A33种排法，这时1号白球有A12种排法，2号白球有A14种排法，这种情况有A12A24A33A14排法。所以共有排法2A14A44＋A12A24A33A14=768（种）
（3）同样可分为两种情况：1号红球在两端时有2A44A13种排法；1号红球在中间三个位置时有A12A13A33A24种排法。所以共有排法2A13A44＋A12A13A24=576（种）
四、总结提炼
比较复杂的排列应用题往往都有某些限制条件（一般是对元素或者位置作某些限制）。解题时，首先要对这些有限制条件的元素或位置作仔细分析，然后再考虑解法。当直接计算比较复杂时，可从反面考虑先求出不符合条件的所有排列的种数，从而间接求出符合条件的排列的种数。无论是从“元素”考虑还是从“位置”分析，采用直接计算法还是间接计算法，要防止重复或遗漏。
五、布置作业
1．课本P96习题10．2 8，9.
2．七个人（其中有甲、乙二人）按下列要求站成一排，分别有多少种不同的排法？
（1）甲、乙之间恰隔二人；
（2）甲不站左端，乙不站在右端。
六、板书设计
排列（四）
（一）引入新课
问题1
（二）例题与练习
问题解决
例题
练习
（三）小结
第五课时
【教学目标】
能按照有限制条件的排列问题的解决方法处理排列中的常见题型之一——数字组数问题。
【教学过程】
一、设置情境
问题1有限制条件的排列应用题可从哪两个方面进行分析？
问题2有限制条件的排列应用题常用哪两种计算方法？
（由一名学生回答，教师纠正。）
上节课我们研究的问题，它们的限制条件都是非常明确的，但也有一些问题的限制条件是隐蔽的，必须分析题意从中找出其限制条件。请看下面的问题：用0到9这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
由于组成的是三位数，其百位数字就不能是0，这就是题中内隐的限制条件，这样就可以用前面的方法来解决。
这节课我们就来研究这类“数字组数问题”。
二、探索研究
对上一个问题可作如下分析：
分析1：由于百位上的数字不是0，它可以从1到9这9个数字中任选一个，有A19种选法，再排十位和个位上的数字，可以从余下的9个数字中任选2个，有A29种选法，根据分步计数原理，所求三位数的个数是分析2：所求的三位数可分为两类：一类是不含数字0的，有A39个；另一类是含有数字0的有24个。根据分类计数原理，所求三位数的个数是A39＋2A29=648。
分析3：从0到9这十个数字中任取3个的排列数为A310，其中以0为百位数字的排列数为A26．因此它们的差就是所求三位数的个数，故所求三位数的个数是A310-A29=648。
教师点评：从以上的分析中可以看出，数字问题的解法与有限制条件的排列应用题的解法是一样的，关键是找出其中隐蔽的限制条件。
例题用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的数。
（1）能组成多少个六位数？
（2）能组成多少个六位奇数？
（3）能组成多少个能被5整除的六位数？
（4）能组成多少个比240135大的数？
解：（1）第一位不能是0，有A15种方法，其他各位有A55种方法，共有六位数的个数是A15·A55=600
（2）要使六位数为奇数，其个位数字必须是1或3或5，所以所求六位奇数的个数是A13·A14·A44=288
（3）要使六位数能被5整除，个位数字必须是0或5。当个位数字为0时有A55个；当个位数字为5时有4A44个，因此能被5整除的六位数的个数是A55＋4A44=216
（4）要比240135大，首先必须是六位数，有以下几类：首位数字是3或4或5时各有A55个；首位数字是2，第二位数字是4或5，但不包含240135在内，有2A44-1个。因此共有比240135大的数的个数是3A55＋2A44-1=407
演练反馈
1．由1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数。
（1）2，4，6必须连在一起的有多少个？
（2）2，4，6任意两个不相邻的有多少个？
（由一名学生板演后，教师讲评）
2．由1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字的五位数。
（1）奇数位置上是奇数的有多少个？
（2）奇数在奇数位置上的有多少个？
（由一名学生板演后，教师针对其错误进行分析讲评）
3．在3000和8000之间有多少个没有重复数字的奇数？
（学生思考后，教师讲解）
参考答案
1．解：（1）把2，4，6连在一起看成一个元素与1，3，5，7排列，有A55种排法，而2，4，6又有A33种排法，根据分步计数原理，2，4，6连在一起的七位数的个数是A55·A33=720。
（2）先把奇数1，3，5，7排好，有A44种排法，然后把2，4，6插入它们的空档位置，有A35种排法。根据分步计数原理，所求的七位数的个数是A44·A35=1440.
