所以：d=|Ax0+By0+C|A2+B2（至此问题2已经解决）
公式d=|Ax0+By0+C|A2+B2的完善。
容易验证（由学生完成）：
当A=0，即L⊥y轴时，公式成立；
当B=0，即L⊥x轴时，公式成立；
当P点在L上时，公式成立。
公式d=|Ax0+By0+C|A2+B2结构特点
师生一起总结：
（1）分子是P点坐标代入直线方程；
（2）分母是直线未知数x、y系数平方和的算术根。
类似于勾股定理求斜边的长
三、检测与巩固
练习1
（1）P（-2，3）到直线的距离是。
（2）P（2，-3）到直线x+2y+4=0的距离是。
（3）用公式解P到直线2x+y-10=0的距离是。
（4）P（-1，1）到直线3x=2的距离是。
订正答案：（1）5；（2）0；（3）25；（4）53。
练习2
1．求平行直线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离。
解：在直线2x-7y-6=0上任取一点，如P（3，0），则两平行线的距离就是点P（3，0）到直线2x-7y+8=0的距离。
因此，d＝|2×3-7×0+8|22+（-7）2＝1453=145353
问题3：
两条平行直线的距离是否有公式可以推出呢？求两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离。
解：在直线上Ax+By+C1=0任取一点，如P（x0，y0）
则两平行线的距离就是点P（x0，y0）到直线Ax+By+C2=0的距离，（如图2）。
因此，d＝|Ax+By+C1|A2+B2＝|-C1+C2|A2+B2=|C1-C2|A2+B2
注意：用公式时，注意一次项系数是否一致。
四、小结作业
1.点到直线的距离公式及其推导；
师生一起总结点到直线距离公式的推导过程：|PQ|=|Ax0+By0+C|A2+B2
2.利用公式求点到直线的距离。
3.探索两平行直线的距离
4.探索“已知点到直线的距离及一条直线求另一条直线距离。
作业：P54 13、14、16思考研究：运用多种方法推导点到直线的距离公式。
【习题精选】
1．k1k2+1=0是两条直线l1，l2互相垂直的（）。
（A）充分但非必要条件
（B）必要但非充分条件
（C）充要条件
（D）既不是充分条件也不必要条件
2．若两条直线2x-y+a=0和x-12y+b=0平行，则a和b的取值可能是（）。
（A）a=2，b=1（B）a=52，b=54
（C）a=0，b=0（D）a=7，b=3
3．直线nx-y=n-1与ny-x=2n的交点在第二象限，则实数的取值范围是。
4．过点（－1，4），且与原点距离等于1的直线方程式是。
5．△ABC点A（3，6），B（－1，5），C（1，1），求BC边上的高所在直线的方程。
6．求直线l1：x-y-5=0，l2：4x-y-11=0，l3：2x+y-7=0所围成的三角形的面积。
7．三角形的一个顶点为（2，－7），由其余顶点分别引出的高线和中线分别为3x+y+11=0，x+2y+7=0。求三角形三边所在直线的方程。
8．一条直线l点P（2，3）且和两条直线l1：3x+4y+8=0和l2：3x+4y-7=0相交于A、B两点，且|AB|＝32，求直线l的方程。
9．已知：x-y+cn=0，c1=2，且c1＜c2＜……＜cn（n∈N），这n条平行线中相邻两条间的距离顺次为2，3，4，……，n。
（1）求cn
（2）求x-y+cn=0与x=0，y=0，这三条直线围成的三角形的面积Sn。
（3）证明直线x-y+cn-1=0，x-y+cn=0分别与直线x=0，y=0围成的两个图形的面积之差等于n3。
（4）设Tn=1×2S1+2×3S2+…+n×（n+1）Snn×（n+1）Sn，求Tn
参考答案：
1．A；2．D；3．0＜n＜12；4．x=-1和15x+8y-17=0；5．x-2y+9=0；6．3；7．4x+3y+13=0 7x+9y+19=0，x-3y-23=0；
8．x-7y+19=0或7x+y-17=0；
9．（1）n1+n2；（2）n（n+1）24；（3）略；（4）4-4n+1。
【典型例题】
例1已知点A（-1，3），B（3，1），点C在坐标轴上，且∠ACB=90°，则满足条件的点C的个数是（）
（A）1（B）2（C）3（D）4
略解：点C在坐标轴上，可有两种情况，即在x轴或y轴上，点C的坐标可设为（x，0）或（y，0）
由题意，∠ACB=90°，直线AC与直线BC垂直，其斜率乘积为－1，可分别求得x=0或2，y=0或4，所以满足条件的点的坐标为（0，0），（2，0），（0，4）。
说明：①本题还可以有另外两种解法：一种是利用勾股定理，另一种是直角三角形斜边AB与y轴交点D恰为斜边AB中点，则由D到A、B距离相等的性质可解。②本题易错，可能只解一个坐标轴；可能解方程时漏解；也可能看到x、y各有两解而误以为有四点。
