【教学目标】
一、使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域；
二、了解线性规化的意义以及线性约束条件、线性目标函数、线性规化问题、可行解、可行域以及最优解等基本概念；
三、了解线性规化问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；
四、培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力；
五、结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新。
【教学建议】
一、知识结构
教科书首先通过一个具体问题，介绍了二元一次不等式表示平面区域。再通过一个具体实例，介绍了线性规化问题及有关的几个基本概念及一种基本解法－图解法，并利用几道例题说明线性规化在实际中的应用。
二、重点、难点分析
本小节的重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域。
对学生来说，二元一次不等式（组）表示平面的区域是一个比较陌生、抽象的概念，按高二学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，因此学习二元一次不等式（组）表示平面的区域分为两个大的层次：
（1）二元一次不等式表示平面区域。首先通过建立新旧知识的联系，自然地给出概念。明确二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域不包含边界直线（画成虚线）。其次再扩大到Ax+By+C≥0所表示的平面区域是包含边界直线且要把边界直线画成实线。
（2）二元一次不等式组表示平面区域。在理解二元一次不等式表示平面区域含义的基础上，画不等式组所表示的平面区域，找出各个不等式所表示的平面区域的公共部分。这是学生对代数问题等价转化为几何问题，以及数学建模方法解决实际问题的基础。
难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答。
对许多学生来说，从抽象到简化并不比从具体到抽象遇到的问题少，学生解数学应用题的最常见困难是不会将实际问题提炼成数学问题，即不会建模。所以把实际问题转化为线性规划问题作为本节的难点，并紧紧围绕如何引导学生根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，然后利用图解法求出最优解作为突破这个难点的关键。
对学生而言解决应用问题的障碍主要有三类：①不能正确理解题意，弄清各元素之间的关系；②不能分清问题的主次关系，因而抓不住问题的本质，无法建立数学模型；③孤立地考虑单个的问题情景，不能多方联想，形成正迁移。针对这些障碍以及题目本身文字过长等因素，将本课设计为计算机辅助教学，从而将实际问题鲜活直观地展现在学生面前，以利于理解；分析完题后，能够抓住问题的本质特征，从而将实际问题抽象概括为线性规划问题。另外，利用计算机可以较快地帮助学生掌握寻找整点最优解的方法。
二、教法建议
（1）对学生来说，二元一次不等式（组）表示平面的区域是一个比较陌生的概念，不象二元一次方程表示直线那样已早有所知，为使学生对这一概念的引进不感到突然，应建立新旧知识的联系，以便自然地给出概念
（2）建议将本节新课讲授分为五步（思考、尝试、猜想、证明、归纳）来进行，目的是为了分散难点，层层递进，突出重点，只要学生对旧知识掌握较好，完全有可能由学生主动去探求新知，得出结论。
（3）要举几个典型例题，特别是似是而非的例子，对理解二元一次不等式（组）表示的平面区域的含义是十分必要的。
（4）建议通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，这对培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力是大有益处的。
（5）对作业、思考题、研究性题的建议：①作业主要训练学生规范的解题步骤和作图能力；②思考题主要供学有余力的学生课后完成；③研究性题综合性较大，主要用于拓宽学生的思维。
（6）若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解（近似解），应作适当的调整，其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，不要在用图解法所得到的近似解附近寻找。
如果可行域中的整点数目很少，采用逐个试验法也可。
（7）在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小。
【教学设计示例】
教学目标
使学生了解并会作二元一次不等式和不等式组表示的区域。
重点难点
了解二元一次不等式表示平面区域。
教学过程
一、引入新课
我们知道一元一次不等式和一元二次不等式的解集都表示直线上的点集，那么在平面坐标系中，二元一次不等式的解集的意义是什么呢？
二元一次不等式表示的平面区域：
1．先分析一个具体的例子