2．解：（1）由于奇数位置上是奇数，则奇数位置有A35种排法，偶数位置有A26种排法，所以符合条件的五位数的个数是A35·A26=1800
（2）奇数在奇数位置，则偶数位置必是偶数，有A24种排法，奇数位置有A37种排法，所以符合条件的五位数的个数是A24·A37=2520
3．解：依题意，即为用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9可组成大于3000而小于8000的没有重复数字的四位奇数的个数。
当千位数字是3或5或7时，有3×4A28个；当千位数字是4或6时，有2×5A28个，根据分类计数原理，符合条件的数的个数是12A28＋10A28=1232
三、总结提炼
数字问题的排列应用题是常见题型之一，其限制条件往往隐含在题意中，解题时既要把握好分类，又要注意数字的特殊要求，按照有限制条件的排列问题的方法求解。
四、布置作业
1．课本P96习题10．2 7.
2．用0到9这十个数字可以组成多少个没有重复数字的五位数？其中有多少个是偶数？
参考答案
1．略。227216；13776
五、板书设计
排列（五）
（一）复习提问
问题1
问题2
（二）例题与练习
问题解决
例题
练习
（三）小结
【习题精选】
一、填空题
1．6人站一排，甲不站在排头，乙不站在排尾，共有种不同的排法。
2．5名男生和4名女生排成一队，其中女生必须排在一起，一共有种不同的排法。
3．a，b，c，d排成一行，其中a不排第一，b不排第二，c不排第三，d不排第四的不同排法有种。
4．0，1，2，3，4，5这六个数组成没有重复数字的四位偶数，将这些四位数从小到大排列起来，第71个数是。
二、选择题
1．下列各式中与排列数相等的是。
A．n！（m-n）！
B．n（n-1）（n-2）…（n-m）
C．nn-m＋1Amn-1
D．A1nAm-1n-1
2．a∈N，且a＜20，则（27-a）（28-a）…（34-1）等于。
A．A827-aB．A27-a34-aC．A734-aD．A834-a3．若S=A12＋A22＋A33＋A44＋A55＋…＋A100100，则S的个位数字是。
A．8B．5 C．3D．0
4．7名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同的排法有。
A．720种B．360种C．1440种D．120种
三、解答题
1．求和31！＋2！＋3！＋42！＋3！＋4！＋…n＋2n！＋（n＋1）！＋（2＋n）。
2．5名男生、2名女生站成一排照像：
（1）两名女生要在两端，有多少种不同的站法？
（2）两名女生都不站在两端，有多少不同的站法？
（3）两名女生要相邻，有多少种不同的站法？
（4）两名女生不相邻，有多少种不同的站法？
（5）女生甲要在女生乙的右方，有多少种不同的站法？
（6）女生甲不在左端，女生乙不在右端，有多少种不同的站法？
参考答案
一、填空题：1．504 2．17280 3．9 4．3140
二、选择题：1．D 2．D 3．C 4．C
三、解答题：
1．∵k＋2k！＋（k＋1）！（k＋2）！=k＋2k！（k＋2）2，=k＋1（k＋2）！=1（k＋1）！-1（k＋2）！。
∴原式=12！-13！＋13！-14！＋…＋1（n＋1）！-1（n＋2）！=12-1（n-2）！
2．（1）两端的两个位置，女生任意排，中间的五个位置男生任意排；A22·A55=240（种）；（2）中间的五个位置任选两个排女生，其余五个位置任意排男生；A25·A55=2400（种）；（3）把两名女生当作一个元素，于是对六个元素任意排，然后解决两个女生的任意排列；A66·A22=1400（种）；（4）把男生任意全排列，然后在六个空中（包括两端）有顺序地插入两名女生；A55·A26=3600（种）；（5）七个位置中任选五个排男生问题就已解决，因为留下两个位置女生排法是既定的；A57=2520（种）；（6）采用排除法，在七个人的全排列中，去掉女生甲在左端的A66个，再去掉女生乙在右端的A66个，但女生甲在左端同时女生乙在右端的A55种排除了两次，要找回来一次。A77-2A66＋A55=3720（种）。