例2已知△ABC的一个定点是A（3，-1），∠B、∠C的平分线分别是x=0，y=x，求直线BC的方程。
分析：利用角平分线的轴对称性质，求出A关于x=0，y=x的对称点，它们显然在直线BC上。
解：A（3，-1）关于x=0，y=x的对称点分别是（-3，-1）和(-1，3)，且这两点都在直线BC上，由两点式求得直线BC方程为2x-y+5=0。
例3求经过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点，并且垂直于直线3x+4y-7=0的直线的方程。
略解一：解得两直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点为（-53，79），由已知垂直关系可求得所求直线的斜率为43，进而所求直线方程为4x-3y+9=0。
略解二：设所求直线方程为4x-3y+m=0，将所求交点坐标（-53，79）代入方程得m=9，所以所求直线方程为4x-3y+9=0。
略解三：所求直线过点（-53，79），且与直线3x+4y-7=0垂直，所以，所求直线方程为
4(x+53)-3(y-79)=0
即4x-3y+9=0。
略解四：设所求直线得方程为
(2x-3y+1)+m(x-3y+4)=0
即(2+m)x+3(1-m)y+1+4m=0（1）
由于该直线与已知直线3x+4y-7=0垂直
则3(2+m)+4·3(1-m)=0
解得m=2
代入（1）得所求直线方程为4x-3y+9=0。
例4在△ABC中，BC边上的高所在的直线的方程为x-2y+1=0，∠A的平分线所在直线的方程为y=0，若点B的坐标为（1，2），求点A和点C的坐标。
解：解直线x-2y+1=0和直线y=0的交点得（-1，0），即A的坐标为（-1，0），
∴kAB=2-01+1=1，
又∵轴为∠BAC的平分线，
∴kAC=-kAB=-1
又∵直线x-2y+1=0为BC边上的高，由垂直得，
kBC=-2
设C的坐标为（a，b），则ba+1=-1，b-2a-1=-2，
解得a=5，b=-6，
即C的坐标为（5，-6）
例5已知定点A（3，1），在直线y=x和y=0上分别求点M和点N，使△AMN的周长最短，并求出最短周长。
分析：由连接两点的线中，直线段最短，利用对称，把折线转化为直线，即转化为求两点间的距离。
解：如图1，设点A关于直线y=x和y=0的对称点分别为B（1，3），C（3，-1）
∵|AM|+|AN|+|MN|=|BM|+|CN|+|MN
又|BM|+|CN|+|MN|≥|BC
周长最小值是：|BC|=25
由两点式可得BC方程为：
2x+y-5=0
而且易求得：M（53，53），N（52，0）
此时，周长最短，周长为25
例6已知实数a，b满足a+b=1，求证：（a+2）2+（b+2）2≥252。
简解：本题的几何意义是：直线a+b=1上的点（a，b）与定点（-2，-2）的距离的平方不小于252。因为直线外一点与直线上任一点连线中，垂线段距离最短，而垂线段的长度即距离d=|-2-2-1|12+12=52，
所以（a+2）2+（b+2）2≥52，即。（a+2）2+（b+2）2≥252
说明：本题应为不等式的题目，难度较大，证明方法也较多，但用解析几何的方法解决显得轻松简捷，深刻地体现了数形结合的思想。
例7在平面直角坐标系中，∠xOA=α，π2＜α＜π，点B在OA上|OA|=a，|OB|=b，（a＞b＞0），试在x轴的正半周上求一点C，使∠ACB取得最大值。
分析：要使最大，只需最大，而是直线到直线的角（此处即为夹角），利用公式可以解决问题。
解：如图2，设点C（x，0）（x＞0）
∵∠xOA=α，|OA|=a，|OB|=b，
∴A（acosα，asinα），
B（bcosα，bsinα），
于是直线CA、CB的斜率分别为：
kCA=tan∠xCA=acosαacosα-x，
kCB=tan∠xCB=acosαacosα-x。
∴tan∠ACB=kCB-kCA1+kCBkCA＝bsinαbcosα-x-asinαacosα-x1+absin2α(bcosα-x)(acosα-x)
＝bsinα(acosα-x)-asinα(bcosα-x)(bcosα-x)(acosα-x)+absin2α
＝(a-b)x sinαab-(a+b)x cosα+x2
＝(a-b)sinαabx+x-(a+b)cosα
∵abx+x≥2ab
∴tan∠ACB≤（a-b）sinα2ab-(a+b)cosα
当且仅当abx=x即x=ab，C点的坐标为（ab，0），由π2＜α＜π可知∠ACB为锐角，所以此时∠ACB有最大值arctan（a-b）sinα2ab-(a+b)cosα。
说明：本题综合性强，是三角、不等式和解析几何知识的交汇点。另外本题也是足球射门最大角问题的推广。