我们知道，在平面直角坐标系中，以二元一次方程x+y-1=0的解为坐标的点的集合{（x，y）|x+y-1=0}是经过点（0，1）和（1，0）的一条直线l（如图）那么，以二元一次不等式（即含有两个未知数，且未知数的最高次数都是1的不等式）x+y-1＞0的解为坐标的点的集合A={（x，y）|x+y-1＞0}是什么图形呢？
在平面直角坐标系中，所有点被直线l分三类：①在l上；②在l的右上方的平面区域；③在l的左下方的平面区域（如图）取集合A的点（1，1）、（1，2）、（2，2）等，我们发现这些点都在l的右上方的平面区域，而点（0，0）、（－1，－1）等等不属于A，它们满足不等式x+y-1＜0，这些点却在l的左下方的平面区域。
由此我们猜想，对直线l右上方的任意点（x，y）x+y-1＞0成立；对直线l左下方的任意点（x，y）|x+y-1＜0成立，下面我们证明这个事实。
在直线l：x+y-1=0上任取一点P（x0，y0），过点P作垂直于y轴的直线y=y0，在此直线上点P右侧的任意一点（x，y），都有x＞x0，y=y0∴x+y＞x0+y0
于是x+y-1＞x0+y0-1=0
所以x+y-1＞0
因为点P（x0，y0），是L上的任意点，所以，对于直线L：x+y-1=0右上方的任意点（x，y），
x+y-1＞0都成立
同理，对于直线L：x+y-1=0左下方的任意点（x，y），
x+y-1＜0都成立
所以，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x+y-1＞0的解为坐标的点的焦点。
{（x，y）|x+y-1＞0}
是直线x+y-1=0右上方的平面区域（如图）
类似地，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x+y-1＜0的解为坐标的点的集合{（x，y）|x+y-1＜0}是直线x+y-1=0左下方的平面区域。
2．二元一次不等式ax+by+c＞0和ax+by+c＜0表示平面域。
（1）结论：二元一次不等式ax+by+c＞0在平面直角坐标系中表示直线ax+by+c=0某一侧所有点组成的平面区域。
把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线，若画不等式ax+by+c≥0就表示的面区域时，此区域包括边界直线，则把边界直线画成实线。
（2）判断方法：由于对在直线ax+by+c=0同一侧的所有点（x，y），把它的坐标（x，y)代入ax+by+c，所得的实数的符号都相同，故只需在这条直线的某一侧取一个特殊点（x0，y0，以a0x+b0y+c的正负情况便可判断ax+by+c＞0表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当c≠0时，常把原点作为此特殊点。
二、应用举例
例1画出不等式2x+y-6＜0表示的平面区域
解；先画直线2x+y-6=0（画线虚线）取原点（0，0），代入2x+y-6，
∴2x+y-6＜0∴原点在不等式2x+y-6＜0表示的平面区域内，不等式2x+y-6＜0表示的平面区域如图阴影部分。
例2画出不等式组
x-y+5≥0x+y≥0x≤3
表示的平面区域
分析：在不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。
解：不等式x-y+5≥0表示直线x-y+5=0上及右上方的平面区域，x+y≥0表示直线x+y=0上及右上方的平面区域，x≤3上及左上方的平面区域，所以原不等式表示的平面区域如图中的阴影部分。
三、课堂练习
作出下列二元一次不等式或不等式组表示的平面区域。
（1）x-y+1＜0（2）2x+3y-6＞0（3）2x+5y-10＞0（4）4x-3y-12＜0（5）x+y-1＞0x-y＞0
四、总结提炼
1．二元一次不等式表示的平面区域。
2．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法。
3．二元一次不等式组表示的平面区域。
五、布置作业
1．不等式x-2y+6＞0表示的区域在x-2y+6=0的（）。
A．右上方B．右下方
C．左上方D．左下方
2．不等式3x+2y-6＜0表示的平面区域是（）。
3．不等式组x+3y+6≥0x-y+2＜0表示的平面区域是（）
4．直线x+2y-1=0右上方的平面区域可用不等式表示。
5．不等式组x＜0y＜04x+3y+8＞0表示的平面区域内的整点坐标是。
6．画出（x+2y-1）（x-y+3）＞0表示的区域。
答案：
1．B 2．D 3．B 4．x+2y-1＞0 5．（－1，－1）
6．
【习题精选】
一、填空题
1．点P到直线4x-3y+1=0的距离等于4，且在不等式2x+y-3＜0表示的平面区域内，则点P的坐标为。
2．满足线性约束条件y-2x≤0，x+2y+3＞0，5x+3y-5＜0的可行域共有个整数点。
3．设M为平面内以A(4，1)，B(-1，-6)，C(-3，2)三点为顶点的三角形区域(包括边界)，当(x，y)在上变动时，的最小值是。
参考答案：
1．(-3，3)2．43．-18
二、解答题
1．设z=x-y，式中变量x，y满足x+y≥1，4x-y≤4，2x-3y+8≥0求z的最大值和最小值。
2．有一批钢管，长度都是4000mm，要截成500mm和600mm两种毛坯，且这两种毛坯数量比大于13配套，怎样截最合理？
3．某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个和55个，所用原料为A、B两种规格金属板每张面积分别为2m2和3m2，用A种规格金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个，用B种规格金属板可造甲、乙品种各6个，问两种规格金属板各取多少张才能完成计划，并能使总的用料面积最省？
参考答案：
1．zmax=-1，zmin=-3
2．设500mm的x根，600mm的y根，约束条件为500x+600y≤4000、xy＞13、x≥0、y≥0，目标函数为z=x+y，画图可求出最优整数解为x=2，y=5。
3．设A、B两种规格金属板各取x，y张，用料面积为z，则约束条件为3x+6y≥45，5x+6y≥55，x≥0，y≥0，目标函数为z=2x+3y，用图解法可求出最优解x=y=5。
【典型例题】
例1画出不等式组-x+y-2≤0，x+y-4≤0，x-3y+3≤0表示的平面区域。
分析采用“图解法”确定不等式组每一不等式所表示的平面区域，然后求其公共部分。
解把x=0，y=0代入-x+y-2中得-0+0-2＜0
∴不等式-x+y-2≤0表示直线-x+y-2=0下方的区域（包括边界），即位于原点的一侧，同理可画出其他两部分，不等式组所表示的区域如图所示。
说明“图解法”是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方法。
例2若x、y满足条件2x+y-12≤0，3x-2y+10≥0，x-4y+10≤0.求z=x+2y的最大值和最小值。
分析画出可行域，平移直线找最优解。
解作出约束条件所表示的平面区域，即可行域，如图所示。
作直线l：x+2y=z，即y=-12x+12z，它表示斜率为-12，纵截距为z2的平行直线系，当它在可行域内滑动时，由图可知，直线l过点时，z取得最大值，当l过点B时，z取得最小值。
∴zmax=2+2×8=18
∴zmin=-2+2×2=2
说明解决线性规划问题，首先应明确可行域，再将线性目标函数作平移取得最值。
例3某糖果厂生产A、B两种糖果，A种糖果每箱获利润40元，B种糖果每箱获利润50元，其生产过程分为混合、烹调、包装三道工序，下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间（单位：分钟）
混合烹调包装
A153
B241
每种糖果的生产过程中，混合的设备至多能用12机器小时，烹调的设备至多只能用机器30机器小时，包装的设备只能用机器15机器小时，试用每种糖果各生产多少箱可获得最大利润。
分析找约束条件，建立目标函数。
解设生产A种糖果x箱，B种糖果y箱，可获得利润z元，则此问题的数学模式在约束条件x+2y≤7205x+4y≤18003x+y≤900x≥0y≥0下，求目标函数z=40x+50y的最大值，作出可行域，其边界OA：y=0AB：3x+y-900=0BC：5x+4y-1800=0CD：x+2y-720=0DO：x=0
由z=40x+50y得y=-45x+z50，它表示斜率为-45，截距为z50的平行直线系，z50越大，z越大，从而可知过C点时截距最大，z取得了最大值。
解方程组x+2y=7205x+4y=1800C(120，300)
∴zmax=40×120+50×300=19800即生产A种糖果120箱，生产B种糖果300箱，可得最大利润19800元。
说明由于生产A种糖果120箱，生产B种糖果300箱，就使得两种糖果共计使用的混合时间为120＋2×300＝720（分），烹调时间5×120＋4×300＝1800（分），包装时间3×120＋300＝660（分），这说明该计划已完全利用了混合设备与烹调设备的可用时间，但对包装设备却有240分钟的包装时间未加利用，这种“过剩”问题构成了该问题的“松弛”部分，有待于改进研究。
例4甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表：
甲乙丙
维生素A（单位/千克）600700400
维生素B（单位/千克）800400500
成本（元/千克）1194
某食物营养研究所想用x千克甲种食物，y千克乙种食物，z千克丙种食物配成100千克的混合食物，并使混合食物至少含56000单位维生素A和63000单位维生素B。（1）用x、y表示混合物成本C。（2）确定x、y、z的值，使成本最低。
分析找到线性约束条件及目标函数，用平行线移动法求最优解。
解（1）依题意：x、y、z满足x+y+z=100z=100-x-y
∴成本C=11x+9y+4z=7x+5y+400（元）
（2）依题意600x+700y+400z≥56000800x+400y+500z≥63000
∵z=100-x-y
∴2x+3y≥1603x-y≥130x≥0，y≥0
作出不等式组所对应的可行域，如图所示。
联立3x-y=1302x+3y=160交点A（50，20）
作直线7x+5y+400=C则易知该直线截距越小，C越小，所以该直线过A(50，20)时，直线在y轴截距最小，从而C最小，此时7×50＋5×20＋400＝C＝850元
∴x=50千克，z=30千克时成本最低。
